高中数学人教A版 选择性必修第二册数列专项突破2.docx

1、高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册数列专项突破2第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为（ ）A2B3C4D52已知是各项均为正整数的数列，且，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ）ABCD3已知函数，若，则的最小值为（ ）ABCD4如图，已知直线与曲线相切于两点，相交于点，三点的横坐标分别为，记，以下判断正确的是（ ）A为的极大值点，为的极小值点，不是的极值点B为的极小值点，为的极大值点，不是的极值点C为的极小值点，不是的极值点D为的极大值点，不是的极值点5已知函数,在区间(0,1)内任取两个实数,且，若不等式

2、恒成立，则实数a的取值范围是ABCD6已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）A一定为无穷数列B不可能为常数列C若，则可能小于1D若，则二、多选题7对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）A函数的图象关于y轴对称BC函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等D对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且8关于函数，下列说法正确的是（ ）A对，恒成立B对，恒成立C函数的最小值为D若不等式对恒成立，则正实数的最小值为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9已知函数若且的最大值为4，则实数a的值为_10已知函数（其中，），当时恒成立，则的取值范围为_.11已

3、知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_.12对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_.四、解答题13已知.（1）证明：是上的增函数，（2）若，且，证明：.14已知函数（e为自然对数的底数）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有且仅有两个零点，求实数m的取值范围15设函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，为的导函数，求证：16已知函数（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；（2）证明：若，则对于任意的，有试卷第3页，共3页参考答案1B【分析】由求得，再由得出数列是等差数列，求得，用分离参数法变形不等式，即可得解【详解】当时，得，当时， ， 即，所以又，所以数列是以2为

4、首项，1为公差的等差数列，即，所以不等式等价于当时，当时，记，所以时，即，递减，时，所以的最大项是，所以，所以整数的最大值为3故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查求数列的通项公式，考查数列不等式恒成立问题，解题的关键是问题的转化，不等式恒成立转化为求数列的最大项，考查学生的转化与化归能力，运算求解能力，属于较难题.2B【分析】令，由题设易知或有一项为1，则，判断各项取值情况，进而求的最小值.【详解】当满足时，令，则或有一项为1，而，又是各项均为正整数的数列，此时的最小值为，当满足时，时，因为，所以的最小值为20故选：B.3C【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究

5、其单调性并确定区间最小值，即为的最小值.【详解】由题意，得，即，又，得在上单调递增，综上知：，令，则，得；，得；故在上单调递减，在上单调递增.，故选：C【点睛】关键点点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.4B【详解】由题意可知 在A、B点直线与曲线相切，所以由图像可知当时， ，为减函数当附近时，为增函数，所以在处取得极小值；在左右两侧成立，所以在处没有极值；当附近时，为增函数当时，为减函数，所以在处取得极大值故选：B5D【详解】分析：根据给出不等式关系，并变形得到，进而构造，根据所给条件判断出的单调性；通过分离参数法

6、，确定 在恒成立条件下的取值范围详解：由已知可得 令 ，则有因为 所以又因为所以在上为单调递增函数在上恒成立即 恒成立，令 在上为单调递增函数，所以所以 ，即 的取值范围为所以选D点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，通过构造函数法建立联系通过分离参数求参数取值范围，进而转化为求函数的取值范围综合性强，属于难题6D【分析】对两边取倒数得，再利用构造数列法得，可知是以为首项，公比为的等比数列，利用等比数列通项公式可以求得，再依次对选项判断，得到正确答案.【详解】对两边取倒数得，又，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，对于A，由于n未知，不能确定是有限数列还是无限数列，故A错误；对于B，当时，

7、此时为常数列，故B错误；对于C，当时，即，所以一定小于1，故C错误；对于D，当时，即，又，；，即，所以，故D正确.故选：D.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.7ABD【分析】由函数奇偶性定义判断可知A正确；构造函数，求导判断单调性，进而求得最值可判断B；由的图象与轴的交点坐标为且可判断C；求导分析时成立的情况，即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为函数的定义域为，所以为偶函数，图象关于轴对称，故选项A正确；对于B：由A知为偶函数，当时，若即只需证，令，因为，所以，所以在上单调递增，

8、所以，即，所以恒成立，故选项B正确；对于C：令，可得，所以函数的图象与轴的交点坐标为且，交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为. 故选项C错误；对于D：，即，即，当时，区间长度为，所以对于任意常数，存在常数，使在上单调递减且，故选项D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.8ABD【分析】利用导数证明恒成立，判断A，A中不等式绝

9、对值变形的转换可判断B，利用导数求出函数的最小值判断C，把不等式进行变形转化为不等式恒成立，然后求得的范围判断D【详解】设，时，递减，时，递增，所以，所以，即恒成立，A正确；在中令，则，再令得，B正确；设，定义域为，定义域内恒成立，令是增函数，所以在即在上存在唯一零点，时，即，递减，时，即，递增，所以，C错；不等式为，所以，即，令，则，时，递减，时，递增，因为，所以，因此不等式恒成立，则恒成立，即，设，时，递增，时，递减，所以，所以，即的最小值是，D正确故选：ABD【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握导数与函数单调性的关系，深深需要不断求导才能确定函数的单

