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1、 第十章复习课一、一、曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲面积分曲面积分(,)dDf x y 定积分定积分:.),(lim10iiniif 二重积分二重积分:三重积分三重积分:()dbaf xx iinixf )(lim10 (,)d d df x y zx y z iiiniivf ),(lim10 设设 是是平平面面或或空空间间的的一一个个可可度度量量的的几几何何体体，f为为定定义义在在

2、 上上的的函函数数,T对对 作作分分割割1maxd()ii n 称称,in 它它把把 分分成成 个个可可度度量量的的小小几几何何体体T为为分分割割 的的细细度度,iiP 且且在在上上任任取取一一点点01lim(),niiif PJ 极极限限若若有有iJTP且且 的的值值与与分分割割 及及介介点点 的的取取法法无无关关,.fJf则则称称 在在 上上可可积积极极限限 为为 在在上上的的积积分分.01lim()()dniiif PF P 记记作作：x当当 是是 轴轴上上的的时时,上上式式就就直直线线段段是是定定积积分分;01lim()niiifx ()d;baf xx 当当 是是时时,上上式式就就是

3、是二二平平面面区区域域重重积积分分；01lim(,)niiiif (,)d;Df x y 当当 是是时时,上上式式就就是是三三空空间间区区域域重重积积分分；01lim(,)niiiiifV (,)df x y z v 平平面面曲曲线线或或当当 为为空空间间曲曲线线时时，第第一一型型（对对弧弧长长的的）上上式式为为曲曲线线积积分分；01lim()()dniiif PF P 空空间间当当 为为曲曲面面时时，第第一一型型（对对面面积积的的）上上式式为为曲曲面面积积分分；（一）（一）曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质（二）曲线积分的计算方法（二）曲线积分的计算方法（三）格林公式及其应用（三）格林

4、公式及其应用 一、一、曲线积分的计算法曲线积分的计算法（四）线积分的应用（四）线积分的应用（一）（一）曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质（1）定义）定义设设xoy面上的连续曲线面上的连续曲线L是是分段光滑分段光滑的，的，且有且有有限长度，有限长度，函数函数z=f(x,y)在在L上上有界，有界，在曲线在曲线L上依次上依次插入分点插入分点nMMM,100(M及及nM为为L的两个端点的两个端点),把把L分成分成n个小弧段个小弧段，iiMM1 记小弧段记小弧段iiMM1 的长度的长度为为,is,max1nss 并在并在iiMM1 上任取一点上任取一点).,(iiiN 如果如果极限极限iiinis

5、f ),(lim10 存在，存在，oxyABL),(ii 1 nMiM1 iM1M2Mis iiinisf ),(lim10 存在，存在，如果如果极限极限则称则称此极限此极限为为函数函数f(x,y)在平面曲线在平面曲线L上对弧长的上对弧长的曲线积分，曲线积分，记作记作.d),(Lsyxf即即 Lsyxfd),(iiinisf ),(lim10 积分变积分变量量积分弧积分弧段段被积表达被积表达式式弧长元弧长元素素积分和积分和式式曲线形构件的质量曲线形构件的质量(,)d.LMx ys 也称第一类曲线积分也称第一类曲线积分.注意：注意：(1)曲线积分曲线积分也是一个也是一个确定的常数，确定的常数，它

6、只与被积函它只与被积函数数f(x,y)及积分弧段及积分弧段L有关有关.d),(Lsyxf(2)f(x,y)在在闭曲线闭曲线L上对弧长的曲线积分记为上对弧长的曲线积分记为.d),(d),(d),(2121 LLLLsyxfsyxfsyxf(3)若若L分段光滑的分段光滑的)(21LLL 则有则有(4)存在条件：存在条件：当当f(x,y)在在光滑曲线弧光滑曲线弧L上上连续连续时，时，Lsyxfd),(对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分存在存在.(5)物理意义：物理意义：(,)dLMx y s 是是线密度在线密度在L上的线积分上的线积分.d),(LsyxfA柱柱面面面面积积(6)几何意义：几何意义：即：

