1、 - 1 - 解答题(八) 17(2019 江西南昌一模)如图，四棱台 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是 菱形，CC1底面 ABCD，且BAD60 ，CDCC12C1D14，E 是棱 BB1的中 点 (1)求证：AA1BD； (2)求二面角 EA1C1C 的余弦值 解 (1)证明：因为 CC1底面 ABCD，所以 C1CBD，因为底面 ABCD 是菱 形，所以 BDAC. 又 ACCC1C，所以 BD平面 AC1C，又由四棱台 ABCDA1B1C1D1，知 A1，A，C，C1四点共面，所以 BD平面 A1ACC1，所以 BDAA1. (2)设 AC 交 BD 于点 O，连接 A1
2、O，依题意，有 A1C1OC 且 A1C1OC，所 以四边形 A1OCC1为平行四边形，所以 A1OCC1，且 A1OCC1.因为 CC1底面 ABCD，所以 A1O底面 ABCD. 以 O 为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系，如图所示 则 A(2 3，0,0)，A1(0,0,4)，C1(2 3，0,4)，B(0,2,0)， 由A1B1 1 2AB ，得 B 1( 3，1,4)，因为 E 是棱 BB1的中点， 所以 E 3 2 ，3 2，2 ， 所以EA1 3 2 ，3 2，2 ，A1C1 (2 3，0,0)， - 2 - 设 n(x，y，
3、z)为平面 EA1C1的法向量， 则 n A1C1 2 3x0， n EA1 3 2 x3 2y2z0， 取 z3，得 n(0,4,3)，平面 A1C1C 的法向量 m(0,1，0)，又由图可知，二 面角 EA1C1C 为锐二面角， 设二面角 EA1C1C 的平面角为 ， 则 cos|m n| |m|n| 4 5，所以二面角 EA1C1C 的余弦值为 4 5. 18(2019 福建三明质量检查)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b， c，且 b3(acosBbcosA)，bc8. (1)求 b，c； (2)若 BC 边上的中线 AD7 2，求ABC 的面积 解 (1)由正弦定理，
4、 得 sinB3(sinAcosBsinBcosA)， 所以 sinB3sin(AB)， 因为 ABC， 所以 sin(AB)sin(C)sinC， 即 sinB3sinC， 所以 b3c， 又因为 bc8，所以 b6，c2. (2)在ABD 和ACD 中， 由余弦定理，得 c2AD2BD22AD BD cosADB， b2AD2CD22AD CD cosADC. 因为 b6，c2，BDDCa 2，AD 7 2， 又因为ADBADC， 即 cosADBcosADC，所以 a231， 所以 cosBACb 2c2a2 2bc 3 8， 又因为BAC(0，)，所以 sinBAC 55 8 . 所以
5、ABC 的面积 SABC1 2bcsinBAC 3 55 4 . 19(2019 湖北黄冈 2 月联考)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量 这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： - 3 - (1)求这 100 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组的数据用 该组区间的中点值作为代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(，2)，其 中 近似为样本平均数 x ，2 近似为样本方差 s2. 若某用户从该企业购买了 10 件这种产品，记 X 表示这 10 件产品中质量指 标值位于(187.4,225.2)的产品件数，求 E(X)； 一天内抽取的产品中，若出现了质量指标值在(3，3)之外的产品， 就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检 查右面的茎叶图是检验员在一天内抽取的 15 个产品的质量指标值，根据近似值 判断是否需要对当天的生产过程进行检查 附： 15912.6，P(2 解得不等式的解集为 x 4 3x0 . (2)由二次函数 yx22x3(x1)22，该函数在 x1 处取得最小值 2， 因为 f(x) 3x1m，x1 在 x1 处取得最大值 m2，所以要使 二次函数与 yf(x)的图象恒有公共点，只需 m22，即 m4.