10、调性与极值这是问题的难点所在，解题过程中需要不断引进新函数，研究新函数的单调性、极值点、零点等性质，本题属于困难题9【分析】先分析分段函数每段的单调性，从而确定的分布情况，然后根据消去一个变量，将目标表示成新的函数，再研究新的函数的单调性和最大值即可【详解】不妨设，当时，则有：故当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.可得：，根据的分布情况讨论如下：当均分布在时，则有：故此时的最大值不可能为4，而当时，又是单调递增的，故分布在上，分布在上.由，可得：故有：设（）对求导可得：对求导可得：可得：，则在区间上单调递减又，则有：当时，即在区间上单调递增；当时，即在区间上单调递减.故

11、在处取得极大值，此时极大值为的最大值则有：根据题意知，解得：故答案为：【点睛】导函数问题中，注意分类讨论与数形结合思想的应用，常将问题转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，有时候需要多次求导才能得出函数的单调性10【分析】将拆分为、分别研究单调性，令可得，讨论该方程、情况下参数a、b、c的关系或范围，进而利用导数求目标式的范围.【详解】令，则，时，时，在上递减，在上递增，故，若，则在上递减，在上递增，令，即，1、即时，在上的两个零点为，同时它们恰好为的零点，即，又，则，此时，令，则，递减且时，则，故.2、，即时，在上，此时只需即即可.此时，令，则，即在递减，而，故.综上，【点睛】关键点点睛：

12、要使题设问题成立，研究、在上的乘积恒为非负数求参数范围或关系，进而求目标式范围.11【分析】将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.【详解】对于任意，不等式恒成立对于任意，即恒成立当时，；当，设，则，所以在上单调递增，由，知，即，即设，求导令，得当时，单调递减；当时，单调递增；在处取得极大值，且为最大值， 所以时，不等式恒成立故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思

13、想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为，再利用函数的单调性及求参方法求解.12【分析】根据不等式恒成立，构造，有，利用二阶导数研究单调性，再讨论、时的单调性，进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式，将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求的最小值即可.【详解】令，则，即，单调递增，当时，即在上递减，而当时，故不满足；当时，若得，即，时，即递减；当时，即递增；若令，即，则：当，即，恒成立；情况下最小，即直线与曲线相切，而，时，有，则；当，即，得，情况下最小，即直线与曲线相切，而，时，有，则；综上：，即的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成

14、立，利用导数、分类讨论的方法判断单调性，并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系，由所得条件中代数式的几何含义求最小值13（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，证明导函数在上大于等于零恒成立即可；（2）要证，只须证，即证，根据，得，只需证当时，只需证，令，只要证明函数为增函数即可.（1）证明：，是上的增函数；（2）证明：要证，只须证，即证，由，且函数单调递增，若，必有，此时，若，必有，此时，由上知若，必有，又当时，故只需证当时，而，故只需证，令，则，故，故为增函数，而，且，知，故，可得，所以.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数证明不等式问题，考查

15、了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，考查了转化思想，属于难题.14（1）单调增区间；单调减区间（2）【分析】（1）导函数大于0，单调递增，导函数小于0，单调递减；（2）对变形，换元，消去后，变为只需，求导后研究其单调性，最终求得t的取值范围，进而得到m的取值范围.（1），解得：，定义域为，且单调递增，令：，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，函数单调增区间为；单调减区间为.（2），定义域为，设，易知：，且单调递增，存在，使，即，且在上小于0，在上大于0，故，因为当时，当时，要想函数有且仅有两个零点，则只需，因为，所以，所以，令，故单调递减，且，要想，则要满足，由单调递增，可知，所以，实数

16、m的取值范围是.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.15（1）当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）证明见解析【分析】（1）求导，

17、对参数分类，讨论的正负，研究函数的单调性；（2）由已知，且，则，进而得到 ，构造函数判断函数的单调性知，进而得到，再判断，即可证得结论.（1）由题可得，当时，函数的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）因为函数有两个不同的零点，所以，且，消去，得设，则，所以设，则，所以在上单调递增，所以，故，所以，所以又，设，则，所以在上单调递增，所以，故，所以【点睛】方法点睛：本题考查研究函数的单调性及构造函数证明不等式，解含参数的不等式，通常需要从几个方面分

18、类讨论：（1）看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.16（1），（2）证明见解析【分析】（1）函数有两个极值点，即导数方程有两个根，结合一元二次方程的知识即可求解；（2）构造函数，结合其单调性即可证明.（1）由题意知，因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根，即有两个不等的正根，所以，解得，所以的取值范围是，（2）构造函数，则由于，故，即在上单调递增，从而当时，有，即，故；当时，同理可证综上，对于任意的，有【点睛】关键点：（1）将函数极值点问题转化为导数方程的根的问题，结合一元二次方程的知识即可求解；（2）构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性即可证明.答案第17页，共18页