7、高在底即：高在底L上的线积分上的线积分.(7)推广推广:函数函数f(x,y,z)在空间曲线弧在空间曲线弧 上对弧长的曲线积分为上对弧长的曲线积分为 szyxfd),(01lim(,).niiiiifs .d Lls特别地：特别地：,d abxba ,d D .d Vv 联想：联想：),(yxfz zxoyALABab Lsyxfd),(iiinisf ),(lim10 （2）性质）性质 (1)(,)(,)d(,)d(,)d.LLLf x yg x ysf x y sg x y s (2)(,)d(,)d().LLkf x y skf x y sk 是是常常数数12 (3)(,)d(,)d(,)

8、d.LLLf x y sf x y sf x y s 12().LLL (4)无向性：无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.即即(,)d(,)dABBAf x y sf x y s 思考思考:定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否否!对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.回忆定积分：回忆定积分：()d()dbaabf x xf x x 故第一类曲线积分与定积分是有区别的故第一类曲线积分与定积分是有区别的.（1）定义定义设设L为为xoy面上从点面上从点A到点到点B的

9、一条的一条分段光滑分段光滑的的有有向曲线，向曲线，函数函数),(),(yxQyxP、在在L上上有界有界.沿沿L的方向的方向依次依次取分点取分点,10BMMMAn 把把L分成分成n个个有向小弧段有向小弧段iiMM1，),2,1(ni 设设iiMM1,jyixii 并记并记 为所有为所有小弧段长度的最大值小弧段长度的最大值.在在iiMM1 上任意取一点上任意取一点),(ii 如果极限如果极限iiniixP ),(lim10 存在，存在，那么这个那么这个极限极限称为称为函数函数),(yxP在有向弧段在有向弧段L上上对坐标对坐标x的曲线积分，的曲线积分，记作记作.d),(xyxPL 类似地，类似地，如

10、果极限如果极限iiniiyQ ),(lim10 存在，存在，那么那么这个这个极限极限称为函数称为函数),(yxQ在有向弧段在有向弧段L上对上对坐标坐标 y记作记作.d),(yyxQL 的曲线积分，的曲线积分，即即 xyxPLd),(，iiniixP ),(lim10 yyxQLd),(iiniiyQ ),(lim10 其中其中),(),(yxQyxP、称为称为被积函数，被积函数，yyxQxyxPd),(d),(、称为称为被积表达式，被积表达式，(1)L称为称为积分路径积分路径.说明：说明：(2)与与第一类曲线积分第一类曲线积分记号的区别记号的区别.iiyx ,可正可负可正可负.这里的这里的(3

11、)组合形式组合形式(,)d(,)dLLP x y xQ x y y Wddd.rxiyj 由实例和定义知由实例和定义知:变力变力 沿沿A B所作的功为：所作的功为：F(,)d(,)dABP x yxQ x yy dABFr LyyxQxyxPd),(d),(4)特殊路径情况特殊路径情况,bax由由,ba L若若则则 LLyyxQxyxPd),(d),(,)(,)FP x y iQ x y j 为为向向量量值值函函数数，记作记作01lim(,)niiiiPx 01lim(,)niiiiQy (,0)d0baP xx (,0)d.baP xx.),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW c

12、osWFAB .F AB ix iy),(yxFoxyLBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ),(),(yxQyxP当当在光滑曲线弧在光滑曲线弧L上上连续连续时，时，第二类曲线积分第二类曲线积分 存在存在.LyyxQxyxPd),(d),(.),(limd),(10 iiiniixPxzyxP (,)d(,)d(,)dP x y zx Q x y zyR x y zz .),(limd),(10 iiiniiyQyzyxQ .),(limd),(10 iiiniizRzzyxR 空间有向曲线弧空间有向曲线弧对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的性质 1()性性质质 线线性性性性质质

13、,设设、是是常常数数 则则12(,)(,)dLF x yF x yr 12 (,)d(,)d.LLF x yrF x yr 性性质质2 2(可可加加性性)L如如果果有有向向曲曲线线弧弧 可可分分成成两两段段光光滑滑的的有有12,LL向向曲曲线线弧弧 和和则则12 (,)d(,)d(,)d.LLLF x yrF x yrF x yr 性性质质3 3(有有向向性性)LLL 设设 是是有有向向光光滑滑曲曲线线弧弧,是是 的的反反曲曲线线弧弧，则则 (,)d(,)d.LLF x yrF x yr 即即对坐标的曲线积分与曲线的对坐标的曲线积分与曲线的方向方向有关有关.abbaxxfxxf d)(d)(回

