小学六年级奥数课件：平面几何五大定律.ppt

1、小学奥数平面几何五大定律小学奥数平面几何五大定律1.等积模型2.鸟头定理3.蝴蝶定理4.相似模型5.燕尾定理一、等积模型一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图如右图夹在一组平行线之间的等积变形，如右图夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 反之反之 ，如果，则可知直线，如果，则可知直线ABAB平行于平行于CDCD?b?a?S?2?S?112:SSa b?D?C?B?AA C DB C DSS

2、A C DB C DSS等底等高的两个平行四边形面积相等等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理二、鸟头定理l 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 l

3、共角三角形的面积比等于对应角共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角相等角或互补角)两夹边的乘积之比两夹边的乘积之比l 如图在如图在ABCABC中，中，D,ED,E分别分别AB,ACAB,AC是上的点如图是上的点如图 (或或D D在在BABA的延长线上，的延长线上，E E在在ACAC上上如图如图 (2)(2)则则:():()ABCADESSABACADAE?E?D?C?B?A图（1）?E?D?C?B?A图（2）三、蝴蝶定理三、蝴蝶定理l 任意四边形中的比例关系任意四边形中的比例关系(“(“蝴蝶定理蝴蝶定理”)”)：1243:SSSS1243:AO OCSSSS?S?4?S?3?S?2?S?

4、1?O?D?C?B?Al 梯形中比例关系梯形中比例关系(“(“梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理”)：l l l S S的对应份数为的对应份数为2213:SSab221324:SSSSabab ab2ab?A?B?C?D?O?b?a?S?3?S?2?S?1?S?41324SSSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系也可以得到与

5、面积对应的对角线的比例关系 或者或者 四、相似模型四、相似模型l 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；l 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；l 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具相似三角形模型，给我们提供了三角形之

6、间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形(一)金字塔模型(二)沙漏模型?G?F?E?A?B?C?D?A?B?C?D?E?F?G ADAEDEAFABACBCAG22:ADEABCSSAFAG：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：五、燕尾定理五、燕尾

7、定理l 在三角形在三角形ABCABC中，中，ADAD，BEBE，CFCF相交于同一点相交于同一点O O，那么，那么 :ABOACOSSBD DC?O?F?E?D?C?B?A上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABOABO和和ACOACO的的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底

8、边之间提供互相联系的途径中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.【例例 2】长方形的面积为长方形的面积为36 ，E、F、G为各边中点，为各边中点，H为为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】特殊点法找的特殊点，把点H与点D重合，那么图形就可变成上右图：2cm这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：即【例例 3】如图所示，长方形如图所示，长方形ABCD内的阴内的阴影部分的面积之和为影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形四边形EFGO的面积为多少？的面积为多少？111203024【解析】利用图形中的包含关

9、系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积由于长方形ABCD的面积为158=120，所以三角形BOC的面积为1204=30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为312070204又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为所以四边形EFGO的面积为30-20=10【例例 4】如图，已知如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段，线段AB将将图形分成两部分，左边部分面积是图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是，右边部分面积是65，那，那么三角形么三角形ADG的面积是多少？的面积是多少

10、？【解析】连接AF，BD，根据题意可知CF=5+7+15=27，DG=7+15+6；?G?F?E?D?C?B?A?A?B?C?D?E?F?G所以，1527BECBFFSS1227BECBFCSS2128AEGADGSS728AEDADGSS于是：2115652827ADGCBFSS712382827ADGCBFSS可得 故三角形ADG的面积是4040A D GS可得 故三角形ADG的面积是4040A D GS【例例 6】如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形，平行四边形ABCD的面积是的面积是2，求平行四边求平行四边形形ABC

11、D与四边形与四边形EFGH的面积比的面积比【解析】连接AC，BD，根据共角定理所以又同理可得?H?G?A?B?C?D?E?F?H?G?A?B?C?D?E?F1 111 33ABCFBESAB BCSBE BF所以1ABCS3FBES8GCFS8GCFS8AEHS8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS所以213618ABCDEFGHSS【例例7】如图所示的四边形的面积等于多少？如图所示的四边形的面积等于多少？【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：因此，原来四边形的面积为1212=144.

