人教版高中数学必修五同课异构课件：2.2 等差数列 2.2.1 探究导学课型 .ppt

1、2.2 等差数列 第1课时 等差数列 1.1.理解等差数列的定义理解等差数列的定义. . 2.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解 决一些简单的问题决一些简单的问题. . 3.3.掌握等差中项的概念并能运用掌握等差中项的概念并能运用. . 1.1.等差数列等差数列 (1)(1)定义：一般地，如果一个数列从第定义：一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项与它的项起，每一项与它的 前一项的差等于前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，那么这个数列就叫做等差数列. . (2)(2)公差：这个公差：这个_叫做等差数列的公差

2、，通常用字母叫做等差数列的公差，通常用字母_表示表示. . (3)(3)通项公式：通项公式：a an n=_.=_. 2.2.等差中项等差中项 若三个数若三个数a a，A A，b b构成等差数列，则构成等差数列，则A A叫做叫做a a，b b的等差中项，的等差中项， 并且并且A=_.A=_. ab 2 同一个常数同一个常数 常数常数 d d a a1 1+(n+(n- -1)d1)d 1.1.已知等差数列已知等差数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n=2n- -1 1，则它的公差为，则它的公差为 ( ( ) ) A.2A.2 B.B.- -2 2 C.3C.3 D.D.-

3、-3 3 【解析解析】选选A.d=aA.d=an n- -a an n- -1 1=(2n=(2n- -1)1)- -2(n2(n- -1)1)- -1=2.1=2. 2.2.已知已知a=1a=1，b=3b=3，则，则a a，b b的等差中项为的等差中项为( ( ) ) A.1A.1 B.2B.2 C.3C.3 D.4D.4 【解析解析】选选B. B. ab1 3 2. 22 3.3.已知等差数列已知等差数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=3=3- -2n2n，则，则a a1 1+a+a2 2= = . . 【解析解析】因为因为a an n=3=3- -2n2n，所以，所以a

4、 a1 1=3=3- -2=12=1， a a2 2=3=3- -2 22=2=- -1 1，故，故a a1 1+a+a2 2=0.=0. 答案：答案：0 0 4.4.等差数列等差数列1 1，- -1 1，- -3 3，- -5 5，- -8989的项数为的项数为 . . 【解析解析】因为因为a a1 1=1=1，d=d=- -1 1- -1=1=- -2 2，所以，所以a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d=1)d=- -2n+3.2n+3. 由由- -2n+3=2n+3=- -8989，得，得n=46.n=46. 答案：答案：4646 一、等差数列的概念一、等差数列的概念 观察

5、下列几个实例，探究以下问题观察下列几个实例，探究以下问题 (1)2(1)2，4 4，6 6，8 8，1010，1212， (2)1(2)1，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1， (3)1(3)1，3 3，5 5，7 7，9 9，1111， 探究探究1 1：请观察：请观察(1)(1)(3)(3)中的数列，它们中的每个数列从第二中的数列，它们中的每个数列从第二 项起每一项与前一项的差是否都相等？项起每一项与前一项的差是否都相等？ 提示：提示：观察这三个实例可以看出，观察这三个实例可以看出，(1)(3)(1)(3)中的差都是中的差都是2 2，(2)(2)中中 的差是的差是0.0.因此上述几个数列

6、从第二项起每一项与前一项的差都因此上述几个数列从第二项起每一项与前一项的差都 相等相等. . 探究探究2 2：在探究：在探究1 1的基础上，你能用数学符号表示它们之间的关的基础上，你能用数学符号表示它们之间的关 系吗？系吗？ 提示：提示：可表示为可表示为a an+1 n+1- -a an n=d(d =d(d为常数，为常数，n nN N* *).). 探究探究3 3：根据等差数列的定义，思考是否所有的常数列都是等：根据等差数列的定义，思考是否所有的常数列都是等 差数列？差数列？ 提示：提示：是，根据等差数列的特点知，所有的常数列都是等差数是，根据等差数列的特点知，所有的常数列都是等差数 列列.