14、忆定积分：回忆定积分：(,),(,)d(d,d),(,)d(,)ddLLLFP x y Q x yrxyP x yxQ x yyFr 有有线线曲曲线线元元故定积分是第二类曲线积分的特例故定积分是第二类曲线积分的特例.(,)d(,)dLP x y x Q x y y 01lim(,)niiiiPx 01lim(,)niiiiQy 性性质质4 4 dABxLx 在在 轴轴上上的的投投影影(可可正正可可负负)dAByLy 在在 轴轴上上的的投投影影(可可正正可可负负)(,)dLP x y x 01lim(,)niiiiPx (,)dLQx y y 01lim(,)niiiiQy 性性质质5 5(垂垂

15、直直性性)(,)0Lxx yx L L若若轴轴P Pd d(,)0LyQ x yy L L若若轴轴d dix iy),(yxFoxyLBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF BAxx=BAyy=例例1.,1f x y 设曲线设曲线L：过第二象限内的点过第二象限内的点M和第四象限内的点和第四象限内的点N，为为L上上 d,fx yy （B）d,f x y s （C）,d,dxyfx yxfx yy （D）,fx y（具有一阶连续偏导数）具有一阶连续偏导数）,df x yx （A）则下列小于零的是（则下列小于零的是（）从点从点M到点到点N的一段弧，的一段弧，oxy MNB（二）曲线积分的计算方

16、法（二）曲线积分的计算方法基本思路基本思路:计算定积分转 化求曲线积分1.计算第一类曲线积分的基本方法计算第一类曲线积分的基本方法)(01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 1.:(),()L xtytt 22(,)d(),()()()d Lf x ysfttttt 2.:()L yxaxb 2 (,)d,()1()dbLaf x ysf xxxx )(ba 3.:()L xycyd 2 (,)d(),1()ddLcf x ysfyyyy )(dc u对弧长的曲线积分的计算步骤：对弧长的曲线积分的计算步骤：(1)积积分分画画出出弧弧段段的的图图形形；(2)将将积积分分弧弧段段用用

17、参参数数方方程程表表示示；(3)用用“”的的方方线线积积分分法法把把化化为为三三代代一一定定定定积积分分.:(),()()L xtytt 如如：(,)dLf x y s()xt “一一代代”；()yt “二二代代”；22d()()dsttt “三三代代”；,.“一一定定限限”:小小的的 是是下下限限 大大的的 是是上上限限化为：化为：22 (),()()()d.fttttt 222xya 0 x 0 yLOA OBAB (1):0,0OA yxa ，21dOAIx s 23011 0d3axxa ，(2):0,0OB xya ，22dOBIy s 2 01 0dayy 31.3a22(3):,

18、0AB yaxxa 23dABIa s 212.4aa 333312311121()33232IIIIaaaa 22222()d,0,0LIxysL xya xy 计计算算其其中中 为为所所围围区区域域.的的整整个个边边界界xy42 ox1-22yd,LIy s 计计算算例例2.24,(1,2)(1,2)Lyx ：从从到到的的一一段段弧弧；:2L yx 21:,22,4L xyy 22 21()d2yIyy 0注意到：关于注意到：关于x轴对称，被积函数关于轴对称，被积函数关于y是奇函数是奇函数.计算第一类曲线积分的简化方法：计算第一类曲线积分的简化方法：1.利用第一类曲线积分的几何意义利用第一

19、类曲线积分的几何意义.2.利用第一类曲线积分的对称性利用第一类曲线积分的对称性.3.利用第一类曲线积分的利用第一类曲线积分的积分弧段的方程积分弧段的方程化简被积函数化简被积函数.注：第一类曲线积分的对称性：注：第一类曲线积分的对称性：1.Ly若若 关关于于 轴轴对对称称，则则(,)dLf x ys (,)(,)fx yf x y ，0，(,)(,)fx yf x y ，1 2(,)dLf x ys，LL1Oyx2.Lx若若 关关于于 轴轴对对称称，则则LL1Oxy(,)dLf x ys (,)(,)f xyf x y ，0，(,)(,)f xyf x y ，1 2(,)dLf x ys，LL1

