同济第三版 高数 (13) 第三节 函数的极限同济第三版 高数课件.ppt

1、例：例：设有作变速直线运动的物体，其路程函数为设有作变速直线运动的物体，其路程函数为 S=S(t)=2(t 2-t)，求该物体在时刻求该物体在时刻 t 0=1 时的速度时的速度 V(t 0)对非匀速直线运动，由于在同样长的时间段内对非匀速直线运动，由于在同样长的时间段内物体走过的路程不尽相同，故不能直接利用速度公式物体走过的路程不尽相同，故不能直接利用速度公式 V=S/T 计算其速度。计算其速度。然而，变和不变是相对的，因此可考虑取较短的时然而，变和不变是相对的，因此可考虑取较短的时间段，在此时间段内物体可近似看作间段，在此时间段内物体可近似看作匀速直线运动，于匀速直线运动，于是可是可将将变速

2、直线运动局部视作变速直线运动局部视作匀速直线运动进行考察。匀速直线运动进行考察。考察物体在时间段考察物体在时间段 t 0,t 内的平均速度内的平均速度 对对 t 0=1 有有故求得故求得 000 S tS tV tVttt,2 1120122 11tS tSttVttt,2 1121lim2.1ttttVV tt0tt从函数性质讨论的角从函数性质讨论的角度看，尽管函数度看，尽管函数 V=V(t)在在点点 t 0=1 处处没有定义，但却没有定义，但却可确定自变量可确定自变量 t 趋向于趋向于 1 时时函数值函数值的变化趋势的变化趋势。当当 t 1时，时，函数值趋于函数值趋于一个确定一个确定“数值

3、数值”，这个值，这个值并不是函数并不是函数 V=V(t)在点在点 t 0=1 处处的的函数函数值，而是另值，而是另一种性质的一种性质的“值值”。t12对于函数对于函数 y=f(x)，如果当自变量，如果当自变量 x 的变化趋向于的变化趋向于某一定值某一定值 x 0 时，函数值时，函数值 f(x)的变化无限接近于某个常的变化无限接近于某个常数数 A，就称当，就称当 x x 0 时，函数时，函数 y=f(x)以以 A 为极限，为极限，或常数或常数 A 是函数是函数 y=f(x)当当 x x 0 时的极限，记作：时的极限，记作：极限值与函数值是两种不同性质的极限值与函数值是两种不同性质的“值值”的概念

4、。的概念。这两种值是相互独立的，一般情况下二者独立存在，彼这两种值是相互独立的，一般情况下二者独立存在，彼此没有直接联系。此没有直接联系。例例：函数函数 在点在点 t 0=1 没有函数值，但却没有函数值，但却有极限值，即有有极限值，即有 221ttV tt 2112limlim2.1ttttVttt1OV 221ttV tt 1?V 2112limlim21ttttVtt 21tt,2例例：函数函数 在点在点 x 0=0 处的函处的函数值为数值为 f(0)=0，但其在，但其在 x 0=0 处的极限值却不存在。处的极限值却不存在。1sin000 xxyfxx,.,xOy yfx11例例：函数函数

5、 在点在点 x 0=1 处的函数值为处的函数值为 g(1)=1，在在点点 x 0=1 处的极限值为处的极限值为 在点在点 x 0=1 处函数值和极限值处函数值和极限值都存在，但二者不相等都存在，但二者不相等。221111xxxxygxx,.2112limlim2.1xxxxgxxOy1x1 221111xxxygxxx,.11g 2112limlim21xxxxgxx2 究竟什么叫究竟什么叫 x x 0 时，时，f(x)A？由数列极限的讨论可推知由数列极限的讨论可推知x x 0，f(x)A 的的意义就是，对意义就是，对 0，随着随着 x 的变化的变化当当 x 和和 x 0接近接近到到一定程度后

6、一定程度后，最终可使得最终可使得f(x)-A|问题是问题是“一定程度一定程度”究竟是究竟是什么样一种什么样一种程度呢？程度呢？为弄清当为弄清当 x x 0 时，时，|f(x)-A|的具体的具体过过程，可先通过实例进行考察。程，可先通过实例进行考察。设有函数设有函数 f(x)=2 x-1，考察其，考察其在点在点 x 0=1 处取得的极限处取得的极限 1 的情形的情形。f(x)与与 A=1 的接近程度可用绝的接近程度可用绝对值对值|f(x)-1|的大小来表达，的大小来表达，x 与与 x 0=1的接近程度可用绝对值的接近程度可用绝对值|x -1|的大小来表达。的大小来表达。由于由于 f(x)与与 1