12、(也可以用勾股定理)把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形 OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.【例例 8】如图所示，如图所示，ABC中，中，AB=3，BC=5，以，以AC为为一边向一边向ABC外作正方形外作正方形ACDE，中心为，中心为O，求，求OBC的面积的面积【解析】如图，将OAB沿着点O顺时针旋转 ，到达OCF的位置由于OB=OF，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5+3=8，所以它的面积为由于 ，所以 ，而所以 ，那么B、C、F三点在一条直线上90ABC9

13、090AOC180OABOCB OCFOAB 90ABC180OCFOCB 90BOFAOC 218164根据面积比例模型，OBC的面积为 516108【例例 11】如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线交于点的对角线交于点O，CEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是的面积依次是2、4、4和和6求：求：求求OCF的面积；的面积；求求GCE的面积的面积【解析】根据题意可知，BCD的面积为2+4+4+6=16，那么BCO和CDO的面积都是162=8，所以OCF的面积为8-4=4；所以由于BCO的面积为8，BOE的面积为6，所以OCE的面积为8-6=2，根据蝴蝶定理，?O?G?F?E?D

14、?C?B?A:2:41:2COECOFEG FGSS:1:2GCEGCFSSEG FG那么11221233GCECEFSS【例例12】如图，长方形如图，长方形ABCD中，中，BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，三角形，三角形DFG的面的面积为积为2平方厘米，求长方形平方厘米，求长方形ABCD的面积的面积【解析】连接AE，FE(如右图）又因为因为因为BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，?A?B?C?D?E?F?G?A?B?C?D?E?F?G所以所以3111()53210DEFABCDABCDSSS长方形长方形又因为又因为 ，所以所以12AEDABCDSS长方形11:5:12 10AG G

15、F 510AGDGDFSS2cm12AFDS2cm16AFDABCDSS长方形所以长方形所以长方形ABCD的面积是的面积是72平方厘米平方厘米【例例13】如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，E、F、G、H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点，求阴影部分的面积的中点，求阴影部分的面积【解析】如右图所示，连接AC、EF设AF、CE的交点为N在梯形AEFC中，由于EF：AC=1：2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为1：2：2：4：，所以三角形EFN的面积为 ，那么四边形的面积为 可知ACEF且AC=2EF那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1/4，所以

16、三角形BEF 的面积为1/8，梯形的面积为3/831181224241118246而图中四个空白四边形的面积是相等的，所以图中阴影部分的面积 111463【例例14】如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，F是边是边BC的中点，的中点，E是边是边CD上的上的点，且点，且DE：EC=1：3，AF与与BE相交于点相交于点G，求，求【解析】连接AE，延长AF与DC的延长线交于点M，又CE=3，所以EM=7，则GB：GE=AB：EM=4：7 因为F是边是边BC的中点，所以的中点，所以CM=AB=4所以ABGS?G?F?A?E?D?C?B?M?G?F?A?E?D?C?B4432(44

17、2)471111ABGABESS【例例 15】如图，如图，ABCD为正方形，为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm且且MN=2cm，请问四，请问四边形边形PQRS的面积为多少？的面积为多少？【解析】由ABCD，有 ，所以PC=2PM所以又 ，所以所以MPPCMNDCMQMBQCEC12MQQCMC111236PQMCMCMC121(1 12)63SPQRS 2cm【例例 18】如图，面积为如图，面积为1的三角形的三角形ABC中，中，D、E、F、G、H、I分别是分别是AB、BC、CA 的三等分点的三等分点,求阴影部分面积求阴影部分面积.【解析】令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI

18、与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP。设 份，则 份，份，份求 ：所以ADMIS四边形:1:2ABMCBMSSAI CI:1:2ACMCBMSSAD BD1ABMS2CBMS1ACMS4ABCS14ABMACMABCSSS所以11312ADMABMABCSSS112AIMABCSS所以111()12126ABCABCADMISSS四边形同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC面积的16在ABC中，根据燕尾定理，【例例 18】如图，面积为如图，面积为1的三角形的三角形ABC中，中，D、E、F、G、H、I分别是分别是AB、BC、CA 的三等分点的三等分点,求阴影部分面积求阴影部分面积.（2）求 ：在ABC中，根据燕尾定理，所以同理所以同理另外两个五边形面积是ABC面积的 ，DNPQES五边形:1:2ABNACNSSBF CF:1:2ACNBCNSSAD BD111133721ADNABNABCABCSSSS121BEQABCSS在ABC中，根据燕尾定理，:1:2ABPACPSSBF CF:1:2ABPCBPSSAI CI15ABPABCSS1111152121105ABPADNBEPABCABCDNPQESSSSSS五边形所以11105所以11113133610570S 阴影