电动力学五一(电磁场的矢势与标势)课件.ppt

1、1第五章第五章电磁波的辐射电磁波的辐射2 电磁波是由电磁波是由运动电荷运动电荷辐辐射出来的。本章研究高频交变射出来的。本章研究高频交变电流辐射电磁波的规律。例如：电流辐射电磁波的规律。例如：无线电波是由发射天线上的高无线电波是由发射天线上的高频交变电流辐射出来的。频交变电流辐射出来的。3 严格来说，天线上的电流和它严格来说，天线上的电流和它激发的电磁场是相互作用的。天线激发的电磁场是相互作用的。天线电流激发电磁场，而电磁场又反过；电流激发电磁场，而电磁场又反过；来作用到天线电流上，影响着天线来作用到天线电流上，影响着天线电流的分布。所以辐射问题本质上电流的分布。所以辐射问题本质上也是一个边值问

2、题。也是一个边值问题。4 天线电流和空间电磁场是相互天线电流和空间电磁场是相互作用的两方面，需要应用天线表面作用的两方面，需要应用天线表面上的边界条件，同时确定空间中的上的边界条件，同时确定空间中的电磁波的形式和天线上的电流分布。电磁波的形式和天线上的电流分布。这种问题的求解一般比较复杂。仅局限于讨论：这种问题的求解一般比较复杂。仅局限于讨论：给定天线上电流分布给定天线上电流分布,计算辐射电磁波计算辐射电磁波5主要内容主要内容把势的概念并推广到一般变化把势的概念并推广到一般变化电磁场电磁场通过势求解电磁辐射通过势求解电磁辐射高频交变电流辐射电磁波的规高频交变电流辐射电磁波的规律律65.1 5.

3、1 电磁场的矢势电磁场的矢势和标势和标势7考虑真空中的电磁场，麦克斯韦方程组考虑真空中的电磁场，麦克斯韦方程组t JtD D0 BH,D00 其中其中1.1.势的引入势的引入8 由由B B的无源性引入矢势的无源性引入矢势A A 一般情况下，仍然保持无源性，所以上一般情况下，仍然保持无源性，所以上式是普遍成立的。式是普遍成立的。A A的物理意义：在任意时刻，的物理意义：在任意时刻，A A沿任一闭沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路内的磁合回路的线积分等于该时刻通过回路内的磁通量。通量。恒定场：恒定场：0 B9 一般的情况下，电场一般的情况下，电场E E既受到电既受到电荷的激发，也受到变化磁场

4、的激发，荷的激发，也受到变化磁场的激发，而变化磁场激发的是有旋的电场。而变化磁场激发的是有旋的电场。因此，一般情况电场是有源和因此，一般情况电场是有源和有旋的，不可能用一个单独的标势有旋的，不可能用一个单独的标势来描述。在变化情况下电场与磁场来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，则电场的表示式必发生直接联系，则电场的表示式必然包含矢势然包含矢势A A在内。在内。100)(t上式表明矢量上式表明矢量E+E+A/A/t t是无旋是无旋场，因此可以用场，因此可以用标势标势 描述，描述，一般情况下一般情况下电场的表示电场的表示式为式为 tt t 11此两式把电磁场用矢势和标势表示出来。注此两式把

5、电磁场用矢势和标势表示出来。注意现在的电场意现在的电场E E不再是保守力场，一般不存在不再是保守力场，一般不存在势能的概念，标势势能的概念，标势 失去作为电场中的势能失去作为电场中的势能的意义。因此，在高频系统中，电压的概念的意义。因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。在变化场中，磁场和电也失去确切的意义。在变化场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把矢势和标势场是相互作用着的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。作为一个整体来描述电磁场。t 122.2.规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 用矢势用矢势A和标势和标势 描述电磁场不是描述电磁场不是唯一的，即给定的唯一

6、的，即给定的E和和B并不对应于并不对应于唯一的唯一的A和和。对矢势对矢势A可以加上一个可以加上一个任意函数的梯度，结果不任意函数的梯度，结果不影响影响B，而这加在而这加在A上的梯上的梯度部分又可以从度部分又可以从中除去，中除去，结果也不影响结果也不影响B。设设 为任为任意时空函数，做变换意时空函数，做变换tAAA 13有有 tt 描述同一描述同一电磁场电磁场)(,)(,一种规范一种规范 t 势的规范变换势的规范变换14 在经典电动力学中，由于表示电磁场客观属性在经典电动力学中，由于表示电磁场客观属性的可测量的物理量为的可测量的物理量为E和和B，而不同规范又对应而不同规范又对应着同一的着同一的E

