第3章自动控制系统的数学模型学习培训模板课件.ppt

1、2主要内容主要内容n微分方程式的编写微分方程式的编写n非线性数学模型线性化非线性数学模型线性化n传递函数传递函数n系统动态结构图系统动态结构图 n系统传递函数和结构图的变换系统传递函数和结构图的变换n信号流图信号流图n小结小结3 学习重点学习重点v简单物理系统的微分方程和传递函数简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算的列写及计算 v非线性模型的线性化方法非线性模型的线性化方法 v结构图和信号流图的变换与化简结构图和信号流图的变换与化简v开环传递函数和闭环传递函数的推导开环传递函数和闭环传递函数的推导和计算和计算41.数学模型数学模型 描述系统变量之间关系的数学表达式描述系统变量之间关系的

2、数学表达式2.数学模型的主要形式数学模型的主要形式(1)(1)微分方程微分方程(2)(2)传递函数传递函数(3)(3)结构框图结构框图(4)(4)信号流图信号流图5 编写系统微分方程的步骤编写系统微分方程的步骤n确定系统的输入量和输出量；确定系统的输入量和输出量；n将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程；节的微分方程；n消去中间变量，求出系统的微分方程。消去中间变量，求出系统的微分方程。6 例例2-1 RC2-1 RC电路电路,取取u u1 1为输入量为输入量,

3、u,u2 2为输出量为输出量2crdxRCxxdt21)(uRitu2uq Cdqidt7 例例2-2 RL2-2 RL电路电路,取取u u为输入量为输入量,i,i为输出量为输出量diLRiudt8 例例2-3 直流电动机电枢电路直流电动机电枢电路 取取u ud d为输入量为输入量,n,n为输出量为输出量2222375375dddddmemeLRRuGDd n GDdnnRC C dtC C dtCe ded ddddiC nR iLudtdtdnGDM3752m dMC i9例例2-4 机械位移系统机械位移系统 取取 为输入量为输入量,为输出量为输出量()f t22()()()()d x t

4、dx tmBKx tf tdtdt()()ddx tf tBdt22()()()()sdd x tf tf tf tmdt()()sf tKx tx101.1.非线性特性非线性特性n本质非线性本质非线性n非本质非线性非本质非线性 2.2.非线性特性线性化非线性特性线性化 作某种近似，或者缩小一些研究问题的范围。作某种近似，或者缩小一些研究问题的范围。3.3.小偏差线性化方法小偏差线性化方法11例例2-5 2-5 发电机激磁特性发电机激磁特性 ffIU0tan12 小偏差线性化的数学处理小偏差线性化的数学处理:静态静态工作点附近的泰勒(Taylor)级数展开 1）将一个非线性函数 ，在其工作点展

5、开成泰勒(Taylor)级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。00220002()1()()()()2!xxdf xd f xyf xxxxxdxdx忽略二阶以上各项，可写成)()()(000 xxdxxdfxfyx)(xfy 13 2）对于具有两个自变量的非线性函数，设输入量为x1(t)和x2(t),输出量为y(t),系统正常工作点为y0 f(x10,x20)。在工作点附近展开泰勒(Taylor)级数得 忽略二阶以上各项，可写成 10201102201222222110110220220221122(,)()()1()2()()()2!ffyf xxxxx

6、xxxfffxxxxxxxxxx xx)()(),(202210112010 xxxfxxxfxxfy14例例2-6 2-6 可控硅整流电路可控硅整流电路 取三相桥式硅整流电路的输入量为控制角取三相桥式硅整流电路的输入量为控制角 ，输出量为整流电压输出量为整流电压E Ed d15式中 E2 交流电源相电压的有效值；Ed0 时的整流电压。线性化处理，令得式中coscos34.202ddEEE00000,cosdxyE000cos()ddsEEK00sin0ddsEddEK016说明：通过上述讨论，应注意到，运用线性化说明：通过上述讨论，应注意到，运用线性化方程来处理非线性特性时，线性化方程的参量

7、方程来处理非线性特性时，线性化方程的参量与与静态静态工作点工作点有关，工作点不同时，参量的数有关，工作点不同时，参量的数值也不同。因此在线性化以前，必须确定元件值也不同。因此在线性化以前，必须确定元件的静态工作点。的静态工作点。17例例2-7 RC电路电路当当u1为输入，为输入，u2为输出时：为输出时：122uRiuduiCdt122uudtduRC21()1()()1UsW sU sRCs 221RCsUsUsUs1.定定 义义181011110111nncccnncnnmmrrrmmrmmd xdxdxaaaa xdtdtdtd xdxdxbbbb xdtdtdt对于对于n阶系统，线性微分

