人教版数学选修4-4课件 2.1　曲线的参数方程 2.1.1 .ppt

1、参数方程 第二讲第二讲 教材单元导学教材单元导学 知识结构 图解 分类考试 要求 考点及能力要求 高考 1.圆的参数方程 d 2.参数方程和普通方程的 互化 d 3.圆锥曲线的参数方程 a 4.直线的参数方程 d 5.渐开线与摆线 a 2.1 曲线的参数方程 2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 课前教材预案课前教材预案 要点一 参数方程的概念 1在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数 t 的函 数 xft ygt (*) ，并且对于 t 的每一

2、个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这 条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变 数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也 可以是没有明显实际意义的变数 1如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始 位置M0出发，按逆时针方向 要点二 圆的参数方程 在圆 O 上作匀速圆周运动，设 M(x，y)，则 x_， y_， ( 为参数)，这就是圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 OM0绕点 O 逆时针旋转到 OM

3、的位置时，OM0转过的角度 rcos rsin 2圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程 与参数方程： 普通方程 参数方程 _ x_ y_ ( 为参数) (xa)2(yb)2r2 arcos brsin 课堂深度拓展课堂深度拓展 考点一 参数方程的概念 判断点是否在曲线上的方法 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线 上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程， 然后建立关于参数的方程组，若方程组有解， 则点在曲线上；否则，点不在曲线上 【例题 1】 已知参数方程 x2cos ， y2sin ( 为参数， 0,2) 判断点 A(1， 3) 和 B(2,1)是否在方程的曲线上 思维导引：对于曲线

4、C 的参数方程 xft， ygt (t 为参数) ，若点 M(x0，y0)在曲线 上，则 x0ft， y0gt 对应的参数 t 有解，否则无解，即参数 t 不存在 解析： 把 A， B 两点坐标分别代入方程得 12cos 32sin ， 22cos 12sin ， 在0,2) 内，方程组的解是 3，而方程组无解，故 A 点在方程的曲线上，而 B 点不在方 程的曲线上 【变式 1】 已知曲线 C 的参数方程是 x2t， y3t21 (t 为参数) (1)判断点 M1(0，1)，M2(4,10)与曲线 C 的位置关系； (2)已知点 M(2，a)在曲线 C 上，求 a 的值 解析：(1)把点 M1

5、的坐标代入参数方程 x2t， y3t21， 得 02t， 13t21 ，t0.即点 M1在曲线 C 上 把点 M2的坐标代入参数方程 x2t， y3t21， 得 42t， 103t21 ，方程组无解即点 M2不在曲线 C 上 (2)点 M(2，a)在曲线 C 上， 22t， a3t21. t1，a31212，即 a 的值为 2. 考点二 圆的参数方程及其应用 (1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程 写出点的坐标，并正确确定参数的取值范 围 (2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值 范围的实质是利用正余弦函数的有界性 【例题2】 圆的直径AB上有两点C，D，且 |AB|10，|AC|BD|

6、4，P为圆上一点，求 |PC|PD|的最大值 思维导引：建立平面直角坐标系，将P点坐 标用圆的参数方程的形式表示出来，为参数， 那么|PC|PD|就可以用只含有的式子来表 示，再利用三角函数等相关知识计算出最大 值 解析：以 AB 所在直线为 x 轴，以线段 AB 的中点为原点建立平面直角坐标系 |AB|10，圆的参数方程为 x5cos ， y5sin ， ( 为参数) |AC|BD|4，C(1,0)，D(1,0) 点 P 在圆上，可设 P(5cos ，5sin )|PC|PD| 5cos 125sin 2 5cos 125sin 2 2610cos 2610cos 2610cos 2610c

7、os 2 522 262100cos2 . 当 cos 0 时，(|PC|PD|)max 52522 26. |PC|PD|的最大值为 2 26. 【变式2】 已知实数x，y满足(x1)2(y1)2 9，求x2y2的最大值和最小值 解析：由已知，可把点(x，y)视为圆(x1)2(y1)29 上的点 设 x13cos ， y13sin ( 为参数)， 则 x2y2(13cos )2(13sin )2 116(sin cos )116 2sin 4 . 1sin 4 1，116 2x2y2116 2. x2y2的最大值为 116 2，最小值为 116 2. 考点三 参数方程的实际应用 【例题3】

8、某飞机进行投弹演习，已知飞机 离地面高度为H2 000 m，水平飞行速度为 v1100 m/s，如图所示 (1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面 的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v220 m/s同向 行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在 距离汽车的水平距离多远处投弹？(g10 m/s2) 思维导引：建立直角坐标系， 设出炸弹对应的点的坐标的 参数方程，然后利用运动学 知识求解 解析：(1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为 0 s，在时刻 t s 时其坐标为 M(x，y)， 由于炸弹作平抛运动，依题意，得 x100t， y2 0001 2gt 2， 即 x10

9、0t， y2 0005t2， 所以飞机投弹 t s 后炸弹的水平位移为 100t m，离地面的高度为(2 0005t2)m，其 中 0t20. (2)令y2 0005t20，得t20(s)， 由于炸弹水平运动和汽车的运动均为匀速直 线运动，以汽车为参考系水平方向s相对v 相对t， 所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s(v1 v2)t(10020)201 600(m) 【变式3】 动点P做匀速直线运动，它在x轴 和y轴上的分速度分别为2 m/s和3 m/s，直角坐 标系的单位长度为1 m，点P的起始位置为 P0(3,2) (1)求点P的轨迹的参数方程； (2)求运动10 s时点P的坐标 解析：(1)设点 P 的坐标为(x，y)，运动时间为 t(t0)，则点 P 的轨迹的参数方程 为 x32t， y23t (t 为参数) (2)当 t10 时，x321023，y231032， 点 P 的坐标为(23,32) 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统