离散数学电子教案-第07章特殊关系-推荐课件.ppt

1、离离 散散 数数 学学2022年11月18日星期五第三篇第三篇 二元关系二元关系第第7章章 特殊关系特殊关系7.0 内容提要内容提要集合的概念集合的概念1集合的表示方法集合的表示方法2偏序关系偏序关系3良序关系良序关系5等价关系等价关系1拟序关系拟序关系2全序关系全序关系47.1 本章学习要求本章学习要求重点掌握重点掌握一般掌握一般掌握了解了解11.等价和偏序等价和偏序 关系的定义和关系的定义和证明证明2 等价类和商等价类和商集的计算集的计算3 特殊元特殊元3拟序、全序和拟序、全序和良序关系的相良序关系的相关性质。关性质。2拟序、全序和拟序、全序和良序关系的定良序关系的定义以及它们之义以及它们

2、之间的联系间的联系判定下列关系具有哪些性质判定下列关系具有哪些性质1、在全体中国人所组成的集合上定义的、在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓同姓”关系关系;2、对任何非空集合、对任何非空集合A,A上的全关系上的全关系;3、三角形的、三角形的4、直线的、直线的“平行关系平行关系”;5；解：解：1,2,3具有具有；4 具有反自反具有反自反,对称和传递性，对称和传递性，不具有自反性；不具有自反性；5 具有自反和对称性，具有自反和对称性，不具有传递性。不具有传递性。7.2 等价关系等价关系定义定义7.2.1设设R是定义在非空集合是定义在非空集合A上的关系，如上的关系，如果果R是是自反的、对称的、传递

3、的自反的、对称的、传递的，则称，则称R为为A上的上的等价关系等价关系。由定义由定义7.2.1知：知：（1）关系关系R是等价关系是等价关系当且仅当当且仅当R同时具备自同时具备自反性、对称性和传递性；反性、对称性和传递性；（2）关系）关系R不是等价关系不是等价关系当且仅当当且仅当R不具备自不具备自反性或对称性或传递性。反性或对称性或传递性。例例7.2.1 判定下列关系是否是等价关系判定下列关系是否是等价关系?1.幂集上定义的幂集上定义的“”关系；关系；2.整数集上定义的整数集上定义的“”关系；关系；3.全体中国人所组成的集合上定义的全体中国人所组成的集合上定义的“同性别同性别”关关系。系。不具有对

4、称性不具有对称性不具有对称性不具有对称性,自反性自反性是等价关系是等价关系练习练习:P217 4 令令A=1,2,3,判断判断A上的关系上的关系(如图如图7.5.1所示所示)是否是等价关系是否是等价关系.32图图7.5.11123例例7.2.2在时钟集合在时钟集合A1,24上定义上定义整除关系整除关系：R|(x,y A)(x-y)被被12整除整除)。（1）写出）写出R中的所有元素；中的所有元素；（2）画出）画出R的关系图；的关系图；（3）证明）证明R是一个等价关系。是一个等价关系。例例7.2.2 解解(2)关系图为：关系图为：(1)R=,113图图7.2.12143151224(3)对对 xA

5、，有，有(x-x)被被12所整除，所以所整除，所以R,即即 R是自反的是自反的。对对 x,yA,若若R,有有(x-y)被被12整除整除,则则(y-x)-(x-y)被被12整除整除,所以所以 R,即即R是对称的是对称的。对对 x,y,zA,若若R且且R,有有(x-y)被被12所整除且所整除且(y-z)被被12所所整除整除,所以所以(x-z)(x-y)(y-z)被被12所所整除整除,所以所以,R,即即R是传递的是传递的.由由知知,R是是等价关系。等价关系。例例7.2.2 解解(续续)从例从例7.2.2可以看出可以看出关系关系R将集合将集合A分成了如下的分成了如下的12个子集：个子集：1,13,2,