7、和和B，因此如果用势来描述电磁场，因此如果用势来描述电磁场，客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。规范不变性规范不变性:当势作规范变换时，所有物理量当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都应该保持不变的一种不变性。和物理规律都应该保持不变的一种不变性。15 Cld 在量子力学中，在量子力学中，E和和B不能完全描述电磁不能完全描述电磁场的所有物理效应。例如在场的所有物理效应。例如在A-B效应中，在效应中，在非单连通区域内绕闭合路径一周的电子波非单连通区域内绕闭合路径一周的电子波函数相位差，就由回路积分描述，它不能函数相位差，就由回路积分描述，它不能用用B的局

8、域作用来描述。的局域作用来描述。16但是，此回路积分仍然是规范不变的。但是，此回路积分仍然是规范不变的。因为对因为对A A做规范变换后做规范变换后 l ddl dl dl d )(表明在量子力学中，所有可测量的物表明在量子力学中，所有可测量的物理量仍然保持规范不变性。理量仍然保持规范不变性。17 在经典电动力学中，势在经典电动力学中，势A和和 的引的引入是作为描述电磁场的一种方法，入是作为描述电磁场的一种方法，规范不变性是对这种描述方法所加规范不变性是对这种描述方法所加的要求。的要求。在近代物理中，规范变换是由在近代物理中，规范变换是由量子力学的基本原理引入的，规范量子力学的基本原理引入的，规

9、范不变性是一条重要的物理原理。不变性是一条重要的物理原理。18 在量子力学中在量子力学中A和和 的地位也比在经典电动的地位也比在经典电动力学中重要得多。因此力学中重要得多。因此要熟悉用势描述电磁场要熟悉用势描述电磁场的方法。的方法。19 现在已经清楚，不仅在电磁相互作现在已经清楚，不仅在电磁相互作用中，而且在其他基本相互作用，包括用中，而且在其他基本相互作用，包括弱相互作用和强相互作用中，规范不变弱相互作用和强相互作用中，规范不变性是决定相互作用形式的一条基本原理。性是决定相互作用形式的一条基本原理。传递这些相互作用的场称为规范场传递这些相互作用的场称为规范场电磁场是最熟知的一种规范场电磁场是

10、最熟知的一种规范场20 从数学上来说，从数学上来说，规范变换自由度的存规范变换自由度的存在是由于在势的定义在是由于在势的定义式中，只给出式中，只给出A A的旋的旋度，而没有给出度，而没有给出A A的的散度。散度。因此，还不足以确定这因此，还不足以确定这矢量场。为了确定它还必须矢量场。为了确定它还必须给定它的散度。给定它的散度。t 21 电磁场电磁场E和和B本身对本身对A的散的散度没有任何限制。因此，作度没有任何限制。因此，作为确定势的辅助条件，我们为确定势的辅助条件，我们可以取可以取A为任意的值。为任意的值。22 每一种选择对应一种规范。采用适当每一种选择对应一种规范。采用适当的辅助条件可以使

11、基本方程和计算简化，的辅助条件可以使基本方程和计算简化，而且物理意义也较明显。从计算方便考虑，而且物理意义也较明显。从计算方便考虑，在不同问题中可以采用不同的辅助条件。在不同问题中可以采用不同的辅助条件。应用最广泛的是以下两种规范条件。应用最广泛的是以下两种规范条件。(1)(1)库仑规范库仑规范(2)(2)洛伦兹规范洛伦兹规范23(1)(1)库仑规范库仑规范0 辅助条件辅助条件A为无源场为无源场t 无源场无源场(横场横场)-)-感应电场感应电场无旋场无旋场(纵场纵场)-)-库仑场库仑场24012 tc 这种规范在基本理论以及解决实际辐射问这种规范在基本理论以及解决实际辐射问题中是特别方便的题中

12、是特别方便的(2)(2)洛伦兹规范洛伦兹规范辅助条件辅助条件采用这种规范时采用这种规范时,势的基本方程化为特势的基本方程化为特别简单的对称形式别简单的对称形式,对其物理意义也特对其物理意义也特别明显。别明显。253.3.达朗贝尔达朗贝尔(dAlembertdAlembert)方程方程由麦克斯韦方程组推导由麦克斯韦方程组推导A和和 所满足的基本方程所满足的基本方程2200000)(ttJ 02 t t DJtD 26应用应用200/1 c Jtctc022222)1(1 02t 这是适用一般规范的方程组。这是适用一般规范的方程组。27(1)(1)采用库仑规范采用库仑规范Jtctc02222211