20、Oxy3.L若若 关关于于原原点点对对称称，则则(,)dLf x ys (,)(,)fxyf x y ，0，(,)(,)fxyf x y ，1 2(,)dLf x ys，4.Lyx 若若 关关于于直直线线轴轴对对称称，则则(,)dLf x ys (,)d.Lf y xs 22222,(+)d,0.xyzaIxyzsxyz 求求其其中中 为为圆圆周周例例3.解解:由由对对称称性性知知：222ddd.xsyszs 2221()d3Ixyzs 故故2d3as 32.3a(2d,)as 球球面面大大圆圆周周长长对于用对于用一般方程一般方程表示的空间曲线表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为曲线积分

21、常需要把的方程化为参数方程，参数方程，这个过程一这个过程一般是比较困难的，般是比较困难的，在特殊情况下可用特殊方法处理在特殊情况下可用特殊方法处理.要计算函数对弧长的要计算函数对弧长的1dd()d03y sz sxyzs 推广推广:设空间曲线弧的设空间曲线弧的参数方程参数方程为为则:(),(),()()xtytztt (,)df x y zs (),(),()fttt 222()()()dtttt d,Iy s 计计算算其其中中 为为空空间间点点(1 1,0 0,0 0)与与(0 0,1 1,1 1)的的直直线线段段.例例4.解解:1111xyz 直直线线:1,01xtyttzt 直直线线 的

22、的参参数数方方程程:1 0I 1 1 1dtt 1 03dt t 3.2 xyzO(0 0,1 1,1 1)1 例例5.计算计算22d,Lxys 其中其中L为圆周为圆周22.xya x提示提示:原式原式=dLax s 22a 说明说明:1.若用参数方程计算若用参数方程计算,:L(02)xaoyr2(1cos)ax 2sinay 则则22ddsxy d2a 2.若用参数方程：若用参数方程：:L2cosxa cossinya 22ddsxy da ()22 cossinxryr dLax s 原原式式202(1 cos)d2aaa 2222cosdaa dLax s 原原式式22a 2.计算第二类

23、曲线积分的基本方法计算第二类曲线积分的基本方法)(定理定理(),()ttLxyt :的的参参数数方方程程为为，(,)d(,)dLP x y x Q x y y (),()()(),()()dPtttQtttt 特殊情况：特殊情况：(1)曲线弧曲线弧L的方程为：的方程为：，)(xyy x自自a到到b,)(:xyyxxL则则(2)曲线弧曲线弧L的方程为：的方程为：，)(yxx y自自 c到到d,则则(3)推广推广：则则)(:yyyxxL dd ,(),()()d.bLaP x Q yP x y xQ x y x y xx dd (),()(),d.dLcP x Q yP x y y x yQ x

24、y yy ()(),()xtyt zt ，t 自自到到，ddd (),(),()()LP xQ yR zPtttt (),(),()()(),(),()()dQttttRttttt u对坐标的曲线积分的计算步骤：对坐标的曲线积分的计算步骤：(1)画画出出的的图图形形,标标明明积积分分路路径径积积分分路路径径的的方方向向；(2)将将积积分分路路径径用用参参数数方方程程表表示示；(3)用用“”的的方方法法把把线线积积分分二二代代第第二二类类化化一一定定为为定定积积分分.(:),()xtyttL 如如：从从 变变到到，()xt “一一代代”；()yt “二二代代”；,.tt “一一定定限限”:起起点

25、点下下限限 终终点点上上限限化为：化为：yyxQxyxPLd),(d),(,d,d()()()()()tttttPQt ()()()(),d()()tttttQttP (,)dLf x ys 1.第第一一类类曲曲线线积积分分：22(),()()()d fttttt 大大小小(,)df x y zs 222(),(),()()()()d fttttttt 大大小小2.第第二二类类曲曲线线积积分分：(,)d(,)dLP x yxQ x yy (),()()(),()()dPtttQtttt 终终点点起起点点(),(),()()(),(),()()dQttttRttttt (,)d(,)d(,)dP