8、方程的一般形式为：阶系统，线性微分方程的一般形式为：19在零初始条件下，取拉氏变换得：在零初始条件下，取拉氏变换得：10111011nnccncncmmrrmrmra s Xsa sXsasXsa Xsb s Xsb sXsbsXsb Xs10111011()()mmmmcrnnnnb sb sbsbXsXsa sa sasa20传递函数定义：传递函数定义：零初始条件下零初始条件下，输出量的拉氏变换与输，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。入量的拉氏变换之比。10111011mmcmmnnrnnXsb sb sbsbW sXsa sa sasa21例例2-7 RC电路电路（1）当）当u1为

9、输入，为输入，u2为输出时：为输出时：122uRiuduiCdt122uudtduRC21()1()()1UsW sU sRCs 221RCsUsUsUs22例例2-7 RC电路电路（2）当）当u1为输入，为输入，i为输出时：为输出时：11dudiRidtCdt 11RsI sI ssUsC1()()()1I sCsW sU sRCs122uRiuduiCdt23例例2-8 RLC电路电路取取ur为输入，为输入，uc为输出，得为输出，得22cccrd uduLCRCuudtdtrcuuiRdtdiLcduiCdt24例例2-8 RLC电路电路取取ur为输入，为输入，uc为输出为输出2()1()

10、()1crUsW sUsLCsRCs 21crLCsRCsUsUs22cccrd uduLCRCuudtdt25例例2-9 机械位移系统机械位移系统取外力取外力f(t)为输入为输入 位移位移x(t)为输出为输出根据牛顿第二定律，得根据牛顿第二定律，得 22sdd x tf tftftmdt sftKx t ddx tftBdt26例例2-9 机械位移系统机械位移系统取外力取外力f(t)为输入为输入 位移位移x(t)为输出为输出 22d x tdx tmBKx tf tdtdt 2msBsK X sF s 21cXsW sF smsBsK27n 一般有一般有nm。n同一个系统，当输入量和输出量的

11、选择不相同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。同时，可能会有不同的传递函数。n不同的物理系统可以有相同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。10111011mmcmmnnrnnXsb sb sbsbW sXsa sa sasan传递函数表示系统传递输入信号的能力，反传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。和参数有关，与外部作用等条件无关。2811(1)()(1)miinjjKTsW sT s11()()()mgiinjjKszW ssp传递函数的另

12、外两种常用形式：传递函数的另外两种常用形式：时间常数形式时间常数形式根的形式根的形式29n系统的特征方程n系统的阶数n系统的极点n系统的零点几个定义和术语几个定义和术语302.典型环节的传递函数及暂态特性典型环节的传递函数及暂态特性（1）比例环节比例环节21crrRxxKxR)()(sKXsXrcKsXsXsWrc)()()(31比例环节的单位阶跃响应比例环节的单位阶跃响应KsXsXsWrc)()()(32（2）惯性环节惯性环节()1()()1crXsW sXsTsssXr1)(当 时01/()()()(1)(1/)1/crAAKK TXsW s Xss Tss sTssT00(1)sK TA

13、sKs sTKTsTssTKATs/11)/1()/1(/11()(1/)cX sKssT33惯性环节的单位阶跃响应惯性环节的单位阶跃响应11()(1/)cXsKssT/()(1),0t Tcx tKet求拉氏反变换得求拉氏反变换得 34当输入量为 时，输出量为（3）积分环节积分环节TK1()1()()crUsKW sUssTs式中，称为积分环节的时间常数。()/cu tKt t T()/cu tK tt TT35（4）微分环节微分环节 理想微分环节理想微分环节sKsUsUsWrc)()()(36（4）微分环节微分环节 一阶微分环节（又称比例微分环节、实用微分环节）一阶微分环节（又称比例微分环

14、节、实用微分环节）RTsTsRRsUsIsWr111)()()(37（5）振荡环节振荡环节这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。暂态响应可能作周期性的变化。222()2nnnW sss式中：式中：n 自然振荡角频率自然振荡角频率 阻尼比阻尼比38（5）振荡环节振荡环节当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：当 时，上式特征方程的根为共轭复数1因式分解得：222()(2)ncnnXss ss2221()2ncnns

