数学解题方法与技巧课件.ppt

1、需要更完整的资源请到 新世纪教育网-数学就是这样一种东西：数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净生命；她唤起心神，澄净智能；她给我们的内心思智能；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。以来的蒙昧与无知。需要更完整的资源请到 新世纪教育网-数学方法数学方法数学思想数学思想与与需要更完整的资源请到 新世纪教育网-配方法配方法数学方法数学方法换元法换元法待定系数法待定系数法坐标法坐标法判别式法判别式法面积法面积法构造法构造法反证法反证法分析综合法分析综合法需要更完整的

2、资源请到 新世纪教育网-数学思想数学思想分类讨论思想分类讨论思想方程与不等式的思想方程与不等式的思想函数思想函数思想尝试与猜想尝试与猜想转化思想转化思想数形结合思想数形结合思想特殊与一般特殊与一般整体思想整体思想对称思想对称思想需要更完整的资源请到 新世纪教育网-换元法换元法1.整体换元整体换元2.倒数换元倒数换元3.比值换元比值换元需要更完整的资源请到 新世纪教育网-例例1.计算计算1 111 111 111 11(1.)(.)(1.)(.)2 32005 2 320062 32006 2 32005 111111.232005232006ab解：，1120062006则 原 式=ab-(a

3、-)(b-)211()20062006ab=ab-ab+2111(1)200620062006120061.整体换元整体换元需要更完整的资源请到 新世纪教育网-A3+53-5，解：设（1）例2.求 3+53-5的值0A因为 3+53-5，所以，将（1）式两边平方，2323A 得3+55（3+5）5，222AA 即，02A由于，所以 3+53-52+3练习：计算2-31.整体换元整体换元需要更完整的资源请到 新世纪教育网-27760133128412840 xxxxyyxyyxxx 22练习：（1）（x-2003）(x-2004)=121（2）2(x-)x（3）（4）3 x1.整体换元整体换元需

4、要更完整的资源请到 新世纪教育网-253.27xx23x例 已知x=2+3,求的值解：x=2+32,x 31.整体换元整体换元22443,410,xxxx 241xx25252727xxxx23x3(4x-1)所以10227xx22 107442323333需要更完整的资源请到 新世纪教育网-22311112xx解方程：113112xxxx解：121xx2.倒数换元倒数换元113,12xa axa设22320(2)(21)0aaaa1212,()2aa 舍14153xxx需要更完整的资源请到 新世纪教育网-62xx解方程（4+15）（4-15）1,yyxx解：设（4+15）（4-15）162y

5、y则原方程为：2.倒数换元倒数换元31 8 15y 解得16 158 152(415)212(415)2,2xxx即（4+15）解得需要更完整的资源请到 新世纪教育网-22223121630363(3)23xxxxxxxxxx 22222练习：（1）3x（2）xxx10 x（3）x（4）的所有根的和为（）A 3 B-3 C 0 D-62.倒数换元倒数换元需要更完整的资源请到 新世纪教育网-3.比值换元比值换元22bc2求a的最小值12123bcak1,2132akbkck例例.（a-1）:（b+1）:（c+2）=1:2:3解：（解：（a-1）:（b+1）:（c+2）=1:2:3222222(1

6、)(21)(32)abckkk 222212441 912414146kkkkkkkk 21514()22k 2221522kabc所以，当时，有最小值需要更完整的资源请到 新世纪教育网-配方法配方法1.在在代数式恒等变形代数式恒等变形中的应用中的应用2.在在方程方程中的应用中的应用3.在在根式根式中的应用中的应用4.在在函数函数中的应用中的应用5.在在平面几何平面几何中的应用中的应用需要更完整的资源请到 新世纪教育网-1.在在代数式恒等变形代数式恒等变形中的应用中的应用21.m211+n+mn+m-n+1=0,则+的值等于（）mnA-1 B 0 C 1 例 D 222m2解：两边同乘以，有2

7、+2n+2mn+2m-2n+2=0011+mn222（m+1）+（n-1）+（m+n）=0m=-1,n=1,需要更完整的资源请到 新世纪教育网-22232,32,2abbcabcabbcac：求例2221(222222)2abcabbcac解：原式22212abbcac222132322 321.在在代数式恒等变形代数式恒等变形中的应用中的应用122112需要更完整的资源请到 新世纪教育网-1.在在代数式恒等变形代数式恒等变形中的应用中的应用23.6,xy z例=xy-9,求x、y、z的值2(6)9zy y解：269yy22(69)(3)yyy 22(3)03,3,0zyyxz即需要更完整的资

