2020年高考数学（理）满分技巧与限时训练：平面向量、复数（解析版）.docx

1、热点06 平面向量、复数【命题趋势】 复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量.【知识点分析以及满分技巧】 复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题

2、目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算. 平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可. 平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可.平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解. 【考查题型】选择题，填空【限时检测】（建议用时：45分钟）1（2018河北衡水中学高考模拟（理）已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别为A，B，C，D，【答案】D【解析】

3、先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部.【详解】由题得，所以复数z的实部和虚部分别为7和-3.故答案为：D【名师点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数的实部是a,虚部是“i”的系数b，不包含“i”,不能写成bi.2（2019河北衡水中学高考模拟（理）已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题又对应复平面的点在第四象限，可知，解得故本题答案选3（2019河南高三月考（理）若与的虚部互为相反数，则实数的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】分别对两个复数

4、进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得的值.【详解】因为，所以虚部为，因为，所以虚部为，所以，即.故答案为：D.【名师点睛】本题考查复数的四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.4（2018全国郑州外国语学校高考模拟（理）设复数（是虚数单位），则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】分析：根据共轭复数的定义求得，利用复数乘法的运算法则求得，根据复数模的公式可得结果.详解：因为，故选A.【名师点睛】：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过

5、分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5（2019河北高考模拟（理）已知平面向量与的夹角为，且，则（）ABCD【答案】A【解析】根据平面向量数量积的运算法则，将平方运算可得结果【详解】，cos=4，故选A.【名师点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求模的应用问题，考查了数量积与模之间的转化，是基础题目6（2019山西高考模拟（理）在边长为1的正三角形ABC中, ,且 ,则的最大值为()ABCD【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系，则，因函数取得最大值故答案为C.7（2019福建厦门一中高考模拟（理）已知为虚数单位，若，则（ ）

6、A1BCD2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.【详解】为虚数单位，若，根据复数相等得到.故答案为：C.【名师点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数与相等的充要条件是且复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解8（2019安徽高考模拟（理）已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复

7、数，化简复数，从而得答案【详解】,则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限故选A【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9（2019河北辛集中学高三期中（理）已知i为虚数单位，a为实数，复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“a1”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不

8、充分也不必要条件【答案】B【解析】把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a的取值范围，得到结果【详解】解：复数z（a2i）（1+i）a+2+（a2）i，在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a2），若点在第四象限则a+20，a20，2a2，“点M在第四象限”是“a1”的必要而不充分条件，故选：B【名师点睛】本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题10（2019广东高考模拟（理）在中，点满足，则A0B2CD4【答案】A【解析】首先根据已知取基底，然后用基底表示和，最后代

9、入进行数量积运算即可.【详解】由题可得：，所以由于，则，所以，故答案选A【名师点睛】本题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起，属于中档题.11（2019山东高考模拟（理）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据复数的乘法运算，计算，根据对应点在在直线上可得出.【详解】因为，对应的点为，因为点在直线上，所以，解得. 故选D.【名师点睛】本题主要考查了复数的运算，复数对应的点，属于中档题.12（2019河南高考模拟（理）已知复数，则（ ）ABCD【答案】A【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】

10、由题 故 故选：A【名师点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13（2019河南省实验中学高考模拟（理）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为A B C D【答案】C【解析】因为，所以，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.14（2019广东高考模拟（理）复数（为虚数单位）是方程的根，则的值为（ ）AB13CD5【答案】B【解析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解【详解】是方程z26z+b0（bR）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，为方程另一根，则b（3+2i）（32i）13故选：B【名师点

11、睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题15（2019山东高考模拟（理）已知i为虚数单位，且复数z满足 ，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（）ABCD【答案】B【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标，则答案可求【详解】由，得，复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为故选：B【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题16（2019黑龙江铁人中学高三期中（理）在中，,为的中点，则=( )A2B-2CD【答案】B【解析】为的中点，故选B.17（2019天津一中高考模拟（理）如

12、图，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ） A BC D【答案】B【解析】连接并延长分别交圆于，连接，与交于，显然，此时，分别过作的平行线，由于 ，则，则， ， ，此时 ，同理可得：，选. 【名师点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点在等和线上去求的取值范围，由于点是圆及其内部任意一点，所以分别过作圆的切线，求出两条等和线的值，就可得出的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.18（2018河北衡水中学高考模拟（理）已知向量，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】 ,所以 为可行域 内一点,可行域为一个梯形 (去掉线段

13、)及其内部,所以 ,从而选B.【名师点睛】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法的值域范围.二、填空题19（2019天津市武清区杨村第一中学高考模拟（理）在四边形中，已知是边上的点，且，若点在线段上，则的取值范围是_.【答案】【解析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得 计算出的表达式,最后根据的大小,可以求出的取值范围.【详解】，是边上的点，所以，因此，在等腰中,点到线段上的一点 的距离最大值为1,取最小值时,为的中点,

14、此时,所以的取值范围为: .【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的取值问题,利用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.20（2019福建三明一中高三期中（理）已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，则 _.【答案】2【解析】先得到夹角均为，再计算，得到答案.【详解】由平面内三个不共线向量两两夹角相等，可得夹角均为所以1192112132134，所以故答案为：2【名师点睛】本题考查了向量的模，平方所求值再计算是解题的关键，意在考查学生的计算能力.21（2019甘肃兰州一中高三期中（理）已知向量满足，则的最大值为_.【答案】【解析】设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系的夹角

15、为，则，即表示以为圆心，1为半径的圆，表示点A，C的距离，即圆上的点与A的距离，因为圆心到A的距离为，所以的最大值为22（2019上海复旦附中高三）已知点为的外心，且，则 【答案】 【解析】试题分析：由题点为的外心，且，则 考点：平面向量数量积的运算23 （2019北京清华附中高三月考）在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上且则的值为 【答案】【解析】在等腰梯形ABCD中,由,得,所以 .考点：平面向量的数量积.24（2019江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_.【答案】.【解析】由题意将原问题转化为基底的

16、数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD. ，得即故.【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.24 （2019浙江高考真题）已知正方形的边长为1，当每个 取遍时，的最小值是_；最大值是_.【答案】0 【解析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，0， 要使的最小，只需要，此时只需要取此时 等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正.比如则.【名师点睛】：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.