15、Xssss39振荡环节的单位阶跃响应振荡环节的单位阶跃响应输出量为：22()1sin(1)1ntcnex tt 21arctan40（6）时滞环节时滞环节例例2-10 2-10 带钢厚度检测环节带钢厚度检测环节 ()cdh th t vl()crxtx t)()(sXesXrscsrcesXsXsW)()()(写成一般形式:零初始条件下，拉氏变换为 传递函数为 41时滞环节的时滞环节的输出量输出量()cdh th t 42232311()112!3!W sssss时滞环节的传递函数时滞环节的传递函数srcesXsXsW)()()(对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，

16、得：时滞环节在时滞环节在一定条件下一定条件下可可近似为惯性环节近似为惯性环节。43 系统动态结构图系统动态结构图将系统中所有的环节用方框图表示，图中标明其传递函数，并且按照在系统中各环节之间的联系，将各方框图连接起来。44系统动态结构图的绘制步骤：系统动态结构图的绘制步骤：(1)(1)首先按照系统的结构和工作原理，分解出各首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它的传递函数。环节并写出它的传递函数。(2)(2)绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输其输入量和输出量，按照信号的传

17、递方向把各方入量和输出量，按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来，就构成了系统结构图。框图依次连接起来，就构成了系统结构图。45例例2-11 2-11 速度控制系统速度控制系统46（1 1）比较环节和速度调节器环节）比较环节和速度调节器环节 0rrUsIsR00000000000001()()111212122()()11114ffffU sC sIsC sRC sRRC sRU s RU sT sRRC s 1111111kkcUsUssIss RRC s式中：00014TR C111RC47比较环节和速度调节器环节的结构图比较环节和速度调节器环节的结构图式中式中 110111kCrfsU

18、sKUUssT s10cRKR整理得整理得 48（2 2）速度反馈的传递函数）速度反馈的传递函数 fsfUsK n s式中：式中：为速度反馈系数为速度反馈系数 sfK49（3 3）电动机及功率放大装置）电动机及功率放大装置 dskUsK Us2375dded dddmzmdiuC nR iLdtGD dni Ci Cdt 1dedddUsC n sIsRT s edzmdCIsIsTsn sR50（4 4）系统的动态结构图）系统的动态结构图 511.典型连接的等效传递函数典型连接的等效传递函数(1)串联52(2)并联53(3)反馈连接542.相加点及分支点的换位运算相加点及分支点的换位运算 原

19、则原则:换位前后的输入换位前后的输入/输出信号间关系不变输出信号间关系不变。55(1)(1)相加点后移相加点后移 56(2)(2)相加点前移相加点前移 57(3)(3)分支点后移分支点后移 58(4)(4)分支点前移分支点前移 59(5)(5)分支点换位分支点换位 60(6)(6)相加点变位相加点变位 61(7)(7)相加点和分支点一般不能变位相加点和分支点一般不能变位 623.系统开环传递函数系统开环传递函数 定义：定义：闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数

20、，用开环传递函数，用 表示。表示。()KWs63123()()()()()()()()()fKfgfXsWsW s W s W s WsWs WsE s系统的开环传递函数是正向通道传递函数系统的开环传递函数是正向通道传递函数与反向通道传递函数的乘积。与反向通道传递函数的乘积。)(sWf()gWs正向通道传递函数正向通道传递函数 反向通道传递函数反向通道传递函数64例例2-12 2-12 无交叉局部反馈系统无交叉局部反馈系统 12362345()()()()1()()()()KW s W s W s W sWsW s W s W sW s65例例2-13 2-13 有交叉局部反馈系统有交叉局部反

21、馈系统 )()()()()()(1)()()()()()(54363274321sWsWsWsWsWsWsWsWsWsWsWsWK664.系统闭环传递函数系统闭环传递函数 定义：定义：在初始条件为零时，系统的输出量与输在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数，用数，用 表示。表示。()BWs67)(1)()()(1)()()()(sWsWsWsWsWsXsXsWKgfggrcB68对于单位反馈系统，有对于单位反馈系统，有()()()()1()cKBrKXsWsWsXsWs695.系统对给定作用和扰动作用的传递函系统对给定作