7、 无限接近可通过无限接近可通过|f(x)-1|0，当当|x -1|变得多么小时可使得变得多么小时可使得|f(x)-1|成立成立。若取若取 1=10-2，即要求有即要求有|f(x)-1|10-2，由于由于|f(x)-1|=|(2 x-1)-1|=2|x -1|，因此只要因此只要 x 满足满足 就就可使可使|f(x)-1|=2|x -1|10-2.若取若取 2=10-4，即要求有，即要求有|f(x)-1|10-4，则只要则只要 x 满足满足 就就可使可使|f(x)-1|=2|x -1|10-4.21110122 10 x ,42110122 10 x ,由此可以推想，所谓当由此可以推想，所谓当 x

8、 和和 x 0接近到一定程度后有接近到一定程度后有|f(x)-A|0，可找到一个和可找到一个和 相关的某个正数，用以相关的某个正数，用以刻划刻划|f(x)-A|时，时，x 与与 x 0 所需所需接近的程度接近的程度。若用若用 来表示这一正数，则为使来表示这一正数，则为使|f(x)-A|，相应相应 x 与与 x 0 的的接近程度可表为接近程度可表为 0|x -x 0|0，总存在这样一个正数总存在这样一个正数 当当 x 满足满足 0|x -x 0|时有时有f(x)-A|A A xyOA02x 01x yfx 0 xxfAx,Q 0 xP|f(x)-A|A-f(x)0,并取并取 =Min 1,2 ，

9、则当，则当 x 0-x x 0+时便有时便有 A-f(x)A+由函数由函数 y=f(x)在点在点 处处取极限过程的直观认识取极限过程的直观认识可见，可见，正数正数 定量地表达了定量地表达了x 和和 接近到何种程度时接近到何种程度时就会有就会有 f(x)-A|所谓所谓当当 x 和和 接近到接近到“一定程度一定程度”实际是通过实际是通过 的具体数值来体现的。的具体数值来体现的。因此，能否确定这样的因此，能否确定这样的正数正数 或或这样的这样的正数正数 是否是否存在，就存在，就是函数是函数 y=f(x)在在点点 处处是否存在极限的关键！是否存在极限的关键！设函数设函数 f(x)在点在点 x 0 的某

10、个去心邻域内有定义，如的某个去心邻域内有定义，如果存在常数果存在常数 A，对于任意给定的正数，对于任意给定的正数 (无论它多么小无论它多么小),总存在正数总存在正数 ，使得当使得当 x 满足满足不等式不等式 0|x-x 0|时时,对应的函数值对应的函数值 f(x)就满足不等式就满足不等式|f(x)-A|，那么常数那么常数 A 就叫做函数就叫做函数 f(x)当当 x x 0 时的极限，记作时的极限，记作:如果这样的常数不存在，那么称如果这样的常数不存在，那么称 x x 0 时时 f(x)没没有极限，或有极限，或 不存在。不存在。0 0lim.xxfAfA xxxx 或或 0limxxfAx例例：

11、用定义证明：用定义证明 由函数极限的由函数极限的“-”定义知：定义知：f(x)A,(x x 0 )，就是对任意就是对任意给定的正数给定的正数 ，一定存在这样的正数，一定存在这样的正数 ，使得当使得当 0|x-x 0|时时不等式不等式|f(x)-A|能成立。能成立。对本例，对本例，|f(x)-A|=|C -C|=0，因此，因此，对任意给定的正数对任意给定的正数 ，总有，总有|f(x)-A|，于于是可取任意正数作为是可取任意正数作为，使得当，使得当 0|x-x 0|时时不不等式等式|f(x)-A|成立。因此有成立。因此有 0lim.xxCC 0lim.xxCCxyO yfCxA A C0 x例例：

12、用定义证明：用定义证明 用极限的用极限的“-”定义证明函数定义证明函数 y=f(x)在一点在一点x 0 处的处的极限为某值极限为某值 A，就是对任意给定的正数就是对任意给定的正数，要说明一定，要说明一定存在正数存在正数 ，使得当，使得当 0|x-x 0|时，时，不等式不等式|f(x)-A|能成立。能成立。要说明要说明这样的这样的 存在，最直接的办存在，最直接的办法就是将法就是将 找出来。由于式子找出来。由于式子|f(x)-A|随随|x-x 0|的的不断变小而不断变小而逐步变小逐步变小，故可从所证式子，故可从所证式子|f(x)-A|0，从不等式从不等式|f(x)-A|出发去找出出发去找出 的过程