7、 . 【探究总结探究总结】理解等差数列定义时的三个注意点理解等差数列定义时的三个注意点 (1)(1)注意定义中注意定义中“从第从第2 2项起项起”这一前提条件这一前提条件. .这一条件有两层这一条件有两层 意义，其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中意义，其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一与前一 项的差项的差”相吻合；其二，必须从第相吻合；其二，必须从第2 2项起保证使数列中各项均项起保证使数列中各项均 与其前面一项作差与其前面一项作差. . (2)(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求， 它的含义也有两个，其一

8、是强调作差的顺序，即后面的项减前它的含义也有两个，其一是强调作差的顺序，即后面的项减前 面的项；其二是强调这两项必须相邻面的项；其二是强调这两项必须相邻. . (3)(3)注意定义中的“同一个常数”这一点可理解为每一项与前注意定义中的“同一个常数”这一点可理解为每一项与前 面一项的差是常数且是同一个常数面一项的差是常数且是同一个常数. . 二、等差数列的通项公式及等差中项二、等差数列的通项公式及等差中项 结合等差数列的通项公式结合等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d，探究下列问题：，探究下列问题： 探究探究1 1：利用数列的通项公式如何建立数：利用数列的通

9、项公式如何建立数 列任意两项之间的关系列任意两项之间的关系. . 提示：提示：在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若m m，nNnN* *， 则则a an n=a=am m+(n+(n- -m)d.m)d. 推导如下：因为对任意的推导如下：因为对任意的m m，nNnN* *，在等差数列中，在等差数列中， 有有a am m=a=a1 1+(m+(m- -1)d1)d， a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d， 由由- -得得a an n- -a am m=(n=(n- -m)dm)d， 所以所以a an n=a=am m+(n+(n- -m)d.m)d. 探究探究2 2：

10、若：若A= A= ，则，则a a，A A，b b是否成等差数列？若一个数列是否成等差数列？若一个数列 任意相邻的三项具有这种关系，结果怎样？任意相邻的三项具有这种关系，结果怎样？ 提示提示：若若A= A= ，则，则a+b=2Aa+b=2A，A A- -a=ba=b- -A A，则，则a a，A A，b b成等差数成等差数 列，反之也成立列，反之也成立. . 若若a an+1 n+1= (a = (an n+a+an+2 n+2) )，则 ，则a an+1 n+1是它的前一项 是它的前一项a an n与后一项与后一项a an+2 n+2的等差 的等差 中项，由中项，由n n的任意性可得，数列的任

11、意性可得，数列aan n 是等差数列是等差数列. . ab 2 ab 2 1 2 【探究总结探究总结】1.1.对等差数列通项公式的三点说明对等差数列通项公式的三点说明 (1)(1)利用通项公式可以求出首项与公差利用通项公式可以求出首项与公差. . (2)(2)可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项. . (3)(3)若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数. . 2.2.等差中项的注意点等差中项的注意点 (1)(1)等差中项等差中项A=A= a a，A A，b b成等差数列成等差数列. . (

12、2)(2)用等差中项：用等差中项：a an+1 n+1= (a = (an n+a+an+2 n+2) )可以证明一个数列为等差数 可以证明一个数列为等差数 列列. . ab 2 1 2 【拓展延伸拓展延伸】用函数的观点理解等差数列的通项公式用函数的观点理解等差数列的通项公式 (1)(1)将等差数列的通项公式将等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d变形整理可得变形整理可得a an n= = dn+adn+a1 1- -d d，从函数角度来看，从函数角度来看，a an n=dn+(a=dn+(a1 1- -d)d)是关于是关于n n的一次函的一次函 数数(d0

13、(d0时时) )或常数函数或常数函数(d=0(d=0时时).). (2)a(2)an n=dn+(a=dn+(a1 1- -d)d)的图象是一条射线上一些间距相等的点，其的图象是一条射线上一些间距相等的点，其 中公差中公差d d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知 道，道，d= (nm).d= (nm). nm aa nm 类型一类型一 等差数列的定义等差数列的定义 1.1.给出下列数列，其中是等差数列的是给出下列数列，其中是等差数列的是 . . (1)0(1)0，- -3 3，- -6 6，- -9 9，- -1212，. . (2)1

14、(2)1，- -1 1，1 1，- -1 1，1 1，- -1 1，. . (3)6(3)6，6 6，6 6，6 6，. . (4)6(4)6，5 5，3 3，1 1，- -1 1，- -3 3，. . 2.2.已知已知c cn n= = 试判断数列试判断数列ccn n 是否为等差数列是否为等差数列. . 1n1 2n 5n2 ， ， 【解题指南解题指南】1.1.验证从第二项起，每一项与其前一项的差是否验证从第二项起，每一项与其前一项的差是否 等于同一个常数等于同一个常数. . 2.2.分段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个分段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个 常