13、 02 )0(这种规范的特点是标势所满足的方程与静电这种规范的特点是标势所满足的方程与静电场情形相同，其解是库仑势。解出场情形相同，其解是库仑势。解出 后代入第后代入第一式可解出一式可解出A A，因而可以确定辐射电磁场。因而可以确定辐射电磁场。Jtctc022222)1(1 02t 28Jtc022221 022221 tc)01(2 tc(2)(2)采用洛伦兹规范采用洛伦兹规范达朗贝尔方程达朗贝尔方程非齐次的波动方程非齐次的波动方程电荷产生电荷产生标势波动标势波动电流产生电流产生矢势波动矢势波动Jtctc022222)1(1 02t 29 离开电荷电流分布区域以后，矢离开电荷电流分布区域以后

14、，矢势和标势都以波动形式在空间中传势和标势都以波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁场播，由它们导出的电磁场E和和B也以也以波动形式在空间中传播。当然波动形式在空间中传播。当然E和和B的波动性质是和规范无关的。的波动性质是和规范无关的。30 在洛伦兹规范下，方程连同辅助在洛伦兹规范下，方程连同辅助条件（洛伦兹条件式）是用势表述条件（洛伦兹条件式）是用势表述的电动力学基本方程组。求得势的的电动力学基本方程组。求得势的基本解后，电磁场基本解后，电磁场E和和B由势定义由势定义给出。给出。31例例 求平面电磁波的势求平面电磁波的势 从下例可以看出这两种规范各自的优点。从下例可以看出这两种规范各自的优点

15、。平面电磁波在没有电荷电流分布平面电磁波在没有电荷电流分布的空间中传播，因而势的方程变的空间中传播，因而势的方程变为波动方程，其平面波解为为波动方程，其平面波解为解解32,0 t)xki(e )(0txkie 对对A和和 加上洛伦兹条件得加上洛伦兹条件得020kc 33因此，只要给因此，只要给定矢量定矢量A0，就就可以确定平面可以确定平面电磁波。场强电磁波。场强E和和B为为k inckckkick)k(kicik it 2222)(和第四章和第四章1 1结结果一致。果一致。34注意：平面电磁场只依赖于矢势注意：平面电磁场只依赖于矢势A的横向分量，对的横向分量，对A加上任意纵向部分加上任意纵向部

16、分 k（同时对（同时对 加上加上 0，为任为任意常数）都不影响意常数）都不影响 电磁场值。这说明在平面波情电磁场值。这说明在平面波情形，即使加上洛伦兹条件后，形，即使加上洛伦兹条件后，A和和 仍然不是唯一仍然不是唯一确定的，还剩下一些规范变换自由度。最简单的选确定的，还剩下一些规范变换自由度。最简单的选择是取择是取A只有横向部分，只有横向部分，kA=0则则=0。用这规范时。用这规范时有有i,k i )0(k35如果我们采用库仑如果我们采用库仑规范，势的方程在规范，势的方程在自由空间中变为自由空间中变为012222 ttc02 )0(平面波解为平面波解为)(0txkie 当全空间没当全空间没有电

17、荷分布有电荷分布时，库仑场时，库仑场的标势的标势=0=0 36ik i )0(库仑条件保证库仑条件保证A只有横向分量只有横向分量37 (1)(1)库仑规范的优点库仑规范的优点:它它的标势的标势 描述库仑作用，可直描述库仑作用，可直接由电荷分布接由电荷分布 求出求出;它的矢势它的矢势只有横向分量，刚好足够描述只有横向分量，刚好足够描述电磁波的两种独立偏振。电磁波的两种独立偏振。38 (2)洛伦兹规范的最大优点是它使矢势洛伦兹规范的最大优点是它使矢势和标势的方程具有对称性，在相对论中和标势的方程具有对称性，在相对论中显示出协变性，因而对于理论探讨和实显示出协变性，因而对于理论探讨和实际计算都提供很大的方便，本书后面都际计算都提供很大的方便，本书后面都采用洛伦兹规范，尽管在采用洛伦兹规采用洛伦兹规范，尽管在采用洛伦兹规范时，范时，A的纵向部分和标势的纵向部分和标势 的选择还可的选择还可以有任意性。以有任意性。