6、14,3,15,4,16,5,17,6,18,7,19,8,20,9,21,10,22,11,23,12,24。这这12个个A的子集具有的子集具有如下特点如下特点：1、在、在同一个子集中同一个子集中的元素之间都有关系的元素之间都有关系R；2、不同子集的元素不同子集的元素之间无关系之间无关系R。以以n为模的同余关系为模的同余关系 l记记xRy为为 xy(mod n),则则l R 是是Z上的等价关系上的等价关系。l如用如用resn(x)表示表示x除以除以n的余数，则的余数，则lxy(mod n)resn(x)resn(y)。此时，此时，R将将Z分成了如下分成了如下n个子集：个子集：,-3n,-2n

7、,-n,0,n,2n,3n,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,-3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,7.2.2 集合的划分集合的划分定义定义7.2.2给定非空集合给定非空集合A，设有集合，设有集合S=S1,S2,S3.Sm.如果满足如果满足Si A 且且 Si,i1,2,.,m;SiSj，ij,i,j1,2,.,m;mii 1SA 则集合则集合S称作集合称作集合A的一个的一个，而而S1,S2,.Sm叫做这个划分的叫做这个划分的或或。例例7.2.5设设A=0,1,2,4,

8、5,8,9,R是是A上的上的以以4为模的同余关系为模的同余关系。(1)写出写出R的所有元素；的所有元素；(2)求分别与元素求分别与元素1,2,4有关系有关系R的所有元素所作成的所有元素所作成的集合。的集合。解解:(1)R=,.显然，显然，R是是A的一个等价关系。的一个等价关系。集合集合1,5,9称为元素称为元素1关于等价关系关于等价关系R的的等价类等价类，记为，记为1R，即，即1R=1,5,9;例例7.2.5 解解(2)与元素与元素1有关系有关系R的所有元素所作成的集合的所有元素所作成的集合1,5,9;与元素与元素2有关系有关系R的所有元素所作成的集合的所有元素所作成的集合2;与元素与元素4有

9、关系有关系R的所有元素所作成的集合的所有元素所作成的集合0,4,8.同理同理:2R=2,4R=0,4,8.7.2.3 等价类与商集等价类与商集定义定义7.2.3 设设R是是非空集合非空集合A上的等价关系，对任意上的等价关系，对任意xA，称集合，称集合 xRy|yAR为为x关于关于R的的等价类等价类，或叫作由，或叫作由x生成的一个生成的一个R等价类，等价类，其中其中x称为称为xR的的生成元生成元(或叫或叫代表元代表元)。由定义由定义7.2.3可以看出：可以看出：（1）等价类产生的等价类产生的前提前提:A上的关系上的关系R是等价关系；是等价关系；（2）A中所有与中所有与x有关系有关系R的元素的元素

10、y构成了构成了xR；（3）A中每个元素都对应一个由它生成的等价类；中每个元素都对应一个由它生成的等价类；（4）R具有具有自反性自反性意味着对意味着对 xA，xR；（5）R具有具有对称性对称性意味着对任意意味着对任意x,yA,若有若有yxR,则一定有则一定有xyR。定理定理7.2.1设设R是非空集合是非空集合A上的等价关系上的等价关系,则有：则有：(1)对对 x A,xR；(2)对对 x,yA,a)如果如果yxR，则有，则有xR=yR，b)如果如果y xR，则有，则有xRyR。(3)A；Rx Ax例例7.2.5(续续)设设A=0,1,2,4,5,8,9,R是是A上的以上的以4为模的同余关系。为模

11、的同余关系。求（求（1）R的所有等价类；（的所有等价类；（2）画出）画出R的关系图。的关系图。解解:(1)1R=1,5,9=5R=9R；2R=2；4R=0,4,8=0R=8R。图图7.2.32048159商商 集集定义定义7.2.4 设设R是非空集合是非空集合A上的上的等价关系等价关系，由，由R确定确定的的一切等价类的集合一切等价类的集合，称为集合，称为集合A上关于上关于R的商集的商集,记记为为A/R,即即 A/RxR|(xA)例例7.2.6 设集合设集合A=0,1,2,4,5,8,9,R为为A上以上以4为模的同为模的同余关系余关系。求。求A/R。根据例根据例7.2.5，商集，商集 A/R=0