13、的过程。00lim.xxxx 对本例，由于对本例，由于|f(x)-A|=|x -x 0|.因此因此对任意给定的正数对任意给定的正数 ，只要取只要取=，则当，则当 0|x-x 0|=时就有时就有|f(x)-A|=|x -x 0|=，由极限的由极限的“-”定义知定义知 00lim.xxxxxOy yfxx0 x 0 x 0 x0 x例例：用定义证明：用定义证明 用极限的用极限的“-”定义证明函数定义证明函数 y=f(x)在一点在一点x 0 处的处的极限为某值极限为某值 A，就是对任意给定的正数就是对任意给定的正数，要说，要说明一定存在正数明一定存在正数 ，使得当，使得当 0|x-x 0|时，时，不

14、等式不等式|f(x)-A|能成立。能成立。要说明要说明这样的这样的 存在，最直接的办法就是将存在，最直接的办法就是将 找出找出来。由于式子来。由于式子|f(x)-A|是随是随|x-x 0|的不断变小而的不断变小而逐逐步变小步变小的，故可从所证式子的，故可从所证式子|f(x)-A|0，从不等式从不等式|f(x)-A|出发去出发去找出找出 的过程的过程 1lim4.31xx 对本例，由于对本例，由于|f(x)-A|=|-4|=3|故故对任意给定的正数对任意给定的正数 ，要使要使|-A|=3|-1|，只需，只需|x-1|/3 因此取因此取 =/3，则对这个确定的，则对这个确定的 ，当当 0|x-1|

15、=/3 时有时有|(3x+1)-4|=3|x-1|0，由由|f(x)-A|k|x-x 0|解出解出|x-x 0|/k；取取 =/k，验证验证 0|x-x 0|时时 有有|f(x)-A|.按照极限的一般概念，按照极限的一般概念，函数函数 f(x)在一点在一点 x 0 的取极的取极限过程中，动点限过程中，动点 x 趋于定点趋于定点 x 0 的方式必须是任意的，的方式必须是任意的，但但出出于某些特殊问题的研究需要，有时需考虑动点于某些特殊问题的研究需要，有时需考虑动点 x 按按某种特殊方式某种特殊方式趋于定点趋于定点 x 0 时函数的变化趋势。时函数的变化趋势。在在动点动点 x 趋于定点趋于定点 x

16、 0 的各种方式中，有两种特殊的各种方式中，有两种特殊方式值得关注，即方式值得关注，即 x 仅仅从从 x 0 左侧趋于左侧趋于 x 0(记作记作:x x0-)时时的极限和的极限和 x 仅从仅从 x 0 右侧趋于右侧趋于 x 0(记作记作:x x0+)时时的的极限，这就是单侧极限的概念。极限，这就是单侧极限的概念。相应地，相应地，x 以任意方式趋向于定点以任意方式趋向于定点 x 0 时时的极限称为的极限称为双侧极限。双侧极限。设函数设函数 y=f(x)在点在点 x 0 的左邻域内有定义，如果的左邻域内有定义，如果对于任意给定的正数对于任意给定的正数 (无论它多么小无论它多么小)，总存在正数，总存

17、在正数 ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 -x-x 0 0 的一切的一切 x，对应的函，对应的函数值数值 f(x)都满足不等式都满足不等式|f(x)-A|，则常数，则常数 A 就叫就叫做函数做函数 y=f(x)当当 x x 0 时的左极限，记作：时的左极限，记作：00lim.xxfAfAxx 或或xyO0 x yfx0fx 类似地，设函数类似地，设函数 y=f(x)在点在点 x 0 的右邻域内有定的右邻域内有定义，如果对于任意给定的正数义，如果对于任意给定的正数 (无论它多么小无论它多么小)，总存，总存存在正数存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 0 x-x 0 的一切的一