26、 x y z x Q x y z y R x y z z (),(),()()Ptttt 终终点点起起点点(),()(),()(),Lxtytxtytzt 的的参参数数方方程程为为；的的参参数数方方程程为为,比较比较直接法或参数方程法直接法或参数方程法例例6.计算计算,dLxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2解法解法1:化为对化为对x的定积分，的定积分，则则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2:化为对化为对y的定积分，的定积分，则则11:,:2yy

27、xL54d2114yy从点从点xxxd10的一段的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx 例例7.计算计算,2dd 22 Lyxyyxx其中其中L为圆周为圆周122 yx沿逆时针方向沿逆时针方向.解一解一:,sincos yxL：Lyxyyxx 222dd222cossindcos2sin =0.解二解二:在在L上上，122 yx则则.1222222yxyx 于是于是 Lyxyyxx 222dd Lxxx 22d Lyyy 21d0.xxfBAxxd)(BAxx 0.()dABf xx ,从从变变到到-则则这里这里(),Pf x 0Q ，故故0,Py 0Qx ，由格林公

28、式由格林公式设设L围成区域围成区域D，()d0.Lf x x ozyx例例8.解解:()d()d()d,Izyxxzyxyz 求求其其中中221:,.2xyzxyz 从从 轴轴正正向向看看为为顺顺时时针针方方向向 取取的的参参数数方方程程cos,sin,2cossin(:20)xt yt zttt 02I (2 cos)(sin)tt (22cossin)costtt (cossin)(cossin)dttttt 20 2(4cos1)dtt 220(1 4cos)dtt 220(1 4cos)dtt 2.3.两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系(cos,cos(),x yLL 设设为

29、为光光滑滑有有向向与与曲曲线线弧弧 上上点点处处方方向向一一致致的的单单位位切切向向量量,则则 (,)d(,)d(,)cos(,)cosdsLLP x y x Q x y yP x yQ x y (),()Ttt xyodsdxdyx(cos,cos,cos)类类似似地地,设设为为光光滑滑 单单位位与与方方切切的的一一向向致致向向量量,则则 dddcoscoscosdsP xQ yR zPQR (,)x y z 有有向向曲曲线线弧弧上上点点处处（三）格林公式及其应用（三）格林公式及其应用 LDyQxPyxyPxQdddd)(1)格林公式是牛顿格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广，莱布尼兹公式的推广

30、，其中其中L是是D的的正向边界曲线正向边界曲线（有向性）（有向性）.D是是有界闭区域有界闭区域（封（封在在D上有上有一阶连续偏导数一阶连续偏导数（连续性）（连续性）.上的上的二重积分二重积分与与区域边界上区域边界上的的线积分线积分的联系的联系.注意：注意：(2)公式的记忆方法：公式的记忆方法：沟通沟通了了区域区域(,),(,)P x y Q x y d d Dxy x yPQ dd.LP xQ y (3)对复连通区域对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域格林公式右端应包括沿区域D的的全全部部边界的曲线积分边界的曲线积分 且边界的方向对区域且边界的方向对区域D来说来说都是正向都是正向 闭性），

31、闭性），(4)如果闭曲线如果闭曲线L-是是D的的正向正向边界曲线边界曲线L的的反方向反方向,则有：则有：()d dddDDQPx yP x Q yxy ddLP xQ y ()d dDQPx yxy (5)格林公式适用于格林公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算平面曲线上的第二类线积分的计算.(6)如果如果L不是闭曲线或函数不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域在区域D的个别的个别点上点上一阶偏导数不连续，一阶偏导数不连续，格林公式不能直接使用，格林公式不能直接使用，此时往往需添加辅助线，此时往往需添加辅助线，然后再作计算然后再作计算.(2)简化计算曲线积分简化计算曲线积分(1)利

32、用曲线积分计算平面图形的面积利用曲线积分计算平面图形的面积闭区域闭区域D的面积的面积.dd21 LxyyxA)d(d ddDDQPyxx yPQ yx (3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件(4)二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积()d dddDDQPx yP x Q yxy 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件 LyQxP dd，xQyP 等等价价命命题题(1)在在G内内与路径无关，与路径无关，(2)在在G内存在内存在u(x,y),，yQxPuddd 使使(3)在在G内，内，CyQxP ,0dd(4)闭曲线闭曲线.GC 在单连通区