12、R,1R,2R=0,4,8,1,5,9,2。计算商集计算商集A/R的通用过程：的通用过程：(1)任选任选A中一个元素中一个元素a,计算计算aR；(2)如果如果aRA,任选一个元素任选一个元素bA-aR,计算计算bR;(3)如果如果aRbRA,任选一个元素任选一个元素cA-aR-bR,计算计算cR;以此类推以此类推,直到直到A中所有元素都包含在计算出的等价中所有元素都包含在计算出的等价类中。类中。例例7.2.7设集合设集合A=1,2,3,4,5,8，R为为A上以上以3为模的同余关系。为模的同余关系。求求A/R。解解 根据例根据例7.2.3知，知，A上以上以3为模的同余关系为模的同余关系R是等价是

13、等价关系。因为关系。因为 1R=1,4=4R,2R=5R=8R=2,5,8,3R=3，所以根据商集的定义，所以根据商集的定义，A/R=1R,2R,3R =1,4,2,5,8,3。练习练习:P217 6,86.设设A=1,2,3,4,在在P(A)上规定二元关系如下上规定二元关系如下:R=|(s,tP(A)(|s|=|t|)证明证明:R是是P(A)上的等价关系并写出商集上的等价关系并写出商集P(A)/R.8.设设A=A1,A2,A3,.,An是集合是集合A的划分的划分,若若 AiB,i1,2,.,n;问问:A1 B,A2 B,A3 B,.,An B 是是A B的划分吗的划分吗?提示提示:6.P(A

14、)/R=R,1R,1,2R,1,2,3R,AR 8.是划分是划分7.2.4 等价关系与划分等价关系与划分 设设R是非空集合是非空集合A上的上的等价关系，等价关系，则则A对对R的的商集商集A/R是是A的一个的一个划分划分，称之为由，称之为由R所导出的所导出的等价划分。等价划分。给定集合给定集合A的的一个划分一个划分=A1,A2,An,则由该划分确定的关系则由该划分确定的关系R=(A1A1)(A2A2)(AnAn)是是A上的等价关系上的等价关系,称为由划分称为由划分所导出的等价关系。所导出的等价关系。例例7.2.8解解 只有只有1个划分块的划分为个划分块的划分为S1,见图见图(a)；具有具有2个划

15、分块的划分个划分块的划分为为S2,S3和和S4,见图见图(b),(c)和和(d);具有具有3个划分块的划分个划分块的划分为为S5，见图，见图(e)。设设A=1,2,3，求，求A上所有的等价关系及其对应的商集。上所有的等价关系及其对应的商集。231231231231231 (a)(b)(c)(d)(e)例例7.2.8(续）续）假设由假设由Si导出的对应等价关系为导出的对应等价关系为Ri,i=1,2,3,4,5，则有，则有 R1=S1S1=AA，A/R1=1,2,3；R2=1,21,2 33 =,A/R2=1,2,3；R3=1,31,3 22 =,A/R3=1,3,2；例例7.2.8(续）续）R4

16、=2,32,311 =,A/R4=1,2,3；R5=112233 =,=IA,A/R5=1,2,3。例例7.2.10 (等价关系等价关系=循环关系循环关系+自反自反)设设R是集合是集合A上的一个关系上的一个关系.对对 a,b,cA,如果当如果当R并且并且R时时,都有都有R,则称则称R为为A上的上的循环关系循环关系。试证明试证明:R是是A上的一个等价关系的上的一个等价关系的充要条件充要条件是是 R既是循环关系又是自反关系。既是循环关系又是自反关系。例例7.2.10 证明证明“”若若R是等价关系是等价关系。1)显然显然R是自反的是自反的。2)对对任意任意a,b,cA,若若R,R,则则 由由R是是对

17、称的对称的,有有R并且并且R.又由又由R是传递的是传递的，所以，所以,R。即即R是循环的关系是循环的关系。由由1),2)知知R是自反的和循环的。是自反的和循环的。“”若若R是自反的和循环的。是自反的和循环的。1)显然显然R是是自反性自反性的；的；2)对任意对任意a,bA,若若R,则则 由由R是是自反的自反的,有有R，又因，又因R是循环是循环的，的，所以所以,有有R，即即R是对称是对称的。的。3)对任意对任意a,b,cA,若若,R,则由则由R对称的对称的,有有R并且并且R;由由R是循环的，是循环的，所以所以 R，即即R是传递的。是传递的。由由1),2),3)知知,R是是A上的一个等价关系上的一个

