人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列习题课 情境互动课型 .ppt

1、第2课时 等差数列习题课 高斯（高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777Carl Friedrich Gauss, 1777- -18551855） 德国数学家、物理学家、德国数学家、物理学家、 天文学家天文学家.1777.1777年年4 4月月3030日生日生 于不伦瑞克，于不伦瑞克，18551855年年2 2月月2323日日 卒于格丁根卒于格丁根. .高斯是近代数学高斯是近代数学 的奠基者之一的奠基者之一. . 与阿基米德、与阿基米德、 牛顿号称“三大数学大师”牛顿号称“三大数学大师”, , 并享有“并享有“数学王子数学王子”的美誉”的美誉! ! 他幼年时就表现出超人的数

2、学他幼年时就表现出超人的数学 天赋天赋. . 上一节课我们已经学习了高斯关于上一节课我们已经学习了高斯关于1+2+100=?1+2+100=? 的算法，本节课我们将继续研究等差数列的有关性的算法，本节课我们将继续研究等差数列的有关性 质及其应用！质及其应用！ 1.1.能够利用等差数列的前能够利用等差数列的前n n项和公式解决有关等差项和公式解决有关等差 数列的实际问题数列的实际问题. .（重点）（重点） 2.2.能够利用函数与数列的前能够利用函数与数列的前n n项和公式解决有关等项和公式解决有关等 差数列的实际问题差数列的实际问题. .（难点）（难点） 1.1.等差数列定义：等差数列定义：a

3、an n- -a an n- -1 1=d=d（d d为常数）（为常数）（n2n2）. . 3.3.等差数列的通项变形公式：等差数列的通项变形公式： a an n=a=am m+ +（n n- -m m）d.d. 2.2.等差数列的通项公式：等差数列的通项公式： a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d.1)d. 探究探究1:1:等差数列的性质等差数列的性质 4.4.数列数列 an n 为等差数列，则通项公式为等差数列，则通项公式an n= =pn+ +q ( (p, ,q是常数是常数),),反之亦然反之亦然. . 如如果果 ， ， 成成等等差差数数列列，那那么么 . . 2 6 a

4、b A aAb 由由三三个个数数 ， ， 组组成成的的等等差差数数列列可可以以看看成成最最简简单单 的的等等差差数数列列，这这时时， 叫叫做做 与与等等差差中中的的项项 5. . aAb Aab N7 7 性性质质 在在等等差差数数列列中中, , 为为公公差差，若若 且且，那那么么 .:, , , . m n npq adm n p q mnpqaaaa 8 8 推推论论 在在等等差差数数列列中中，与与首首末末两两项项距距离离相相等等的的两两项项和和 等等于于首首末末两两项项的的和和，即即. . 12132 .: nnn aaaaaa 数数列列前前n n项项. .和和 12 9.: nnn S

5、aaaa 性性质质：若若数数列列前前 项项和和为为， . . 则则 ， 1 1 (1) ( 10. 2) n n n nn Sn a SSn anS 或或 注注意意：两两个个公公式式都都表表明明要要求求必必须须已已知知 等等差差数数列列的的 . . 前前 项项和和 中中的的 公公式式 三三个个. . 1 1 1 ()( 11. 1 : 2 , , ) 2 , n nn nn n Sn a aan nd SSn d a a n 12.12.性质性质: S: Sm m,S,S2m 2m- -S Sm m,S ,S3m 3m- -S S2m 2m 也成等差数列 也成等差数列. . 1 (1) 2 n

6、 n nd nSna结结论论：等等差差数数列列的的前前 项项和和的的图图 象象是是相相应应抛抛物物线线上上一一群群孤孤立立的的点点，它它的的最最值值由由抛抛 物物线线的的开开口口决决定定. . 联系联系: an = a1+(n-1)d的图象是相应直线上的图象是相应直线上 一群孤一群孤 立的点，它的最值又是怎样立的点，它的最值又是怎样? 由由d d的正负决定的正负决定 已知等差数列已知等差数列 an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S S5 5=5,S=5,S10 10=20 =20， 求求S S15 15. . 解：解：因为因为S S5 5，S S10 10- -S S5

7、5， ，S S15 15- -S S1010成等差数列， 成等差数列， 所以所以2(S2(S10 10- -S S5 5)=S )=S5 5+S+S15 15- -S S1010, , 即即30=5+S30=5+S15 15- -20 20， S S15 15=45. =45. 【即时练习即时练习】 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列aan n 的前的前n n项和为项和为 S Sn n=pn=pn2 2+qn+r+qn+r，其中，其中p,q,rp,q,r为常数，且为常数，且p0p0，那么这个，那么这个 数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与