18、切x，对应函数值，对应函数值 f(x)都满足不等式都满足不等式|f(x)-A|0，存在，存在 0,使得当使得当 0|x-x 0|时，时，|f(x)-A|，即即 当当 x 0-x x 0 时，有时，有|f(x)-A|，当当 x 0 x x 0+时，有时，有|f(x)-A|0，存在，存在 1,2 0，使得使得 当当 x 0-1 x x 0 时，有时，有|f(x)-A|，当当 x 0 x x 0+2 时，有时，有|f(x)-A|.取取 =min 1,2 ，则当则当 0|x-x 0|时，以上时，以上两式均成立，即恒有两式均成立，即恒有|f(x)-A|.由极限定义知：由极限定义知：于单侧极限形式相对简单

19、，利用这一结果常可于单侧极限形式相对简单，利用这一结果常可将复杂的双侧极限问题转化为较简单的单侧极限问题将复杂的双侧极限问题转化为较简单的单侧极限问题进行讨论，特别是对分段函数在分段点处极限问题进行讨论，特别是对分段函数在分段点处极限问题，应用这一结果尤为方便。应用这一结果尤为方便。例例：设函数：设函数证明：当证明：当 x 0 时时，f(x)的极限不存在。的极限不存在。这是个分段函数在分这是个分段函数在分段点处的极限讨论问题。段点处的极限讨论问题。由于该分段函数在分段由于该分段函数在分段点点 x=0 两侧的表达式不同，两侧的表达式不同，故宜分别通过两个单侧极限故宜分别通过两个单侧极限来考察此分

20、段点处的极限。来考察此分段点处的极限。100010 xxfxxxx.,xOy111yx1yx 当当 x 0，存在，存在 =，使得使得 当当 -x 0 时，有时，有|(x-1)-(-1)|=|x|0 时，时，f(x)=x+1，易看出应有，易看出应有 与左极限的情形相类似，可方便地证明这一结果。与左极限的情形相类似，可方便地证明这一结果。因为在分段点因为在分段点 x=0 处有处有 由函数在一点的极限与单侧极限的关系知：由函数在一点的极限与单侧极限的关系知：不存在。不存在。00limlim11xxfxx.001limlim1xxffxx .0limxfx 对函数性质的直观认识通常是建立在有限区间基对

21、函数性质的直观认识通常是建立在有限区间基础之上的。然而，通过这种认识方法对函数性质的了解础之上的。然而，通过这种认识方法对函数性质的了解往往还只是往往还只是“局部的局部的”或或“有限的有限的”。从微积分研究需要和某些实际问从微积分研究需要和某些实际问题的讨论要求看，题的讨论要求看，对定义在无穷区间对定义在无穷区间上的函数上的函数 f(x)，要了解其，要了解其“总体总体”或或“全局全局”的性质，还的性质，还需要考虑需要考虑自变量自变量 x 无限增大时函数的性质，无限增大时函数的性质，即需研究即需研究 x 时函数时函数 f(x)的变化的变化趋势及性质。趋势及性质。例如，对于函数例如，对于函数 f(

22、x)=arctan x，要了其沿，要了其沿 x 轴的轴的两端无限远去时的性状，就必须研究两端无限远去时的性状，就必须研究 x 时，时，f(x)的的变化趋势。变化趋势。又如，在考虑点电荷电场的作功问题时，就会遇到又如，在考虑点电荷电场的作功问题时，就会遇到如下形式的极限如下形式的极限问题：问题：f(x)=kq/x 2 0,(x ).yOx2kqfxx arctanfxx2 2 设有定义在设有定义在(-,+,+)上的函数上的函数 y=f(x)，直观地，直观地考虑极限问题：考虑极限问题：f(x)A，x .xOy yfxx ,A A A2X1XQP 12maxXXX ,取取XX 设函数设函数 f(x)

23、当当|x|大于某正数大于某正数 M 时定义，如果存时定义，如果存在常数在常数 A，使得对于任意给定的正数，使得对于任意给定的正数 (无论它多么小无论它多么小),总存在着正数总存在着正数 X，只要自变量，只要自变量 x 适合不等式适合不等式|x|X，对应的函数值对应的函数值 f(x)就就都满足不等式都满足不等式|f(x)-A|X 时，时，不等式不等式|f(x)-A|能成立。能成立。要说明要说明这样的这样的 X 存在，最直接的办法就是将存在，最直接的办法就是将 X 找出找出来。由于式子来。由于式子|f(x)-A|是随着是随着|x|的不断变大而的不断变大而逐步逐步变小变小的，故可从所证式子的，故可从

