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1、 第三章 李亚普诺夫稳定性主要内容：主要内容：李亚普诺夫稳定李亚普诺夫稳定性的基本概念性的基本概念1 李亚普诺夫稳定李亚普诺夫稳定性的判别方法性的判别方法2李亚普诺夫稳定李亚普诺夫稳定性方法的应用性方法的应用31321 李亚普诺夫李亚普诺夫稳定性的基本概念稳定性的基本概念李亚普诺夫李亚普诺夫稳稳定性的基本概定性的基本概念念物理基础物理基础平衡状态李亚普诺夫意义下的稳定1)1)稳定性稳定性：一个自动控系统当受到外界干扰时，它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉后，它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性能称为稳定性。2)2)稳定系统：稳定系统：具有稳定性的系统称为稳定系统。反之为不稳定系统。

2、3)3)系统稳定性的数学表示法：系统稳定性的数学表示法：系统在受到外界干扰后，系统偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性，用数学方式表示为1-1物理基础物理基础lim()tx t 1-2平衡状态设系统的状态方程为若存在状态向量，使成立，则称之为系统的平衡状态。若已知状态方程，令所求得的解x便是平衡状态。对于线性定常连续系统，其平衡状态为的解，若A为非奇异矩阵，则系统存在唯一的零解；若A为奇异矩阵，则系统解不唯一。对任意,总可引入一个新状态,经过一定的坐标变换,把它化到坐标原点(即零状态)1-3李亚普诺夫意义下的稳定对于系统的平衡状态，若对任意给定的实数0,均存在一个依赖于和的实数，

3、使得满足的任意初始状态出发的运动状态都满足则称系统的平衡状态是李亚普诺夫意义下的稳定稳定稳定渐近稳定渐近稳定不稳定不稳定2 李亚普诺夫李亚普诺夫稳定性的判别方法稳定性的判别方法李亚普诺夫李亚普诺夫稳稳定性的判别方定性的判别方法法第一法与第二第一法与第二法的比较法的比较二次型及其定二次型及其定号性号性李亚普诺夫第二法主要定理2-1第一法与第二法的比较第一法与第二法的比较第一法第一法：是解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，或 根据特征方程根的情况来判据稳定性。第二法第二法：提供了判别所有系统稳定性的方法，在不直接求解的前提下，通过李氏函数及其对时间的一次导数的定号性，判别系统平

4、衡状态稳定性的信息。2-2二次型及其定号性二次型及其定号性1 1)定号性定号性正定性正定性:当且仅当当且仅当x x=0时时,才有才有V(x)=0;对任意非零对任意非零X,恒有恒有V(x)0,则则V(x)为正定。为正定。负定性负定性:当且仅当当且仅当x=0时时,才有才有V(x)=0;对任意非零对任意非零X,恒有恒有V(x)0,则则V(x)为负定。为负定。正半定性和负半定性正半定性和负半定性:如果对任意x0,恒有V(x)0,则V(x)为正半定或准正定;如果对任意x0,恒有V(x)0,则V(x)为负半定或准负定。不定性不定性:如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(x)可为正值也可为负值，则V(X)为

5、不定。2 2)塞尔维斯特定理塞尔维斯特定理实对称矩阵对称矩阵P为正定的充分必要条件是,P的各阶顺序主子行列都为,即111111211212210,0,0nnnnppppppppp实对称矩阵P为负定的充分必要条件是,P的奇数阶顺序主子行列式为负，而偶数阶顺序主子行列式为正若P的所有主子行列式为非负（主子式含有等于零的情况），则P为正半定。若-P为正半定，则P为负半定2-2二次型及其定号性二次型及其定号性2-3李亚普诺夫第二法主要定理定理定理1:设系统的状态方程为，式中，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：正定，负定则原点处的平衡状态是渐进稳定和的，如果随着，有则原点处的平衡状态

6、是大范围内的渐进稳定。1 1222222121122121222212(,)222()2()2()0V X tx xx xxxx xxxxx xxxx 负定的。2）选取李氏函数 选 显然 正定的。2212(,)V X txx2212(,)0V X txx例例2-1 设系统方程为22121122221212()()xxx xxxxx xx 解解：1）平衡状态 求 解 ，得 是给定系统唯一的平衡状态。试确定其平衡状态的稳定性。120,0 xx(,)0f x t 120,0 xx 所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又 即 X 212221xx有 2221),(xxtXV则在原点处的平衡状态是大

7、范围渐近稳定的。2-3李亚普诺夫第二法主要定理定理定理2:设系统的状态方程为，式中，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：正定，负半定，对任意和任意在时不恒等于零则原点处的平衡状态是渐进稳定和的，如果随着，有则原点处的平衡状态是大范围内的渐进稳定。式中，表示时，从出发的解轨迹。例例2 2-2 -2 设系统方程为确定系统平衡状态的稳定性 解：解：1）求平衡状态 211220000 xxxxx12212xxxxx 原点（0,0）为给定系统唯一的平衡状态。0)t,X(V0 x,0 x21时，0)t,X(V0 x,0 x21时，),(tXV0)t,x(V,0 x,021x负半定。2）选

8、李氏函数，选正定除)0X(0 xx)t,X(V2221222211x2xx2xx2)t,X(V222),(xtXV ),(0,021tXVxx时，时，0tt 22x22x2x 讨论：讨论：的定号性，即是否恒为零。如果恒为零，势必时，恒为零，而恒为零，又必要 恒为零。而又212xxx 不可能恒为零00,0221 xxx时，时，当当因此有222),(xtXV 不可能恒为零系统原定处的平衡状态是渐近稳定的。又由于X),(tXV2222212121(,)()202V X txxxx，有系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。若选正定。负定。而X),(tXV，系统在平衡状态（0，0）是大范围渐近稳定。