18、等价关系。例例7.2.10证明证明(续续)练习练习:P217 1010.设设A=1,2,3,4,5,找出找出A上的等价关系上的等价关系R,此关系此关系R能能够产生划分够产生划分 1,2,3,4,5,并画出并画出R的关系图的关系图.提示提示:R的关系图如下的关系图如下12345总结总结1、熟记、熟记等价关系的定义等价关系的定义;2、利用等价关系的定义、利用等价关系的定义证明证明一个关系是一个关系是等价关系等价关系;3、给定、给定A上的等价关系上的等价关系R,会求所有的会求所有的等价类和商集等价类和商集A/R;并求出对应的集合的划分并求出对应的集合的划分;4、给定集合、给定集合A上的上的划分划分,

19、会求对应的等价类。会求对应的等价类。作业作业第第217-218页页 9,11 预习预习:7.3 次序关系次序关系判定下列关系具有哪些性质判定下列关系具有哪些性质1、对任何非空集合、对任何非空集合A，A上的上的恒等关系恒等关系；2、多边形的、多边形的“相似关系相似关系”、“全等关系全等关系”；3、集合、集合A的幂集的幂集P(A)上定义上定义的的“包含关系包含关系”；4、集合、集合A的幂集的幂集P(A)上定义上定义的的“真包含关系真包含关系”。解解:1,2都都具有具有和和 3 具有具有和和；4 具有具有和和。偏序关系偏序关系拟序关系拟序关系7.3 次序关系次序关系拍摄一张室内闪光灯照片，需要完成如

20、下任务：拍摄一张室内闪光灯照片，需要完成如下任务：1、打开镜头盖；、打开镜头盖；2、照相机调焦；、照相机调焦；3、打开闪光灯；、打开闪光灯；4、按下快门按钮。、按下快门按钮。这些任务中有的必须在其他任务之前完成。这些任务中有的必须在其他任务之前完成。例如，例如，任务任务1必须在任务必须在任务2之前完成，任务之前完成，任务2，3必须在任务必须在任务4之前完成，即任务之间存在之前完成，即任务之间存在“先后先后”关系，即次关系，即次序关系。序关系。7.3.1 拟序关系拟序关系定义定义7.3.1 设设R是非空集合是非空集合A上的关系，上的关系，如果如果R是是反自反和传递的反自反和传递的，则称则称R是是

21、A上的拟序关系上的拟序关系，简称，简称拟序拟序，记为记为“”，读作，读作“小于小于”，并将并将“”记为记为“ab”。序偶序偶 称为称为。由定义由定义7.3.1知：知：(1)R是拟序关系是拟序关系R同时具有反自反性和传递性同时具有反自反性和传递性;(2)R不是拟序不是拟序关系关系R不具有反自反性不具有反自反性或者或者传递性传递性;(3)拟序拟序“”的的逆关系逆关系“-1”也是拟序也是拟序,用用“”表示表示,读作读作“大于大于”。例例7.3.1设设R是集合是集合A上的上的拟序关系拟序关系，则，则R是是反对称的反对称的。假设假设R不是反对称的关系不是反对称的关系，则必，则必存在存在x,yA,且且xy

22、,满足满足R并且并且R。因为因为R是是A上的拟序关系上的拟序关系,所以所以R具有传递性具有传递性,从而有从而有R。这与这与R是反自反的矛盾是反自反的矛盾,从而假设错误从而假设错误,即即R一定一定是反对称的。是反对称的。例例7.3.2判断下列关系是否为拟序关系判断下列关系是否为拟序关系（1）集合）集合A的的幂集幂集P(A)上定义的上定义的“”；（2）实数集）实数集R上定义的上定义的“小于小于”关系关系()；解（解（1）集合）集合A的幂集的幂集P(A)上定义的上定义的“”具有反自具有反自反性和传递性，反性和传递性，所以所以是拟序集是拟序集。（2）实数集合）实数集合R上定义的上定义的“小于小于”关系