15、数常数. . 【自主解答自主解答】1.(1)1.(1)该数列从第该数列从第2 2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数差等于同一个常数- -3 3，所以是等差数列，所以是等差数列. . (2)(2)因为因为- -1 1- -1=1=- -2 2，1 1- -( (- -1)=21)=2，不是同一个常数，所以该数列不，不是同一个常数，所以该数列不 是等差数列是等差数列. . (3)(3)该数列从第该数列从第2 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数数0 0，所以是等差数列，所以是等差数列. . (4)(4)因为因为5

16、 5- -6=6=- -1 1，而从第，而从第3 3项起，每一项与它的前一项的差等于项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数同一个常数- -2 2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2 2项项 起是一个等差数列起是一个等差数列. . 答案：答案：(1)(3)(1)(3) 2.2.因为因为c c2 2- -c c1 1= =- -1 1- -1=1=- -2 2， c cn+1 n+1- -c cn n=2(n+1) =2(n+1)- -5 5- -2n+5=2(n2).2n+5=2(n2). 所以所以c cn+1 n+1- -c cn n(n1) (

17、n1)不等于同一个常数，不符合等差数列的定义不等于同一个常数，不符合等差数列的定义. . 所以所以ccn n 不是等差数列不是等差数列. . 【规律总结规律总结】利用等差数列定义判定数列的步骤利用等差数列定义判定数列的步骤 (1)(1)求第二项与第一项的差求第二项与第一项的差( (常数常数).). (2)(2)验证以后每一项与其前一项的差等于同一个常数验证以后每一项与其前一项的差等于同一个常数. . (3)(3)根据等差数列的定义，判定该数列是否为等差数列根据等差数列的定义，判定该数列是否为等差数列. . 【变式训练变式训练】给出下列数列，其中是等差数列的是给出下列数列，其中是等差数列的是 .

18、 . (1)1(1)1，2 2，4 4，6 6，8 8，. . (2)0(2)0，0 0，0 0，0 0，. . (3)3(3)3，6 6，9 9，1212，. . 【解析解析】(1)(1)因为因为2 2- -1=11=1，4 4- -2=22=2，故该数列不是等差数列，故该数列不是等差数列. . (2)(2)因为因为0 0- -0=00=0- -0=0=0=0，所以是等差数列，所以是等差数列. . (3)(3)因为因为6 6- -3=93=9- -6=126=12- -9=9=3=3，所以是等差数列，所以是等差数列. . 答案：答案：(2)(3)(2)(3) 类型二类型二 等差数列通项公式的

19、应用等差数列通项公式的应用 1.(20141.(2014重庆高考重庆高考) )在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1=2=2，a a3 3+a+a5 5=10=10，则，则 a a7 7=(=( ) ) A.5A.5 B.8B.8 C.10C.10 D.14D.14 2.(20152.(2015大连高二检测大连高二检测) )已知等差数列已知等差数列aan n 中，中， a a1 1aa2 2aa3 3 aan n且且a a3 3，a a6 6为方程为方程x x2 2- -10x+16=010x+16=0的两个实根的两个实根. . (1)(1)求此数列求此数列aan n 的通项公式

20、的通项公式. . (2)268(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说 明理由明理由. . 【解题指南解题指南】1.1.根据题设条件求出公差，进而可求出根据题设条件求出公差，进而可求出a a7 7的值的值. . 2.(1)2.(1)由于数列由于数列aan n 是等差数列，只要确定它的首项是等差数列，只要确定它的首项a a1 1及公差及公差d d 的值，将其代入通项公式中，即可得的值，将其代入通项公式中，即可得a an n. . (2)268(2)268是否为该等差数列中的项，关键点是看是否为该等差数列中的项，关键点是看a an

21、 n=268=268是否有正是否有正 整数解整数解. . 【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.设公差为设公差为d d，因为，因为a a1 1=2=2， 所以所以a a3 3+a+a5 5=2+2d+2+4d=4+6d=10=2+2d+2+4d=4+6d=10， 解得解得d=1d=1， 所以所以a a7 7=a=a1 1+6d=2+6=8.+6d=2+6=8. 2.(1)2.(1)因为因为 即即 解得解得 故故a an n= =- -2+2(n2+2(n- -1)=2n1)=2n- -4.4. 36 36 aa10 a a16 ， ， 11 11 a2da5d10 a2d a5d16 ， ，

22、 1 a2 d2. ， (2)268(2)268是此数列中的项是此数列中的项. .令令a an n=2n=2n- -4=2684=268得得2n=2722n=272， 故故n=136.n=136. 因此因此268268是此数列中的是此数列中的136136项项. . 【规律总结规律总结】求等差数列通项公式的四个步骤求等差数列通项公式的四个步骤 【变式训练变式训练】已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a10 10=29 =29，a a21 21=62 =62，试判断，试判断 9191是否为此数列中的项是否为此数列中的项. . 【解析解析】设该等差数列的公差为设该等差数列的公差为d d，

