1、第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系第三章3.2函数与方程、不等式之间的关系学习目标XUEXIMUBIAO1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法.问题导入已知已知:二次函数二次函数62xxy试问：（1）x为何值时，y等于0？（2）画出这个函数的图像，求该函数图像与x轴的交点坐标。问题：二次函数62xxy的图像与x轴的交点坐标与方程260 xx的解有什么关系？思考：一元二次方程思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？
2、的图象有什么关系？知识点一函数零点的概念一般地，如果函数yf(x)在实数处的函数值等于零，即f()0，则称_为函数yf(x)的零点.思考函数的零点是“点”吗？答案函数的零点不是点，而是函数yf(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.知识点二二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系函数yx22x3yx22x1yx22x3函数的图像方程的实数根_x1x21_不等式的解集y0的解集_y0的解集_y0的解集_y0的解集_x11，x23无实数根(，1)(3，)(，1)(1，)(1,3)R思考函数的零点与方程的根及函数图像有何关系？答案函数f(x)的零
3、点，即对应方程f(x)0的根，也是函数图像与x轴的交点横坐标.思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.所有的函数都有零点.()2.若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1，0)，(x2，0).()3.只有一个零点.()4.函数yx316x的零点有3个.()例1判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出零点.(1)f(x)x2x6；一、求函数的零点解方法一由x2x6(x3)(x2)0，得x12，x23，所以函数f(x)的零点是x12，x23.方法二作出函数f(x)x2x6的图像，如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线，且f(0)6
4、0；二、利用函数图像求不等式的解集解设f(x)x25x6，令f(x)0，得x25x60，即(x2)(x3)0，从而x2或x3，因此2和3都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(2,0)和(3,0)，又因为函数的图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像示意图，如图所示.由图可知，不等式的解集为(2,3).(2)3x25x20.解设g(x)3x25x2，令g(x)0，得3x25x20，又因为函数的图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像示意图，如图所示.由图可知，反思感悟解一元二次不等式的一般步骤第一步：求函数的零点；第二步：作出函数的图像；第三步：求对应不等式的解集.跟踪
5、训练2解下列不等式：(1)4x24x10；作出函数y4x24x1的图像如图.(2)x26x100.解原不等式可化为x26x100，364040，方程x26x100无实根，原不等式的解集为.例3求函数f(x)(2x1)(x1)(x3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)0和f(x)0的解集.三、高次不等式的解法函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.x(1,3)(3，)f(x)由此可以画出函数图像的示意图如图所示.反思感悟数轴穿根法的步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证x前的系数为正数)；第二步：将不等号换成等
6、号解出所有根；第三步：在数轴上从左到右依次标出各根；第四步：画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过次右根，一上一下依次穿过各根；第五步：观察不等号，如果不等号为，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为，则取数轴下方穿根线以内的范围.跟踪训练3求函数f(x)(x1)(x2)(2x3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)0的解集.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.x(，2)(2，1)f(x)由此可以画出函数图像的示意图如图所示.当堂检测1231.函数f(x)2x23x1的零点是1232.不等式x24x30的解集为A.(1,3)B.(，13，)C.(3，1)D.(，31，)解析作出函数yx24x3的图像(图略)，由图可知选A.1233.不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为_.解析函数的零点为1,2,3.利用数轴穿根法作出函数图像的示意图(略)，不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为(，1)(2,3).(，1)(2，3)