23、关系()具有反具有反自反性和传递性自反性和传递性，所以，所以是拟序集是拟序集。7.3.2 偏序关系偏序关系 设设R是非空集合是非空集合A上的关系上的关系,如果如果R是是自反自反的的、反对称的反对称的和和传递的传递的，则称，则称R是是A上的上的偏序关系偏序关系,简称偏序简称偏序,记为记为“”,读作读作“小于等于小于等于”,并将并将“”记为记为ab。序偶序偶称为称为。由定义由定义7.3.2知知（1）R是偏序关系是偏序关系R同时同时具有自反性、反对称性具有自反性、反对称性和传递性和传递性；（2）R不是偏序关系不是偏序关系R不具备自反性不具备自反性或或反对称性反对称性或或传递性传递性；（3）偏序）偏序

24、“”的逆关系的逆关系“-1”也是一个偏序，我也是一个偏序，我们用们用“”表示，读作表示，读作“大于等于大于等于”；（4）(“”-IA)为为A上的上的拟序关系拟序关系，(“”IA)为为A上上的的偏序关系偏序关系。试判断下列关系是否为偏序关系试判断下列关系是否为偏序关系(1)集合集合A的幂集的幂集P(A)上的上的“”；(2)实数集合实数集合R上的上的关系关系“”；(3)自然数集合自然数集合N上的上的；(4)自然数集合自然数集合N上的上的“|”；解解:(1),(2),(4)所对应的关系所对应的关系同时具有同时具有自反性自反性,反反对称性对称性和和传递性传递性,所以都是偏序关系；所以都是偏序关系；而而

25、(3)所对应的关系所对应的关系不具有不具有反对称性反对称性,所以所以不不是偏序关系；是偏序关系；例例7.3.32 偏序集的哈斯图偏序集的哈斯图（1）用）用小圆圈或点表示小圆圈或点表示A中的元素中的元素，省掉关系图，省掉关系图中所有的环；中所有的环；（因自反性（因自反性)（2）对任意）对任意x,yA,若若xy,则将则将x画在画在y的下方的下方,可可省掉关系图中所有边的箭头；（省掉关系图中所有边的箭头；（因反对称性因反对称性）（3）对任意）对任意x,yA,若若x y,且且x与与y之间不存在之间不存在zA,使得使得xz,zy,则则x与与y之间用一条线相连之间用一条线相连,否否则无线相连。则无线相连。

26、（因传递性）（因传递性）例例7.3.7设设A=2,3,6,12,24,36,“”是是A上的整除关系上的整除关系R,画出画出其其和和。解解 由题意可得由题意可得 R=,.该偏序集该偏序集的关系图和哈斯图如下：的关系图和哈斯图如下：练习练习:P218 15对于下列集合上的整除关系画出其哈斯图对于下列集合上的整除关系画出其哈斯图.(1)A=1,2,3,4,6,8,12,24;(2)B=1,2,3,4,5,6,7,8,9.3 特殊元素特殊元素设设是偏序集是偏序集,B是是A的任何一个子集的任何一个子集.若若存在元素存在元素bB,使得使得(1)都有都有xb,则称则称b为为B的最大元素的最大元素,简称简称;

27、(2)都有都有bx,则称则称b为为B的最小元素的最小元素,简称简称;(3)满足满足bxx=b,则称则称b为为B的极大元素的极大元素,简称简称；(4)满足满足xbx=b,则称则称b为为B的极小元素的极小元素,简称简称。定义定义7.3.3 可以符号化为：可以符号化为：bB(x)(xB)(xb)1 是 的最大元bB(x)(xB)(bx)1 是 的最小元bB(xB)(bx)(bx)1 是 的极大元bB(xB)(xb)(bx)1 是 的极小元例例7.3.8 A=2,3,6,12,24,36,“”是是A上的整除关系上的整除关系.设设B1=6,12,B2=2,3,B3=24,36,B4=2,3,6,12是是