8、源请到 新世纪教育网-1.在在代数式恒等变形代数式恒等变形中的应用中的应用1112222练习：（1）x+x=3,则x+x 的值是()（2）m-1-2m+m=1,则m的取值范围是()（3）求证：无论x为何实数，代数式x-4x+4.5的值恒大于零需要更完整的资源请到 新世纪教育网-1.在在代数式恒等变形代数式恒等变形中的应用中的应用71998444nnn例4：已知 为正整数，且是一个完全平方数，则 的值是（）71998143996444222n2n解：设721472(22)22 222xxx8+x=2n8+x=3996比较两边的指数，得或2x=39962x=2n72(22)x1439962222n

9、1003,3996得n或n需要更完整的资源请到 新世纪教育网-2.在在方程方程中的应用中的应用5.1例 求 x+y-1+z-2=(x+y+z)的实数解21解：x+y-1+z-2=(x+y+z)22 x+2 y-1+2 z-2=(x+y+z)2 x+2 y-1+2 z-2+3=x+(y-1)+(z-2)0222(x-1)(y-1-1)(z-2-1)1,11,21xyz 123xyz需要更完整的资源请到 新世纪教育网-3.在在根式根式中的应用中的应用6.2121(1)xxxxx 例221 11 1xx 解：原式（）（）1 11 1xx 21222xxx（）（1）需要更完整的资源请到 新世纪教育网-

10、82 15 练习：（1）化简（2）a b 0,化简-a-b-2 ab3.在在根式根式中的应用中的应用需要更完整的资源请到 新世纪教育网-4.在在函数函数中的应用中的应用222(1)61,(2)365,3yxx mmyxxyx的最小值为 那么 的值为（）怎样平移所得到的抛物线是的图象需要更完整的资源请到 新世纪教育网-5.在在平面几何平面几何中的应用中的应用290 4ABCCbA2（1）已知中，+3c=4 3bc,求的度数。4444（2）若a、b、c、d皆为正数，且满足a+b+c+d=4abcd，求证a、b、c、d为边的四边形是菱形。需要更完整的资源请到 新世纪教育网-5.在在平面几何平面几何中

11、的应用中的应用ABCDABCS如右图，中，是AB上任一点，DE/BC，DEFG的边FG在BC延长线上。设DE=x,BC=a，求证：DEFG的面积S不大于的面积 的一半。ADGFCBE需要更完整的资源请到 新世纪教育网-归纳：归纳：我们目前主要的是要求能将某些代数式我们目前主要的是要求能将某些代数式配凑成完全平方的形式配凑成完全平方的形式,以便能够运用以便能够运用“非负数非负数”的一些性质来解题的一些性质来解题.另外另外,我们还可以通过我们还可以通过“配方配方”来求来求一元二次方程的解一元二次方程的解,来来找二次函数的顶点坐找二次函数的顶点坐标标等等。需要更完整的资源请到 新世纪教育网-待定系数

12、法待定系数法在在多项式除法多项式除法中的应用中的应用在在因式分解因式分解中的应用中的应用在在解方程解方程中的应用中的应用在在代数式恒等变形代数式恒等变形中的应用中的应用在在求函数解析式求函数解析式中的应用中的应用需要更完整的资源请到 新世纪教育网-判别式法判别式法在在方程（组）方程（组）中的应用中的应用在在代数式恒等变形代数式恒等变形中的应用中的应用在在函数函数中的应用中的应用在在几何、三角几何、三角中的应用中的应用需要更完整的资源请到 新世纪教育网-面积法面积法1.求面积求面积2.等积变形等积变形3.用面积法研究线段、角的关系用面积法研究线段、角的关系需要更完整的资源请到 新世纪教育网-坐标

13、法坐标法1.什么是坐标法什么是坐标法2.如何建立坐标系如何建立坐标系3.应用举例应用举例需要更完整的资源请到 新世纪教育网-构造法构造法1.构造构造方程方程2.构造构造函数函数3.构造构造图形图形4.构造构造研究对象研究对象5.构造构造反例反例需要更完整的资源请到 新世纪教育网-分析综合法分析综合法在数学题的求解或证明过程中，一般有两种思考问题在数学题的求解或证明过程中，一般有两种思考问题的方法：一是从命题的结论出发，逐步寻求使结论成的方法：一是从命题的结论出发，逐步寻求使结论成立的（充分）条件，直至推断得结论正确，这种方法立的（充分）条件，直至推断得结论正确，这种方法叫做分析法，这种思维的过

14、程称为叫做分析法，这种思维的过程称为”执果索因执果索因“；一；一是从已知条件出发，运用定义、定理和公理，通过一是从已知条件出发，运用定义、定理和公理，通过一系列可靠的推理而推出所需的结论，叫做综合法，也系列可靠的推理而推出所需的结论，叫做综合法，也称为称为”由因导果由因导果“。而在实际解题过程中，最好是双管齐下，从两个互逆而在实际解题过程中，最好是双管齐下，从两个互逆的方向，去缩短条件与结论之间的距离，从而探索得的方向，去缩短条件与结论之间的距离，从而探索得到解题途径。我们称这一过程为到解题途径。我们称这一过程为“分析综合法分析综合法”。需要更完整的资源请到 新世纪教育网-反证法反证法1589