33、域在单连通区域G上上P(x,y),Q(x,y)具有具有连续的连续的一阶偏导数，一阶偏导数，则以下四个命题等价则以下四个命题等价.说明：说明：1.四个等价命题四个等价命题2.多元函数的原函数：多元函数的原函数：,P Q若若满满足足定定理理的的条条件件,则则由由上上述述证证明明中中已已经经看看到到:000(,)(,)(,)ddM x yMxyu x yP xQ y 二二元元函函数数d(,)(,)d(,)du x yP x yxQ x yy 具具有有性性质质:(,)(,)d(,)d.u x yP x yxQ x yy 所所以以我我们们称称为为的的一一个个原原函函数数由此由此,可以求某个全微分的原函数

34、，可以求某个全微分的原函数，(,)d(,)ddu x yu x yP x Q y 3 3.如如何何求求使使？),(0yxC(,)M x y xyo000(,)Mxy 0ddM CMP x Q y 00(,)(,)d(,dx yx yuPyx Q yx 0 0(,)dxxP x yx 0 (,)dyyQ x y y 0(,)D xy0(,)d(,)d()M DMP x y xyQyu xxy 或或0 0(,)dyyQ x y y 0 (,)dxxP x y x 00(,)(,)ddx yxyP xQ y ，xQyP xQyP 0dd LyQxPI 00(,)(,)dd()x yxyIP xQ y

35、 更更换换路路径径 ddLIP xQ y 1 1.直直接接法法计计算算方方法法 2 2.格格林林公公式式法法3 3.与与路路径径无无关关法法的的1 1.满满足足连连续续性性的的条条件件，则则可可直直接接用用格格林林公公式式.2 2.不不满满足足连连续续性性的的条条件件，则则添添加加曲曲线线挖挖去去洞洞眼眼.ddddL llIP xQ yP xQ y 则则L为由点为由点(a,0)到到(0,0)的上半圆周的上半圆周xyo)0,(aA如图，如图，D(sin)d(cos)dxxLIeymyxeymy 计计算算,其其中中22,0.xyax y (,)sin,xP x yeymy (,)cos,xQ x

36、yeym cosxPeymy ，cosxQeyx ，()d dDQPx yxy I 208ma 2.8ma 0,:0OAyxa：ddddL OAOAIP xQ yP xQ y 则则 ddOAP xQ y ddOAP xQ y 00 d()0axxem 0,()d dDQPx yxy d dDmx y 28ma 添加辅助线：添加辅助线：1 1.补补充充曲曲线线的的原原则则：xy1 1.尽尽可可能能与与、轴轴平平行行；.DD 2 2.与与原原来来的的图图形形围围在在一一起起为为或或2.2.注意格林公式成立的条件注意格林公式成立的条件.说明：说明：有向性；有向性；连续性；连续性；封闭性封闭性.()d

37、 dddDDQPx yP x Q yxy 例例2.的的分段光滑分段光滑的连续闭曲线，的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向.22 ddLx yy xxy 计计算算，xyoLD解解:记记L所围的闭区域为所围的闭区域为D，令令2222,yxxQyxyP 220,xy 则则当当时时2222 2,()QyxPxxyy 由格林公式知，由格林公式知，(1)(0,0),D 当当时时22 ddLx yy xxy ()d dDQPx yxy 0.其中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点作位于作位于D内圆周内圆周L1Dal(2)(0,0),D 当当时时222:l xya ，1,DLl记记

38、由由 与与围围成成应用格林公式应用格林公式,得得22 ddL lx yy xxy 1()d d0,DQPx yxy 即即2222 dddd0,Llx yy xx yy xxyxy 2222 ddddLlx yy xx yy xxyxy 22222cossindaaa 2 0 2.220,xy 1 1.当当时时2222 2()QyxPxxyy ddddL llIP xQ yP xQ y 2.2.解解:xyo11Asin2xy L计算计算为由点为由点O(0,0)到点到点A(1,1)的曲线的曲线，LyyxxxyxId)(d)2(422.2sinxy 其中其中L，xyxP22 因为因为，42yxQ ，