28、集合集合A的子集的子集.试求出试求出B1,B2,B3和和B4的最大元的最大元,最小最小元元,极大元和极小元。极大元和极小元。解解 A的子集合的子集合B1,B2,B3和和B4的最大元的最大元,最小元最小元,极大极大元和极小元见下表。元和极小元见下表。定义定义7.3.4 上上、下下(确确)界界设设是偏序集是偏序集,B是是A的任何一个子集。若存在元素的任何一个子集。若存在元素aA,使得使得（1）对）对任意任意xB,都有都有xa,则称则称a为为B的的;（2）对）对任意任意xB,都有都有ax,则称则称a为为B的的;（3）设）设aA是是B的上界的上界,若对于若对于B的任一上界的任一上界aA,均均有有aa,

29、则称则称 a 为为B的的最小上界最小上界或或,记记 a=SupB;（4）设）设aA是是B的下界的下界,若对于若对于B的任一下界的任一下界aA,均均有有aa,则称则称 a 为为B的的最大下界最大下界或或,记记 a=InfB。由定义由定义7.3.4知知（1）子集合）子集合B的上、下界和上、下确界可在集合的上、下界和上、下确界可在集合A中寻找；中寻找；（2）一个子集合一个子集合B的上、下界不一定存在的上、下界不一定存在，如果如果存在，可以不唯一的；存在，可以不唯一的；（3）一个子集合）一个子集合B的上、下确界不一定存在，如的上、下确界不一定存在，如果存在，一定唯一；果存在，一定唯一；（4）一个子集合

30、一个子集合B有上有上(下下)确界，一定有上确界，一定有上(下下)界，界，反之不然。反之不然。例例7.3.10A=x1,x2,x3,x4，A上定义偏序集上定义偏序集的哈斯图如图的哈斯图如图7.3.4所示。求所示。求B=x1,x2和和C=x3,x4的上界、下界、上的上界、下界、上确界和下确界。确界和下确界。x1 图图7.3.4x3x2x4解解 B、C的各种特殊元见下表。的各种特殊元见下表。定理定理7.3.1设设是一偏序集，是一偏序集，B是是A的子集。的子集。则：则：（1）若）若b是是B的最大元的最大元,则则b是是B的极大元、上界、的极大元、上界、上确界；上确界；（2）若）若b是是B的最小元的最小元

31、,则则b是是B的极小元、下界、的极小元、下界、下确界；下确界；（3）若）若a是是B的上确界且的上确界且aB,则则a是是B的最大元；的最大元；（4）若）若a是是B的下确界且的下确界且aB,则则a是是B的最小元。的最小元。定理定理7.3.2设设是一偏序集，是一偏序集，B是是A的子集。则：的子集。则：（1）若）若B存在最大元，则存在最大元，则B的最大元是惟一的；的最大元是惟一的；（2）若）若B存在最小元，则存在最小元，则B的最小元是惟一的；的最小元是惟一的；（3）b是是B的最大元，则的最大元，则b是是B的惟一极大元；的惟一极大元；（4）b是是B的最小元，则的最小元，则b是是B的惟一极小元；的惟一极小

32、元；（5）若）若B存在上确界，则存在上确界，则B的上确界是惟一的；的上确界是惟一的；（6）若）若B存在下确界，则存在下确界，则B的下确界是惟一的。的下确界是惟一的。例例7.3.12设集合设集合X=x1,x2,x3,x4,x5上的偏序关系如下图所示上的偏序关系如下图所示,(1)X的最大元、最小元、极大元、极小元的最大元、最小元、极大元、极小元;(2)子集子集X1=x2,x3,x4，X2=x3,x4,x5，X3=x1,x3,x5的的上界上界、下界下界、上确界上确界、下确界下确界、最大元最大元、最小元最小元、极大元极大元和和极小元极小元;(3)子集子集X4=x1,x2,x3的的8种特殊元。种特殊元。

33、x1x2x3x5x4例例7.3.12 解解x1x2x3x5x4X1=x2,x3,x4,X2=x3,x4,x5X3=x1,x3,x5,X4=x1,x2,x3X1,X2和和X3的各种特殊元见下表的各种特殊元见下表X4的特殊元呢的特殊元呢?7.3.3 全序关系全序关系设设是一个是一个偏序关系偏序关系,若对若对任意任意x,yA,总有总有xy或或yx,二者必居其一二者必居其一,则称关系则称关系“”为为全序关系全序关系,简称简称,或者线序关系或者线序关系,简称简称线序。称线序。称为为,或者线序集或者线序集,或者或者。从定义从定义7.3.5可以看出：可以看出：全序关系是偏序关系，反之则不然。全序关系是偏序关