8、公差分 别是什么？别是什么？ 分析：分析：因为当因为当n1n1时，时， 当当n=1n=1时，时，a a1 1=S=S1 1=p+q+r=p+q+r， 又因为当又因为当n=1n=1时，时，a a1 1=2p=2p- -p+q=p+qp+q=p+q， 所以当且仅当所以当且仅当r =0r =0时，时，a a1 1满足满足a an n=2pn=2pn- -p+q.p+q. a an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1 =pn=pn2 2+qn+r+qn+r- -p(np(n- -1)1)2 2- -q(nq(n- -1)1)- -r r =2pn=2pn- -p+q.p+q. 探究探究2:

9、2:等差数列等差数列的前的前n n项和项和与二次函数的关系与二次函数的关系 2 为为常常数数( ,). n SAnBn A B 数列数列aan n 为等差数列为等差数列 故只有当故只有当r=0r=0时该数列才是等差数列，此时时该数列才是等差数列，此时 首项首项a a1 1=p+q=p+q，公差，公差d=2p(p0).d=2p(p0). 等差数列的前等差数列的前n n项和公式与二次函数的区别与联系项和公式与二次函数的区别与联系 定义域为定义域为N N* * 联系联系 S Sn n 图象是一系列图象是一系列 孤立的点孤立的点. . 区别区别 f(x)f(x) 定义域为 定义域为R R 图象是一条光

10、滑图象是一条光滑 的抛物线的抛物线. . 解析式都是二解析式都是二 次式；次式； S Sn n的图象是抛的图象是抛 物线物线y=f(x)y=f(x)上的上的 一系列孤立点一系列孤立点. . (2014(2014江西高考江西高考) )在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1=7,=7,公差为公差为 d,d,前前 n n 项和为项和为 S Sn n, ,当且仅当当且仅当 n=8n=8 时时 S Sn n取得最大值取得最大值, ,则则 d d 的取值范围为的取值范围为 . . 【解析】【解析】由题意得由题意得 a a8 800 且且 a a9 90 且且 7+8d0,7+8d0, 解得解得

11、- -1d1d- - 7 8 . . 答案答案: :( (- -1 1, ,- - 7 8 ) ) 【即时练习即时练习】 例例1 1 已已知知等等差差数数列列的的前前 项项和和为为，求求使使 得得最最大大的的序序号号 的的值值 24 5, 4, 3, 77 . n n nS Sn 数数项项写写 数数 当当时时数数 关关图图条条抛抛线线 点点们们数数来来 2 2 n1nn1n 2*2* 1 1 n n 等等差差列列的的前前n和n和公公式式可可以以成成 dddd S =n + a -n,所S =n + a -n,所以以S 可S 可以以看看成成函函 2222 dddd y =x + a -x(xN

12、) x = n的y =x + a -x(xN ) x = n的函函值值. . 2222 另另一一方方面面，容容易易知知道道S于S于n的n的象象是是一一物物 上上的的一一些些.因.因此此，我我可可以以利利用用 分分析析 二二次次函函求求 ： n的n的值值. . 题题数数为为 n n 2 2 2 2 245245 由由意意知知，等等差差列列5,4 , 3 ,的5,4 , 3 ,的公公差差- ，- ， 777777 n5n5 所所以以S =2S =25+(n-1)(- )5+(n-1)(- ) 2727 75n-5n75n-5n = = 1414 5151 1255151 125 = -(n-) +

13、.= -(n-) +. 142142 解解 5656 ： n n 1515 于于是是，n取n取与与最最接接近近的的整整即即7或7或8，8， 2 2 S 取S 取最最大大值值. . 当当数数时时 (1) 当当a10，d0，前，前n项和有最大值项和有最大值. 可由可由an0，且且an 1 0，求得 ，求得n的值；的值； 当当a10，d0，前，前n项和有最小值项和有最小值. 可由可由an0，且，且an 10，求得 ，求得n的值的值. 解决等差数列前解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法：项和的最值问题有两种方法： (2) 由由 取最值时取最值时n的值的值. ,利用二次函数配方法求得利用二次函数配方