15、年，年，25岁的意大利物理学家伽利略登上比萨斜塔，岁的意大利物理学家伽利略登上比萨斜塔，同时丢下两个重量不同的铁球，用实验推翻了古希腊同时丢下两个重量不同的铁球，用实验推翻了古希腊哲学家亚里斯多德的哲学家亚里斯多德的“不同重量的物体从高处下落的不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比速度与其重量成正比”的错误论断。的错误论断。这是众所周知的，但你可能不知道，伽利略还进行了这是众所周知的，但你可能不知道，伽利略还进行了如下的推理论证：假设亚里斯多德的论断是正确的，如下的推理论证：假设亚里斯多德的论断是正确的，设物体设物体A比物体比物体B重得多，则重得多，则A比比B先落地，现在把先落地，现在把

16、A和和B捆在一起，成为物体捆在一起，成为物体A+B。一方面，由于一方面，由于A+B比比A重，则重，则A+B比比A应先落地；应先落地；另一方面，由于另一方面，由于B比比A轻，轻，按亚里斯多德的理论，按亚里斯多德的理论，B下落的速度比下落的速度比A慢，把慢，把A、B捆在一起时，捆在一起时，B便便“拉了拉了A的后腿的后腿”，使，使A下落的速下落的速度减慢，所以，度减慢，所以，A+B应该比应该比A后落地。后落地。需要更完整的资源请到 新世纪教育网-这样便得到了自相矛盾的结论：一方面，这样便得到了自相矛盾的结论：一方面，A+B比比A应先落地，另一方面，应先落地，另一方面，A+B应比应比A后落地。这个矛后

17、落地。这个矛盾的根源是亚里斯多德的论断。盾的根源是亚里斯多德的论断。伽利略的论证是有力的，逻辑性极强。伽利略所伽利略的论证是有力的，逻辑性极强。伽利略所用的论证方法，就是我们数学上的反证法用的论证方法，就是我们数学上的反证法。21.,mmm例 已知 为整数 且是偶数，求证：为偶数。2222(21)4412(22)1mkkkkk 证明：假设证明：假设m不是偶数，则不是偶数，则m为奇数，设为奇数，设m=2k+1（k为整数），所以为整数），所以22于是，m 为奇数，与已知条件m 是偶数矛盾，故m是偶数。反设、归谬、结论反设、归谬、结论需要更完整的资源请到 新世纪教育网-例例.平面上有一点及平面上有一

18、点及，若若+，求证：点，求证：点P在在外部。外部。APCBPCBACBADP需要更完整的资源请到 新世纪教育网-方程与不等式的思想方程与不等式的思想3.构造方程或不构造方程或不等式等式4.解应用题解应用题2.利用方程解平利用方程解平面几何计算题面几何计算题1.求参数或待定求参数或待定系数的值或范围系数的值或范围需要更完整的资源请到 新世纪教育网-2.利用方程解平利用方程解平面几何计算题面几何计算题如图，在等腰如图，在等腰ABC中，中，AB=AC，BDAC，且，且AD：CD=1：2，底边，底边BC=4，求，求ABC的周长。的周长。CDAB23ADxCDxABACx解：设，则，222234BDAC

19、xx22因为，所以在Rt BCD中，BD（）有BD（2x）22242 33x2所以（3x）（2x）解得x3ABC故的周长=AB+AC+BC=6x+4=4+4需要更完整的资源请到 新世纪教育网-3.构造方程或不等式构造方程或不等式1.12399100例 阅读理解题：要求22222 的值是多少，23499100111111.2222221002直接求非常困难，因为是一个非常大的数，因此，我们可以用方程的方法来做。.12399100设x=22222，2.123991002x=（22222则有），.234100101即 2x=22222，10112.22x 1239910022222，101222xx

20、10122x 请你在理解该题的基础上，模仿上述方法求下式的值：需要更完整的资源请到 新世纪教育网-2349910023410010123410023499101011011011 000111111.22222212111111.22222211111111.22222211111111(.)2222222111222221112221212AAAAAAAA 解：设两边同乘以，得即变形，得即需要更完整的资源请到 新世纪教育网-3.构造方程或不等式构造方程或不等式2.81252ABCa b cb cbcaaABC 例的三边、满足，试问是什么三角形（按边分类），并证明你的结论22解：由根与系数的关

