高中数学（人教版选修1-1）配套课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2（二） .pptx

1、2.1.2 椭圆的简单几何性质(二) 第二章 2.1 椭 圆 1.巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的 有关问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 点与椭圆的位置关系 点 P(x0，y0)与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的位置关系： 点 P 在椭圆上x 2 0 a2 y2 0 b21； 点 P 在椭圆内部x 2 0 a2 y2 0 b21. 答案 直线ykxm与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的位置关系判断方法：联立 ykxm， x2 a2 y2 b

2、21. 知识点二 直线与椭圆的位置关系 消去y得到一个关于x的一元二次方程. 位置关系 解的个数 的取值 相交 _解 _0 相切 _解 _0 相离 _解 _0 两 一 无 b0)或 y2 a2 x2 b2 1(ab0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|x1x22y1y22， |AB|x1x22kx1kx22 1k2x1x22 1k2x1x224x1x2， 或|AB| 1 ky1 1 ky2 2y 1y2 2 1 1 k2 y1y22 1 1 k2 y1y224y1y2. 其中，x1x2，x1x2或 y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立

3、消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程求得. 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 直线与椭圆的位置关系 例1 在椭圆 1上求一点P，使它到直线l：3x2y160的距离 最短，并求出最短距离. x2 4 y 2 7 解 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y3 2xm， 代入x 2 4 y 2 7 1， 并整理得4x23mxm270， 9m216(m27)0 m216m4， 故两切线方程为 y3 2x4 和 y 3 2x4， 显然 y3 2x4 距 l 最近， d |168| 3222 8 13 8 13 13 ， 切点为 P 3 2， 7 4 . 反思与感悟 解析

4、答案 跟踪训练1 已知椭圆x28y28，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x y40的距离最短，并求出最短距离. 解 设与直线xy40平行且与椭圆相切的直线为xya0， 联立方程 x28y28， xya0， 得 9y22aya280， 4a236(a28)0， 与直线l距离较近的切线方程为xy30， 最小距离为 d |43| 2 2 2 . 解得a3或a3， 由 x28y28， xy30， 得 x8 3， y1 3， 即 P(8 3， 1 3). 解析答案 题型二 直线与椭圆的相交弦问题 例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆 1所截得的线段的中点，求直线l 的方程. 解 由题意可设直线l的方程

5、为y2k(x4)， 而椭圆的方程可以化为x24y2360. 将直线方程代入椭圆方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360. x2 36 y2 9 所以 x1x28k4k2 4k21 8，所以 k1 2. 所以直线 l 的方程为 y21 2(x4)， 即x2y80. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 设F1，F2分别是椭圆E： 1 (ab0)的左，右焦点， 过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|. (1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|； 解 由|AF1|3|F1B|，|AB|4， 得|AF1|3，|F1B|1. 因为ABF2的周长为16， 所

6、以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8. 故|AF2|2a|AF1|835. x2 a2 y2 b2 解析答案 (2)若 cosAF2B3 5，求椭圆 E 的离心率. 解 设|F1B|k，则k0，且|AF1|3k，|AB|4k. 由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak. 在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2| |BF2|cosAF2B， 即(4k)2(2a3k)2(2ak)26 5(2a3k) (2ak)， 化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k. 于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k. 因此|BF2|2|F2A|

7、2|AB|2，可得F1AF2A， 故AF1F2为等腰直角三角形. 从而 c 2 2 a，所以椭圆 E 的离心率 ec a 2 2 . 解析答案 题型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例3 已知椭圆4x2y21及直线yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； 解 由 4x2y21， yxm 得 5x22mxm210， 因为直线与椭圆有公共点， 所以 4m220(m21)0，解得 5 2 m 5 2 . 解析答案 (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知：5x22mxm210， 所以 x1x22m 5 ，x

8、1x21 5(m 21)， 所以|AB|x1x22y1y22 2x1x222x1x224x1x2 2 4m2 25 4 5m 21 2 5 108m2. 当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 3 如图，点 A 是椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的短轴位于 y 轴下方的 端点， 过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B， 若 P 在 y 轴上， 且 BPx 轴， AB AP 9. (1)若点 P 的坐标为(0,1)，求椭圆 C 的标准方程； (2)若点 P 的坐标为(0，t)，求 t 的取值范围. 解析答案 返回 解

9、后反思 一题多解 求解椭圆中弦所在的直线方程 例 4 已知椭圆 x2 16 y2 4 1，过点 P(2,1)作一条弦，使弦在这点被平分， 求此弦所在的直线方程. 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.直线yx2与椭圆 1有两个公共点，则m的取值范围是( ) A.m1 B.m1且m3 C.m3 D.m0且m3 x2 m y2 3 解析 由 yx2， x2 m y2 3 1 (3m)x24mxm0， 0，m1或m0且m3， m1且m3. B 解析答案 1 2 3 4 5 2.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为( ) A.1 3 B. 3 3 C. 2 2 D.1 2

10、解析 将方程化为标准形式x 2 m 2 y 2 m 3 1， 因为 m0，所以 a2m 2 ，b2m 3 ， 所以 c2a2b2m 2 m 3 m 6 ， 所以 ec a m 6 m 2 1 3 3 3 . B 1 2 3 4 5 解析答案 3.椭圆 x2 25 y2 161 的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB 过F1，若ABF2 的内切 圆周长为，A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|y1y2|的值为( ) A.5 3 B.10 3 C.20 3 D. 5 3 解析 易知ABF2的内切圆的半径 r1 2， 可得ABF2的面积 S1 2lr 1 22c|y1y2|， 根据

11、椭圆的性质结合ABF2的特点， 其中 l 为ABF2的周长，且 l4a，代入数据解得|y1y2|5 3. A 解析答案 1 2 3 4 5 4.椭圆x24y236的弦被点A(4,2)平分，则此弦所在的直线方程为( ) A.x2y0 B.x2y40 C.2x3y140 D.x2y80 解析 设以点A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于点E(x1，y1)，F(x2，y2)， 点A(4,2)为EF中点， 把E(x1，y1)，F(x2，y2)分别代入椭圆x24y236中， x1x28，y1y24， 得 x2 14y 2 136， x2 24y 2 236， 则得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(

12、y1y2)0， ky 1y2 x1x2 1 2， 8(x1x2)16(y1y2)0， 以点 A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 y21 2(x4)， 整理得，x2y80. D 解析答案 1 2 3 4 5 5.已知F1、 F2是椭圆的两个焦点， 满足MF1 MF2 0的点M总在椭圆内部， 则椭圆离心率的取值范围是_. 解析 设点 M(x，y)，MF1 MF2 0， 点M的轨迹方程是x2y2c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆， 其中F1F2为圆的直径. 由题意知，椭圆上的点P总在圆外， |OP|c恒成立， 由椭圆性质知|OP|b，bc，a22c2， (c a) 21 2，0e 2 2 . 0e 2 2 课堂小结 返回 解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1x2，x1 x2或y1y2，y1 y2，进而求解.