24、所证式子|f(x)-A|0，从不等式从不等式|f(x)-A|出发出发去找出去找出 X 的过程的过程 1lim0.xx 1/因此取因此取 X =1/，则对这个确定的，则对这个确定的 X，当当|x|X=1/时有时有由极限的由极限的“-X”定义知定义知 11 0 fAxxx,1 fAxx,1111 01Xxx ,1lim0.xx 由于由于 x 的过程可以是取正值而无限增大，也可的过程可以是取正值而无限增大，也可以是取负值而绝对值无限增大，因此以是取负值而绝对值无限增大，因此 x 的过程也是的过程也是一种双向极限过程。在某些具体问题讨论中，常需要分一种双向极限过程。在某些具体问题讨论中，常需要分别考察

25、函数当别考察函数当 x -和和 x +时的时的极限问题，于是极限问题，于是有了相应单侧极限的概念。有了相应单侧极限的概念。xOy yfxA 设函数设函数 y=f(x)当当 x 大于某正数时定义，如果存在大于某正数时定义，如果存在常数常数 A，使得对于任意给定的正数，使得对于任意给定的正数 (无论它多么小无论它多么小)，总存在正数总存在正数 X，只要自变量，只要自变量适合不等式适合不等式 x X，对应的，对应的函数值函数值 f(x)都满足不等式都满足不等式|f(x)-A|，那么常数，那么常数 A就叫做函数就叫做函数 y=f(x)当当 x+时的极限，时的极限，记作：记作：如果这样的常数不存在，如果

26、这样的常数不存在，那么称那么称 x +时时 f(x)没有极限。没有极限。limxfAx,.fAxx 或或,设函数设函数 y=f(x)当当 x 小于某负数时定义，如果存在小于某负数时定义，如果存在常数常数 A，使得对于任意给定的正数，使得对于任意给定的正数 (无论它多么小无论它多么小)，总存在正数总存在正数 X，只要自变量，只要自变量适合不等式适合不等式 x -X，对应，对应的的函数值函数值 f(x)都满足不等式都满足不等式|f(x)-A|0，要设法找出正数要设法找出正数 X，使得当使得当 x -X 时，时，不等式不等式|f(x)-A|能成立。能成立。找找 X 的过程实际是由的过程实际是由不等式

27、不等式|f(x)-A|解出解出 x ()，再取再取 X=-()的过程。的过程。lim01.xxaa ,其其中中 对任意给定的正数对任意给定的正数 ，为证明方便，为证明方便 不妨设不妨设 0 1.于是，于是，要使不等式要使不等式|f(x)-A|=|a x-0|=a x ，成立，只需成立，只需 x ln a ln ，即，即 x 1 时，指数函数时，指数函数 a x 单单调增，故调增，故当当 x -X 时有时有|a x-0|=a x 0，存在，存在 X 0,使得当使得当|x|X 时，时，|f(x)-A|，即即 当当 x -X 时，有时，有|f(x)-A|X 时，有时，有|f(x)-A|0，存在，存在

28、 X 1,X 2 0，使得使得 当当 x -X 1 时，有时，有|f(x)-A|X 2 时，有时，有|f(x)-A|X 时，以上两式时，以上两式均成立，即恒有均成立，即恒有|f(x)-A|.由极限定义知：由极限定义知：xOy yfxx ,A A A2X1XQP 12maxXXX ,取取XX例：例：判别极限判别极限 是否存在，若存在，试确定是否存在，若存在，试确定之；若不存在，试说明理由。之；若不存在，试说明理由。由于基本初等函数由于基本初等函数 arctan x 只是形式表达式而只是形式表达式而非运算式。因此可直接从其几何性质考察极限存在性。非运算式。因此可直接从其几何性质考察极限存在性。由函

29、数图形易看出，当由函数图形易看出，当 x-和和 x+时，该函数有时，该函数有不同的变化趋势，故可由单侧极限确定该极限不存在。不同的变化趋势，故可由单侧极限确定该极限不存在。因为因为故由单侧极限与双侧极限的关系知，极限故由单侧极限与双侧极限的关系知，极限不存在。不存在。lim arctanxx lim arctanlim arctan22xxxx ,.lim arctanxx xOy yfxx ,A A A2X1XQP 12maxXXX ,取取XX 自变量趋向于无穷大时函数取极限的几何特征是函自变量趋向于无穷大时函数取极限的几何特征是函数图形无限接近于一条水平直线。由此可建立所谓水平数图形无限接