21、系可知,b、c是方程x-8x+a-12a+52=0 (*)的两根，于是4()022=8a-12a+520022即 -4(a-6)(a-6)所以a=6。此时，方程(*)有两等根，将a=6代入(*)，得ABC2x-8x+16=0解得b=c=4，故是等腰三角形。需要更完整的资源请到 新世纪教育网-数形结合思想数形结合思想1.以形示数以形示数2.借数解形借数解形3.数形结合数形结合需要更完整的资源请到 新世纪教育网-22(2)3502mxmxmm例：为何值时，二次方程的两根都大于2(2)35mxmm2分析：问题等价于二次函数y=x与x轴的两个交点都在点(2,0)右方，于是可得到以下解法：2231616

22、055 02mmmmm 1.以形示数以形示数552 故m的取值范围是-4m2224(35)02(35)02222mmmmbma 2=(m-2)解：(m-2)2+需要更完整的资源请到 新世纪教育网-2.借数解形借数解形AEDBCFo若圆若圆O是是ABC的内切圆，的内切圆，D、E、F是切点，且有是切点，且有AB AC=2BD DC，求证求证ABC是直角三角形是直角三角形需要更完整的资源请到 新世纪教育网-46 3ABCABCOBCSBACOAyEC22如图，内接于，是锐角，且关于x的方程x-4xcosB+1=0有两个相等的实数根，D是劣弧上任一点（点D不与A、C重合）（1）求 B的度数；（2）求C

23、E的长；（3）求证：DA、DC的长是方程y-DE，DE+平分DEADC，交于点，交DF=0的两个于点F。实数根。3.数形结合数形结合FBEADC需要更完整的资源请到 新世纪教育网-转化思想转化思想1.转化转化条件条件2.转化转化结论结论4.转化转化思维角度思维角度3.转转化解题手段化解题手段5.命题的等价转换命题的等价转换需要更完整的资源请到 新世纪教育网-圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为R，母线长为，母线长为L L（L 2R），），M是底面圆周上的一点，一只蚂蚁从是底面圆周上的一点，一只蚂蚁从M点绕圆锥侧点绕圆锥侧面爬一圈，再回到面爬一圈，再回到M点，求蚂蚁爬过路程的最短点，求蚂蚁爬过路程的

24、最短长度。长度。LMM需要更完整的资源请到 新世纪教育网-分类讨论思想分类讨论思想1.什么是分类讨论什么是分类讨论3.分类的原则：分类的原则：不重复，无遗漏不重复，无遗漏4.分类的关键：分类的关键：把握把握分类标准分类标准2.为什么要分类讨论为什么要分类讨论5.复杂问题的讨论复杂问题的讨论方法：方法：多级分类多级分类需要更完整的资源请到 新世纪教育网-22.(本小题满分本小题满分8分分)在平面直角坐标系内在平面直角坐标系内,已知点已知点A(2,1),O为坐标原点为坐标原点.请你在请你在坐标轴上确定点坐标轴上确定点P,使得使得AOP成为等腰三角形成为等腰三角形.在给出的坐标在给出的坐标系中把所有

25、这样的点系中把所有这样的点P都找出来都找出来,画上实心点画上实心点,并在旁边标上并在旁边标上P1,P2,Pk,(有有k个就标到个就标到PK为止为止,不必写出画法不必写出画法)2005年杭州市各类高中招生考试数学试卷年杭州市各类高中招生考试数学试卷 需要更完整的资源请到 新世纪教育网-函数思想函数思想1.引入参数，建引入参数，建立函数关系立函数关系2.利用函数求参利用函数求参数的值或范围数的值或范围4.利用函数解最利用函数解最值问题值问题3.运用函数方法运用函数方法解决几何问题解决几何问题5.利用函数解决利用函数解决实际问题实际问题需要更完整的资源请到 新世纪教育网-特殊与一般特殊与一般1.特殊

26、化特殊化2.一般化一般化3.先退后进先退后进需要更完整的资源请到 新世纪教育网-整体思想整体思想1.整体观察整体观察2.整体变换整体变换3.整体联想整体联想4.整体换元整体换元5.化零为整化零为整6.优化整合优化整合需要更完整的资源请到 新世纪教育网-对称思想对称思想1.简化解题过程简化解题过程2.预测问题的结论预测问题的结论3.探索解题思路探索解题思路4.应用对称思想解题应用对称思想解题需要更完整的资源请到 新世纪教育网-尝试与猜想尝试与猜想需要更完整的资源请到 新世纪教育网-用数学的眼光看问题，用数学的思用数学的眼光看问题，用数学的思想想问题，用数学的方法解决问题，想想问题，用数学的方法解决问题，祝您在知识的海洋里不倦地遨游！祝您在知识的海洋里不倦地遨游！