9、2212(,)()V X txx 2-3李亚普诺夫第二法主要定理定理定理3:设系统的状态方程为，式中，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：正定，负半定，但在某一x值恒为零则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定 义下稳定的，但非渐近稳定,这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。2-3李亚普诺夫第二法主要定理定理定理4:设系统的状态方程为，式中，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：在原点的某一领域内是正定的，在同样的领域内是正定的则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。解：解：原点为平衡状态，选取李氏函数221211221212(,)()(,)22220V X

10、txKxV X tx xKx xKx xKx x在任意x 值上均可保持为零，则系统在原点处是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的。例例2 2-3-3 系统方程为1221xkxxx试确定系统平衡状态的稳定性。例例2 2-4-4 已知系统的状态方程为112212xxxxxx 试分析其平衡状态的稳定性。解：解：易知原点为系统的唯一平衡状态，所以系统在原点的平衡状态不稳定。(0)0V可知 为正定，且 ，则()V x2212()V xxx选取李氏函数为221 12212()222()0V xx xx xxx3 李亚普诺夫李亚普诺夫稳定性方法的应用稳定性方法的应用3-1线性定常连续系统的稳定性分析线性

11、定常连续系统的稳定性分析李亚普诺夫李亚普诺夫稳稳定性方法的应定性方法的应用用线性定常连续线性定常连续系统的稳定性系统的稳定性分析分析线性时变连续系统的稳定性分析线性定常离散系统的稳定性分析3-1线性定常连续系统的稳定性分析线性定常连续系统的稳定性分析设线性定常系统的状态方程为，式中：x为n维状态向量，A为nn阵，假设为非奇异矩阵。若选如下正定无限大李式函数V(x)，P正定赫米特距阵，V(x)的导数为，如果系统为大范围渐近稳定，则要求负定。即为负定。式中,在已知P是正定条件下,寻找满足条件的赫米特矩阵，其中Q是正定的，则系统在原点处的平衡点状态是渐近稳定的。3-1线性定常连续系统的稳定性分析定理

12、定理:系统状态方程为，对于系统式原点平衡状态为渐进稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个n*n正定实对称矩阵Q，李亚普诺夫方程有唯一n*n正定实对称解矩阵P。设系统的状态方程为适用李亚普诺夫第二法分析系统的稳定性。例例3-1112201-16-2xxxx解：解：平衡状态：X=0是系统唯一的平衡状态。令：11122122ppPpp代入IPAPAT即 11121112122212220-16011 01-2-16-20 1pppppppp 将此矩阵方程展开，可得联立方程组：由此方程组解出矩阵p为69116321173264P 1211122212223212160241pppppp用塞尔维斯特准

13、则检验矩阵p的正定性：691111669116322932256171326400p 由此可知矩阵p是正定的。系统在平衡状态 Xe=0是大范围渐近稳定的，而系统的李氏函数及其沿轨迹对时间t的导数分别为221112264()(276417)0TV XX PXxx xx2212()()0VXxx 3-2线性时变连续系统的稳定性分析定理定理:若系统的矩阵A是t的函数（即时变函数），则系统在平衡点处是渐近稳定的充要条件为：对于任意给定连续对称正定矩阵Q(t),存在一个连续对称正定矩阵P(t)使得而系统的李亚普诺夫函数是3-3线性定常离散系统的稳定性分析定理定理:线性定常离散系统在原点平衡状态为渐进稳定

14、的充分必要条件是，对于任意给定的一个n*n正定对称矩阵Q，离散型李亚普诺夫方程有唯一n*n正定实对称解矩阵P。证：证：设李亚普诺夫函数为：)()()(kPXkXkXVT式中P为正定的赫米特（实对称）矩阵，对于离散系统，用V(X(k+1)和 V(X(k)之差代替 ，即)()1()(kXVkXVkXV类似于连续系统中V(X)的导数项，因此)(XV ()(1)()(1)(1)()()()()()()()()()()()()()()TTTTTTTTTTV X kV X kV X kXkPX kXk PX kGX kP GX kXk PX kXk G PGX kXk PX kXk G PGP X kXk

15、 QX k 式中TQG PGP显然要满足系统在Xe=0点是大范围内渐近稳定的条件：Q 必须是正定对称矩阵。如果 沿任意一解的序列不恒等于零,Q 也可取为半正定的。)()()(kQXkXkXVT例例3-2：设离散时间系统的状态方程为120(1)()0X kX k试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。解：解：根据稳定定理知TG PGPI 1111211112212222122200100001pppppppp 由已知条件可得化简为211112122121222210(1)(1)01(1)(1)pppp 于是可得P为正定。即满足上述条件必有 即只有当传递函数的极点位于单位圆内，系统在平衡点处

16、才是大范围内渐近稳定的。2111122120,0PP PP1211,11 211112122222(1)1(1)0(1)1ppp 定理定理:线性时变离散系统在原点平衡状态线性时变离散系统在原点平衡状态，大范围渐进稳定的充要条件是，对于任意给定的正定实对称矩阵Q(k)，必存在一个正定的实对称矩阵P(k+1),使得成立本章要点本章要点李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性的基本概念物理基础平衡状态李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫稳定性的判别方法第一法与第二法的比较二次型及其定号性李雅普诺夫第二发的主要定理李亚普诺夫稳定性方法的应用线性定常连续系统的稳定性分析线性定常离散的系统稳定性分析线性时变连续系统的稳定性分析线性时变离散的系统稳定性分析