30、近于一条水平直线。由此可建立所谓水平渐近线的概念。渐近线的概念。若函数若函数 y=f(x)具有下列三种情形之一：具有下列三种情形之一：则称直线则称直线 y=A 为函数为函数 y=f(x)图形的水平渐近线。图形的水平渐近线。函数函数 y=f(x)图形的渐近线对了解函数的几何性质图形的渐近线对了解函数的几何性质及函数作图都有重要作用。及函数作图都有重要作用。xOy yfxyA 已证得极限已证得极限 由定义知，由定义知，直线直线 y=0 为曲线为曲线 y=1/x 的一条水的一条水平渐近线。平渐近线。1lim0 xx.xOy1yx 因为因为 故故直线直线y=/2,y=-/2 均为曲线均为曲线 y=ar

31、ctan x 的水平渐近线。的水平渐近线。lim arctan lim arctan22xxxx ,yOx arctanfxx2y 2y 函数在一点的性质是由其在该点邻域内的性质决定函数在一点的性质是由其在该点邻域内的性质决定的，而函数在一点的极限的，而函数在一点的极限反映了反映了函数在该点函数在该点邻域内的性邻域内的性质。同理，质。同理，函数当自变量趋于无穷函数当自变量趋于无穷大时的极限反映了函数在无穷远大时的极限反映了函数在无穷远处的处的性质。因此，研究和了解性质。因此，研究和了解函函数极限数极限性质是研究函数性质的性质是研究函数性质的基本手段和方法。基本手段和方法。C.P.U.Math.

32、Dept.杨访杨访 如果如果 ，且，且 A 0，那么必存在某个正数，那么必存在某个正数 ，使得当，使得当 0|x -x 0|X 时时 f(x)恒不为恒不为零且与零且与 A 有相同符号。有相同符号。0limxxfAx limxfAx 定理是按两种极限形式叙述的，每一种极限形式定理是按两种极限形式叙述的，每一种极限形式下又可分为两种不同情形。下又可分为两种不同情形。对对 x x 0 的极限形式，定理的两种情形可表为：的极限形式，定理的两种情形可表为：如果如果 ，且，且 A 0，那么就存在点，那么就存在点 x 0的某个去心邻域，当的某个去心邻域，当 x 在该邻域内时有在该邻域内时有 f(x)0；如果

33、如果 ，且，且 A 0，那么，那么就存在点就存在点 x 0 的某个去心邻域，当的某个去心邻域，当 x 在该在该邻域内时有邻域内时有 f(x)0，则存在则存在 0，使得当使得当x U(x 0,)时有时有 f(x)0，即在即在 x 0 的某的某去心邻域内有无穷多个点去心邻域内有无穷多个点 x 满足满足 f(x)0 证明证明 ，且且 A 0 的情形的情形。因为因为 ，根据极限存在的定义，对，根据极限存在的定义，对 =A/2 0，必存在正数必存在正数 ，使得，使得只要点只要点 x 适合不等式适合不等式0|x-x 0|，对应的函数值对应的函数值 f(x)就满足不等式就满足不等式|f(x)-A|A-f(x

34、)A+.因此，在点因此，在点 x 0 的去心邻域的去心邻域 内有内有 0lim0 xxfAx o 0U x,0limxxfAx 022AAAfx.证明证明 ，且且 A 0，必存在正数必存在正数 *，使得，使得只要点只要点 x 适合不适合不等式等式 0|x-x 0|*，对应函数值对应函数值 f(x)就满足不等式就满足不等式|f(x)-A|*A-*f(x)A+*.因此，在点因此，在点 x 0 的去心邻域的去心邻域 内有内有 0lim0 xxfAx o*0U x,0limxxfAx *3022AAfAAx.如果当如果当 0|x -x 0|时时，f(x)0，且，且 ，那么，那么 A 0.如果当如果当 0|x -x 0|X 时时，f(x)0，且，且 ，那么，那么 A 0.如果当如果当|x|X 时时，f(x)0，且，且 ，那么，那么 A 0.0limxxfAx limxfAx 0limxxfAx limxfAx对该推论的理解应注意其条件和结论的关系。对该推论的理解应注意其条件和结论的关系。若将推论条件改为若将推论条件改为 f(x)0，则则结论仍为结论仍为 A 0，而不能将结论相应地改为而不能将结论相应地改为 A 0.若将推论条件改为若将推论条件改为 f(x)0，则则结论仍为结论仍为 A 0，而不能将结论相应地改为而不能将结论相应地改为 A 0，但此时有但此时有