22、用和扰动作用的传递函数数 原则：对于线性系统来说，可以运用原则：对于线性系统来说，可以运用叠加原理叠加原理，即对，即对每一个输入量每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加分别求出输出量，然后再进行叠加，就，就得到系统的输出量。得到系统的输出量。70（1 1）只有给定作用时）只有给定作用时 12121212()()()1()()()()()()()1()()()BrfrcrfW s W sWsW s W s WsW s W s XsXsW s W s Ws71（2 2）只有扰动作用时）只有扰动作用时212212()()1()()()()()()1()()()BnfcnfW sWsW s W s

23、 WsW s N sXsW s W s Ws72（3 3）两个输入量同时作用于系统）两个输入量同时作用于系统 )()()()()()(1)()()()(1212sNsXsWsWsWsWsWsXsXsXrfcncrc73 信号流图是一种用图线表示线性系统方程组信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。的方法。1.1.信号流图中的术语信号流图中的术语 (1)源点 只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点。它一般表示系统的输入变量。(2)汇点 只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点。它一般表示系统的输出变量。74(3)混合节点 既有输入支点又有输出支点的节点称为混合节点。(4)通路 从某一节点

24、开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径，称为通路。通路中各支路传输的乘积称为通路传输（通路增益）。75(5)开通路 与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。(6)闭通路 如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的通路称为闭通路或称为回环。(7)回环增益 回环中各支路传输的乘积称为回环增益（或传输）。76(8)前向通路 是指从源点开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路增益。(9)不接触回环 如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环。772.2.梅逊增益公

25、式梅逊增益公式 nkkkrcTXXT11式中：式中：T T 系统的总传输；系统的总传输；T Tk k 第第k k 条前向通道的传输；条前向通道的传输；n n 从输入节点到输出节点从输入节点到输出节点的前向通路数；的前向通路数；信号流图的特征式；信号流图的特征式；78特征式的意义为特征式的意义为 信号流图中所有不同回环的传输之和；信号流图中所有不同回环的传输之和；信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和；信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和；m个互不接触回环的传输乘积之和；个互不接触回环的传输乘积之和；称为第称为第k条通路特征式的余因子，是在条通路特征式的余因子，是在 中除去中除去第第k

26、 条前向通路相条前向通路相接触的各回环传输（即将其置接触的各回环传输（即将其置 零）。零）。mmLLLL)1(13211L2LmLk79例例 2-142-14dgbefabcfbebefdgfdgabcdgbeLLLLLLLcacba)(11)(112112,TabcdTfd802112211(1)1()kkkTTTTabcdfdbebefabcbef dg 11beLa11281例例2-152-15decfedLL)(1121yxTxxTyxTxxTyrrcyrcr1111，求：求：解：解：82rcrxxT decfedacTr)(1（1 1）11yxTcydLa111decfeddbTy)

27、(1)1(（2 2）83rrxxT11decfedeaxxTrr)(1)1(11yxTy11decfedbfyxTy)(111（3 3）（4 4）e1111841.1.数学模型的基本概念数学模型的基本概念 数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。是对系统进行理论分析研究的主要依据。2.2.通过解析法对实际系统建立数学模型通过解析法对实际系统建立数学模型 在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。其微分方程式，反映其动态本质。85编写闭环系统微分方程的一

28、般步骤为：编写闭环系统微分方程的一般步骤为：(1)(1)首先确定系统的输入量和输出量；首先确定系统的输入量和输出量；(2)(2)将系统分解为各环节，依次确定各环节的输将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量，根据各环节的物理规律写入量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程；出各环节的微分方程；(3)(3)消去中间变量，就可以求得系统的微分方程消去中间变量，就可以求得系统的微分方程式。式。863.3.非线性元件的线性化非线性元件的线性化 针对非线性元件的非线性微分方程分析的难度，针对非线性元件的非线性微分方程分析的难度，本章介绍采用小偏差线性化方法对非线性系统的线本章介绍采

29、用小偏差线性化方法对非线性系统的线性化描述。性化描述。4.4.传递函数传递函数 通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数换为复数 s s 域的数学模型域的数学模型传递函数以及典型传递函数以及典型环节的传递函数。环节的传递函数。875.5.动态结构图动态结构图 动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，进一步分析和研究系统。解系统的各种传递函数，进一步分析和研究系统。6.6.信号流图信号流图 信号流图是一种用图线表示系统中信号流向的信号流图是一种用图线表示系统中信号流向的数学模型，完全包括了描述系统的所有信息及相互数学模型，完全包括了描述系统的所有信息及相互关系。通过运用梅逊公式能够简便、快捷地求出系关系。通过运用梅逊公式能够简便、快捷地求出系统的传递函数。统的传递函数。88END