23、则有，则有a a10 10=a =a1 1+9d=29+9d=29， a a21 21=a =a1 1+20d=62+20d=62，解得，解得a a1 1=2=2，d=3.d=3. 所以所以a an n=2+(n=2+(n- -1)1)3=3n3=3n- -1.1. 令令a an n=3n=3n- -1=911=91，得，得n=n= N N* *. . 所以所以9191不是此数列中的项不是此数列中的项. . 92 3 类型三类型三 等差中项的简单应用等差中项的简单应用 1.1.方程方程x x2 2- -6x+1=06x+1=0的两根的等差中项为的两根的等差中项为( ( ) ) A.1A.1 B

24、.2B.2 C.3C.3 D.4D.4 2.2.已知已知a a，b b，c c成等差数列，那么成等差数列，那么a a2 2(b+c)(b+c)，b b2 2(c+a)(c+a)，c c2 2(a+b)(a+b) 是否成等差数列？是否成等差数列？ 【解题指南解题指南】1.1.由根与系数的关系得两根之和，进而求其等差由根与系数的关系得两根之和，进而求其等差 中项中项. . 2.2.已知已知a a，b b，c c成等差数列，由等差中项的定义，可知成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2ba+c=2b， 然后要证然后要证a a2 2(b+c)(b+c)，b b2 2(c+a)(c+a)，c c2

25、2(a+b)(a+b)是否成等差数列，可考虑是否成等差数列，可考虑 等差中项的定义、性质及条件等差中项的定义、性质及条件a+c=2b.a+c=2b. 【自主解答自主解答】1.1.选选C.C.设方程设方程x x2 2- -6x+1=06x+1=0的两根为的两根为x x1 1，x x2 2， 则则x x1 1+x+x2 2=6.=6.所以其等差中项为所以其等差中项为 2.2.因为因为a a，b b，c c成等差数列，所以成等差数列，所以a+c=2ba+c=2b， 又又a a2 2(b+c)+c(b+c)+c2 2(a+b)(a+b)- -2b2b2 2(c+a)(c+a) =a=a2 2c+cc+

26、c2 2a+ab(aa+ab(a- -2b)+bc(c2b)+bc(c- -2b)2b) =a=a2 2c+cc+c2 2a a- -2abc=ac(a+c2abc=ac(a+c- -2b)=02b)=0， 所以所以a a2 2(b+c)+c(b+c)+c2 2(a+b)=2b(a+b)=2b2 2(c+a)(c+a)， 所以所以a a2 2(b+c)(b+c)，b b2 2(c+a)(c+a)，c c2 2(a+b)(a+b)成等差数列成等差数列. . 12 xx 3. 2 【规律总结规律总结】 1.1.等差中项的两个注意点等差中项的两个注意点 (1)(1)唯一性：任意两个常数存在唯一的等差

27、中项唯一性：任意两个常数存在唯一的等差中项. . (2)(2)任意性：等差数列中不连续的三项，如任意性：等差数列中不连续的三项，如a ak k- -s s，a ak k，a ak+s k+s中， 中， a ak k是是a ak k- -s s与与a ak+s k+s的等差中项，因为其下标 的等差中项，因为其下标k k- -s s，k k，k+sk+s成等差数列成等差数列. . 提醒：提醒：等差数列中项的下标成等差数列，相应项也成等差数列等差数列中项的下标成等差数列，相应项也成等差数列. . 2.2.证明或判断一个数列是等差数列的常用方法证明或判断一个数列是等差数列的常用方法 (1)(1)定义法

28、：利用定义法：利用a an n- -a an n- -1 1=d(=d(常数常数)(n2)(n2且且nNnN* *) )等价于等价于aan n 是是 等差数列等差数列. . (2)(2)等差中项法：等差中项法：2a2an n=a=an n- -1 1+a+an+1 n+1(n2 (n2且且nNnN* *) )等价于等价于aan n 是等差是等差 数列数列. . 【变式训练变式训练】已知已知m m和和2n2n的等差中项是的等差中项是4 4，2m2m和和n n的等差中项是的等差中项是 5 5，则，则m m和和n n的等差中项是的等差中项是( ( ) ) A.2A.2 B.3B.3 C.6C.6 D.9D.9 【解析解析】选选B.B.由题意得由题意得 所以所以m+n=6m+n=6，所以，所以m m，n n的的 等差中项为等差中项为3.3. m2n8 2mn10 ， ，