39、xyP2 ，xxQ2 则则PQyx 即即.面面上上与与路路径径无无关关故故曲曲线线积积分分在在xoyxoyxoy在在 平面上成立平面上成立.xoy120dxx 2315 选择如图所示的路径选择如图所示的路径xyo11A1:0Ly 2:1Lx 0 1x由由 到到0 1y由由 到到1L2L140(1)dyy 12224(2)d()dLLxxyxxyyL选择新路径应注意：选择新路径应注意：（3）一般选与坐标轴平行的新路径）一般选与坐标轴平行的新路径（1）新路径的起点与终点不变）新路径的起点与终点不变（2）新路径）新路径G 224(2)d()dLIxxyxxyy 例例4.验证：验证：在整个在整个xoy

40、平面内，平面内，yyxxxydd22 是某个函是某个函数的全微分，数的全微分，并求出它的一个原函数并求出它的一个原函数.解解:这里这里，2xyP ;2xyyP ，yxQ2,2xyxQ 则在整个则在整个xoy平面内有：平面内有：.PQyx 于是于是在整个在整个xoy平面平面(它是一个单连通区域它是一个单连通区域)内，内，yyxxxydd22 是某个函数的全微分，是某个函数的全微分，由公式由公式;d),()d,(),(0 00 yyxxyyxQxyxPyxu(,)u x y .2122yx xyo),(yxx xxxd02 0 yyyx 0 2d线积分法线积分法例例4.验证：验证：在整个在整个xo

41、y平面内，平面内，yyxxxydd22 是某个函是某个函另解另解:2,uxyx 2duxy x 221(),2x yy 2,ux yy 而而221(),2ux yy 22(),x yyx y 即即2(),ux yyy ()0,y 则则得得(),yC 221.2ux yC 则所求的函数为：则所求的函数为：事实上：事实上：du 数的全微分，数的全微分，并求出它的一个原函数并求出它的一个原函数.22ddxyxx y y 2212d2d2xyxx y y 22d(+),x yC221.2ux yC 偏积分法偏积分法观察法观察法()()()()dFxf xF xf xx （四）线积分的应用（四）线积分的

42、应用 1 1.求求弧弧长长：d.LLs 弧弧 长长2 2.求求柱柱面面面面积积：(,)(,),f x yLx y当当表表示示立立于于 上上的的柱柱面面在在点点处处的的高高时时xyzoAL),(yxfz (,)d.LAf x ys 柱柱面面面面积积d.Ls 弧弧 长长.21的的面面积积所所围围区区域域表表示示DLydxxdyAL D3 3.求求平平面面图图形形 的的面面积积：4 4.求求质质量量：(1)(,),x yL 当当为为 的的线线密密度度时时(,)d;LMx ys 质质量量(2)(,),x y z 当当,为为 的的线线密密度度时时(,)d.Mx y zs 质质量量5 5.求求质质心心坐坐

43、标标：(1)平平面面线线型型的的质质心心：(,)d(,)d,;(,)d(,)dLLLLxx y syx y sxyx y sx y s (2)空空间间线线型型的的质质心心：(,)d(,)d(,)d,.(,)d(,)d(,)dLLLLLLxx y zsyx y zszx y zsxyzx y zsx y zsx y zs 6 6.转转动动惯惯量量：(1)平平面面线线型型的的转转动动惯惯量量：22(,)d,(,)d;xyLLIyx y s Ixx y s (2)空空间间线线型型的的转转动动惯惯量量：2222()(,)d,()(,)d;xyLLIyzx y zs Izxx y zs 22222()(

44、,)d,()(,)d;zoLLIxyx y zs Ixyzx y zs 22()(,)d.oLIxyx y s 7 7.求求变变力力沿沿曲曲线线所所做做的的功功：Wddd.rxiyj (,)d(,)dABP x yxQ x yy dABFr (,)(,)FP x y iQ x y j 为为向向量量值值函函数数，（1）变力）变力 沿曲线沿曲线 所作的功为：所作的功为：FAB（2）变力）变力 沿曲线沿曲线 所作的功为：所作的功为：FAB W(,)d(,)d,ABP x y zxQ x y zyR x y zz （）d d(,)(,)(,)FP x y z iQ x y z jR x y z k 为为向向量量值值函函数数，