34、系，反之则不然。例例7.3.13试判断下列关系试判断下列关系是否为全序关系是否为全序关系，如果是，如果是，请画出请画出其哈斯图。其哈斯图。（1）设集合）设集合A=a,b,c，其上的关系，其上的关系“”=,（2）实数集）实数集R上定义的小于等于关系上定义的小于等于关系“”；（3）实数集）实数集R上定义的小于关系上定义的小于关系“”；（4）集合）集合A的幂集的幂集P(A)上定义的包含关系上定义的包含关系“”。例例7.3.13 解解（1）是全序集是全序集，其哈斯图见图其哈斯图见图(a)；（2）是全序集是全序集，其哈斯图是数轴，见图，其哈斯图是数轴，见图(b),其中其中x,y,zR；（3）不是全序关系

35、；不是全序关系；（4）当）当|A|2时，时，P(A)上定义的上定义的“”“”是全序关系，是全序关系，是全序集，其哈斯图见图是全序集，其哈斯图见图(c)和和(d)；当；当|A|2，则则不是全序集。不是全序集。例例7.3.13 解（续）解（续）abcxyza(a)(b)(c)(d)7.3.4 良序关系良序关系 设设是一偏序集，是一偏序集，若若A的任何一个非的任何一个非空子集都有最小元素空子集都有最小元素，则称，则称“”为为良序关系良序关系，简，简称称，此时，此时称为称为。从定义从定义7.3.6可以看出：可以看出：（1）R是良序关系是良序关系 R是是偏序偏序关系和关系和A的任何的任何非非空子集都有最

36、小元空子集都有最小元；（2）良序关系一定是偏序关系，反之则不然；）良序关系一定是偏序关系，反之则不然；（3）良序关系一定是全序关系，反之则不然。）良序关系一定是全序关系，反之则不然。例例7.3.14 试判断下列是否为良序关系。试判断下列是否为良序关系。(1)A=a,b,c，关系，关系 “”=,(2)实数集实数集R上定义的小于等于关系上定义的小于等于关系“”；解解（1）是良序集；是良序集；（2）不是良序集。不是良序集。注：注：1、良序关系良序关系 全序关系全序关系 偏序关系偏序关系;2、有限全序集一定是良序集。有限全序集一定是良序集。作业作业第第218-219页页 17,22,23(a)(b)预

37、习预习:第第8章章 函数函数7.4 本章总结本章总结（1）等价关系等价关系的概念及的概念及证明证明、等价类和商集的计算等价类和商集的计算;（2）集合划分的定义、求给定集合的划分；）集合划分的定义、求给定集合的划分；（3）等价关系与集合划分的关系；）等价关系与集合划分的关系；（4）偏序关系、拟序关系、全序关系和良序关系的）偏序关系、拟序关系、全序关系和良序关系的定义定义,它们之间的异同；它们之间的异同；（5）哈斯图哈斯图的画法；的画法；（6）八种）八种特殊元特殊元的定义和基本性质。的定义和基本性质。习题类型习题类型（1）基本概念题：基本概念题：涉及寻找偏序关系的涉及寻找偏序关系的8种特殊元种特殊元;（2）判断题：）判断题：涉及对证明过程正误的判断，集合的涉及对证明过程正误的判断，集合的划分，关系特殊性的保持以及特殊关系的判定；划分，关系特殊性的保持以及特殊关系的判定；（3）计算题：计算题：涉及等价类和商集的计算和给定集合涉及等价类和商集的计算和给定集合的划分，计算对应的等价关系；的划分，计算对应的等价关系；（4）证明题：证明题：涉及特殊关系的证明；涉及特殊关系的证明；（5）画图题：画图题：涉及等价关系的关系图、偏序关系的涉及等价关系的关系图、偏序关系的哈斯图。哈斯图。