新版高中数学北师大版必修2课件142等角定理与异面直线所成的角.pptx

1、-1-第2 2课时等角定理与异面直线所成的角-2-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页-3-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页1.等角定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.名师点拨等角定理的符号语言与图形语言及作用.(1)图形语言:如图所示.(2)符号语言:已知OAOA,OBOB,则AOB=AOB或AOB+AOB=180.(3)作用:判断或证明两个角相等或互补.-4-第2课时等

2、角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页【做一做1】空间两个角,的两边分别对应平行,且方向相同,若=50,则等于()A.50B.130C.40D.50或130解析:由等角定理知与相等.答案:A-5-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页2.异面直线所成的角 如图所示,过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.如果两条异面直线所成

3、的角是直角,我们称这两条直线互相垂直.记作:ab.-6-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页 做一做2如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G分别为BC,AD,DB的中点,若AB与CD所成的角为60,则FGE=.解析:因为E,F,G分别为BC,AD,DB的中点,所以FGAB,EGDC,所以FGE=60或120.答案:60或120-7-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页3.空间四边形四个顶点不在同一平面内的四

4、边形叫作空间四边形.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相同,则这两个角相等.()(2)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且有一组对边方向相同,另一组对边方向相反,则这两个角互补.()(3)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等.()(4)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反,则这两个角互补.()(5)两条异面直线所成角的范围为0,90).()-8-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学

5、习首页探究一探究二一题多解 探究探究一等角定理的应用等角定理的应用 【例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形;(2)BMC=B1M1C1.分析:本题是在正方体中研究问题,(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形,可证其一组对边平行且相等;(2)可结合(1)利用定理证明或利用三角形全等证明.-9-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A

6、1D1的中点,MM1=AA1,MM1AA1.又AA1=BB1,AA1BB1,MM1=BB1,且MM1BB1.四边形BB1M1M为平行四边形.(2)方法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,C1M1CM.由平面几何知识可知,BMC和B1M1C1都是锐角,BMC=B1M1C1.-10-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形.

7、C1M1=CM.又B1C1=BC,BCM B1C1M1.BMC=B1M1C1.反思感悟1.要明确等角定理的两个条件,即两个角的两条边分别对应平行,并且方向相同,这两个条件缺一不可.2.空间中证明两个角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,还可以利用平行四边形的对角相等.在利用等角定理时,关键是弄清楚两个角对应边的关系.-11-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解变式训练变式训练1在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为边A1C1,AC和AB的中点.求证:PN

8、A1=BCM.证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PNBC.又M,N分别为A1C1,AC的中点,所以A1MNC.所以四边形A1NCM为平行四边形,故A1NMC.由及PNA1与BCM对应边方向相同,得PNA1=BCM.-12-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解探究二求两条异面直线所成的角探究二求两条异面直线所成的角【例2】如图所示,已知正方体ABCD-ABCD.(1)哪些棱所在的直线与直线BC是异面直线?(2)求异面直线AD与BC,BC与CD所成角的大小以及AC与AB所成角

9、的正切值.分析:(1)按照异面直线的定义进行判断;(2)根据异面直线所成角的定义进行求解.-13-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解解:(1)所在直线与BC是异面直线的棱有:AA,DD,AB,DC,AD,AD.(2)因为ADBC,所以AD与BC所成的角就是BC与BC所成的角.因为BCBC,所以AD与BC所成的角等于90.因为ABCD,所以BC与CD所成的角就是BC与AB所成的角.因为ACB是等边三角形,所以ABC=60,故BC与CD所成角的大小为60.因为ABCD,所以ACD就是

10、异面直线AC与AB所成的角.在ACD中,若设正方体的棱长为a,-14-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解反思感悟求异面直线所成的角1.求两条异面直线所成的角,一般是根据其定义求解,步骤如下:(1)平移;(2)构造三角形;(3)解三角形;(4)作答.2.在所给几何体中平移直线构造异面直线所成的角时,一般是选取其中一条直线上的特殊点,如顶点、棱的中点等.-15-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学

11、习首页探究一探究二一题多解变式训练变式训练2如图所示,已知三棱锥A-BCD,AD=BC,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=AD,求异面直线AD和BC所成角的大小.-16-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解解:取AC的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是AB,CD的中点,由异面直线所成角的定义可知EGF或其补角即为异面直线AD,BC所成的角.所以异面直线AD和BC所成的角为90.-17-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANC

12、E当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解【典例】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析:要求异面直线所成角的大小,关键是作出异面直线所成的角,把它归结到三角形中,通过解三角形就可以得出答案.同时在解题时要注意异面直线所成角的范围.-18-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解解法1(直接平移法)如图所示.连接A1C1,B1D1交于点O,取DD1的中点G,连接GA1,GC1,O

13、G,则OGB1D,EFA1C1,故GOA1或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角.GA1=GC1,O为A1C1的中点,GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.-19-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解HF2=EF2+HE2,HEF=90,异面直线DB1与EF所成的角为90.-20-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解解法3如图所示,分别取AA1,CC1的中

14、点M,N,连接MN,则MNEF,所以直线MN与DB1所成的角就是异面直线DB1与EF所成的角.连接MB1,DN,DM,B1N,则B1NDM,且B1N=DM,四边形DMB1N为平行四边形,MN与B1D必相交,设交点为P.DM2=DP2+MP2,DPM=90,即DB1EF,异面直线DB1与EF所成的角为90.-21-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解解法4(补形法)如图所示,在原正方体的右侧补上一个同样的正方体,连接B1Q,DQ,则B1QEF.于是DB1Q或其补角就是异面直线DB1与

15、EF所成的角,通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,故异面直线DB1与EF所成的角为90.-22-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页探究一探究二一题多解名师点评求两条异面直线所成角大小的步骤:(1)构造:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的端点或中点,也可以是异面直线中某一直线上的一个特殊点.(2)证明:证明作出的角就是要求的角.(3)计算:求角度,常利用三角形.(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的

16、角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.-23-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页123451.若AOB=AOB,OAOA,且OA与OA的方向相同,则OB与OB()A.一定平行且方向相同B.一定平行且方向相反C.一定不平行D.不一定平行解析:由于两角不一定在同一个平面内或两角所在的平面不一定平行,因此OB与OB不一定平行.答案:D-24-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页123452.若一条直线与两

17、条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面 D.平行解析:在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与直线B1C1是异面直线,与B1C1平行的直线有A1D1,AD,BC,显然直线AA1与A1D1相交,与BC异面.答案:C-25-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页123453.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为A1B1,B1C1,BB1的中点,下列说法错误的是()A.BA1C1=MEFB.A1BC1=EMFC.B1EM=EA1BD.E

18、FM=A1C1F解析:由等角定理,可知A,B,C均正确.答案:D-26-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页123454.空间中,角A的两边和角B的两边分别平行,若A=70,则B=.解析:因为角A的两边和角B的两边分别平行,所以A=B或A+B=180.因为A=70,所以B=70或B=110.答案:70或110-27-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页123455.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是和CD所成的角的大小.-28-第2课时等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI自主预习DANGTANG JIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页12345EMF(或其补角)为异面直线AB和CD所成的角.AB=3,CD=3,EM=2,MF=1.又EF=,MF2+EF2=EM2,MFE=90,EMF=60,异面直线AB和CD所成的角为60.