14、法求得 2 1 () 22 n dd Snan 【方法技巧方法技巧】 设数列设数列aan n 是等差数列，且是等差数列，且a a2 2= =- -6,a6,a8 8=6,S=6,Sn n是数列是数列 aan n 的前的前n n项和，则（项和，则（ ） A. SA. S4 4SS5 5 B. SB. S4 4=S=S5 5 C. SC. S6 6SS5 5 D. SD. S6 6=S=S5 5 B B 【变式练习变式练习】 N例例求求集集合合且且的的元元素素 个个数数，并并求求这这些些元元素素的的和和 27 ,100 . Mm mn nm 数数个个个个 为为项项 为为项项数数 1 1 1414

15、n n 10021002 由由7n 100得7n 100得n =14 ，n =14 ， 7777 所所以以正正整整n共n共有有14, 即14, 即M中M中共共有有14元14元素素， 即即：7，7，14，14，21，21， ，98是98是以以a =7首a =7首， 以以a= 98末a= 98末的的等等差差列列. . 1414 (7+98)(7+98) 所所以以S =735.S =735. 2 2 解解： 一个等差数列的前一个等差数列的前1212项的和为项的和为354,354,前前1212项中项中, ,偶数偶数 项和与奇数项和之比为项和与奇数项和之比为32:27,32:27,求公差求公差d.d.

16、解：解：由题意知，由题意知，S S奇 奇+S +S偶 偶=354, S =354, S偶 偶:S :S奇 奇=32:27. =32:27. 列方程组解得：列方程组解得：S S奇 奇=162 =162，S S偶 偶=192 =192， S S偶 偶- -S S奇奇=6d=30 =6d=30， 所以所以d=5.d=5. 【变式练习变式练习】 1.1.在等差数列在等差数列aan n 中中, ,已知已知S S15 15=90, =90,那么那么a a8 8等于（等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 2.2.等差数列等差数列aan n 的前的前m

17、m项的和为项的和为3030，前，前2m2m项的和为项的和为 100100，则它的前，则它的前3m3m项的和为（项的和为（ ） A. 130 B. 170 C. 210 D. 260A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 C C C C 3.3.设设aan n 是递增的等差数列，前三项的和为是递增的等差数列，前三项的和为1212，前，前 三项的积为三项的积为4848，则它的首项是（，则它的首项是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 B B 4 4.(2015.(2015重庆高考改编重庆高考改编) )已知等差数列已知等差数列 满足 满

18、足 a a3 3=2,=2, 前前 3 3 项和项和 S S3 3= = . . 求求 的通项公式 的通项公式. . 【解析】【解析】 设设 的公差为 的公差为 d,d,则由已知条件得则由已知条件得 a a1 1+2d=2,3a+2d=2,3a1 1+ + d=d= , ,化简得化简得 a a1 1+2d=2,a+2d=2,a1 1+d=+d= , ,解解 得得 a a1 1=1,d=1,d= , , 故故 的通项公式 的通项公式 a an n=1+=1+ = = . . 【分析】【分析】直接利用公式求解数列直接利用公式求解数列 的通项公式即可 的通项公式即可. . 5 5. .（201520

19、15安徽安徽高考高考）已知数列已知数列 n a 中，中，1 1a ， 1 1 2 nn aa （ 2n ） ，则数列） ，则数列 n a 的前的前 9 9 项和等项和等 于于 . . 【解析】【解析】 2n 时，时， 121 11 , 22 nn aaaa 且 1n aa是以 为首项，为首项， 1 2 为公差的等差数列为公差的等差数列 9 9 81 9 191827 22 S 答案：答案：2727 1.1.等差数列的前等差数列的前n n项和与二次函数的关系；项和与二次函数的关系； 2.2.利用利用S Sn n求求a an n； 3.3.等差数列基本量的计算；等差数列基本量的计算； 4.4.等差

20、数列的性质等差数列的性质. . 5.5.等差数列的有关公式等差数列的有关公式 通项通项 公式公式 数列数列aan n 是等差数列，公差为是等差数列，公差为d d，a an n=a=a1 1+_.+_. 求和求和 公式公式 数列数列aan n 是等差数列，公差为是等差数列，公差为d d，前，前n n项和为项和为S Sn n， 则则S Sn n_._. 等差等差 中项中项 公式公式 若三个数若三个数a a，A A，b b成等差数列，则中项成等差数列，则中项A=_.A=_. (n(n1)d1)d na1n n 1 2 dn a 1 an 2 ab 2 要做一番伟大的事业，总得在青年时代开始。 歌德