35年全国高中数学联赛试题及答案解析全集(1988-2022).docx

1、全国高中数学联赛试题及答案解析全集（1988-2022）目录2022全国高中数学联赛试题及答案解析2021全国高中数学联赛试题及答案解析2020全国高中数学联赛试题及答案解析2019全国高中数学联赛试题及答案解析2018全国高中数学联赛试题及答案解析2017全国高中数学联赛试题及答案解析2016全国高中数学联赛试题及答案解析2015全国高中数学联赛试题及答案解析2014全国高中数学联赛试题及答案解析2013全国高中数学联赛试题及答案解析2012全国高中数学联赛试题及答案解析2011全国高中数学联赛试题及答案解析2010全国高中数学联赛试题及答案解析2009全国高中数学联赛试题及答案解析2008

2、全国高中数学联赛试题及答案解析2007全国高中数学联赛试题及答案解析2006全国高中数学联赛试题及答案解析2005全国高中数学联赛试题及答案解析2004全国高中数学联赛试题及答案解析2003全国高中数学联赛试题及答案解析2002全国高中数学联赛试题及答案解析2001全国高中数学联赛试题及答案解析2000全国高中数学联赛试题及答案解析1999全国高中数学联赛试题及答案解析1998全国高中数学联赛试题及答案解析1997全国高中数学联赛试题及答案解析1996全国高中数学联赛试题及答案解析1995全国高中数学联赛试题及答案解析1994全国高中数学联赛试题及答案解析1993全国高中数学联赛试题及答案解析

3、1992全国高中数学联赛试题及答案解析1991全国高中数学联赛试题及答案解析1990全国高中数学联赛试题及答案解析1989全国高中数学联赛试题及答案解析1988全国高中数学联赛试题及答案解析第二试2020年全国高中数学联赛试题及解答（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。1在等比数列中，则的值为2在椭圆中，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，为两个焦点若，则的值为3设，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为若，则的值为4设为复数，若为实数（i为虚数单位），则的最小值为5在中，边上的中线长为，则的值为6正三棱锥的所有棱长均为1，分别为棱的中点，则该正三棱锥的外接球被平面所截

4、的截面面积为7设，满足：关于的方程恰有三个不同的实数解，且，则的值为8现有10张卡片，每张卡片上写有中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同将这10张卡片放入标号为的五个盒子中，规定写有的卡片只能放在号或号盒子中一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数明显多于其他每个盒子中的卡片数，则“好的”方法共有种二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9（本题满分16分）在中，求的取值范围10（本题满分20分）对正整数及实数，定义，其中表示不超过实数的最大整数，若整数满足，求的值11（本题满分20分）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，满足为等腰直角三角形求

5、面积的最小值2020年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）如图，在等腰中，为内心，为的中点，为边上一点，满足，延长线上一点满足，为的外接圆上劣弧的中点证明：（答题时请将图画在答卷纸上）二、（本题满分40分）给定正数，设，是个非负实数，满足，且对任意，有（这里，）求的最小值三、（本题满分50分）设，证明：对整数，必有一个模4余1的素因子四、（本题满分50分）给定凸20边形用的17条在内部不相交的对角线将分割成18个三角形，所得图形称为的一个三角剖分图对的任意一个三角剖分图，的20条边以及添加的17条对角线均成为的边的任意10条两两无公共端点的边的集合成为的一个完美匹配当取遍

6、的所有三角剖分图时，求的完美匹配个数的最大值2020年全国高中数学联赛试题及解答（B卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1若实数x满足，则_2在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点原点的距离的最大值为_3设集合，A是X的子集，A的元素个数至少是2，且A的所有元素可排成连续的正整数，则这样的集合A的个数为_4在三角形中，则_5设9元集合，i是虚数单位，是A中所有元素的一个排列，满足，则这样的排列的个数为_6已知一个正三棱柱的各条棱长均为3，则其外接球的体积为_7在凸四边形中，点P是四边形所在平面上一点，满足设s，t分别为四边形与的面积，则_8已知首项系数为1的五次多项式满足：

7、，则的一次项系数为_二、解答题：本大题共3小题，满分56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9（本题满分16分）在椭圆中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，为两个焦点若，求的值10（本题满分20分）设正实数a，b，c满足，求的最小值11（本题满分20分）设数列的通项公式为证明：存在无穷多个正整数m，使得是完全平方数2020年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）一、（本题满分40分）如图，A，B，C，D，E是圆上顺次的五点，满足，点P，Q分别在线段上，且P在线段上，证明：二、（本题满分40分）设集合是否存在集合A的非空子集，满足（1）；（2）都至少有4个元素；（3）的所有元素的和等于的所有

8、元素的乘积？证明你的结论三、（本题满分50分）给定整数设，满足，且对任意，均有求的最小值四、（本题满分50分）设a，b为不超过12的正整数，满足：存在常数C，使得对任意正整数n成立求所有满足条件的有序数对2020年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考答案及评分标准1答案：128解：由条件知，解得，故2答案：解：记，圆经过点O，A，B注意到（直线与的斜率分别为1和），故为圆的直径从而圆上的点到原点O的距离的最大值为3答案：190解：每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定，其中，这样的的取法共有种，所以这样的集合A的个数为1904答案：解：由余弦定理得，所以5答案：8解：由于，故

9、，由乘法原理知，满足条件的排列的个数为6答案：解：如图，设面和面的中心分别为O和，记线段的中点为P，由对称性知，P为正三棱柱外接球的球心，为外接球的半径易知，所以，故外接球的体积为7答案：解：不妨假设记M，N，X，Y分别是的中点，则M，X，Y，N顺次共线并且由于，故结合条件可知故点P在线段上且设A到的距离为h，由面积公式可知8答案：282解：令，则也是一个首项系数为1的五次多项式，且，故有5个实数根1，2，5，所以，于是，所以的一次项系数等于二、解答题：本大题共3小题，满分56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9解：由对称性，设椭圆的方程为，其中由条件知 4分所以，故 8分记O为坐标原点

10、，则， 12分所以 16分10解：由题设条件得， 5分由柯西不等式得，即，故 10分又由柯西不等式得，所以， 15分当时等号成立故的最小值是6 20分11证明：记，则，于是所以a又注意到，有，即 5分由此易知，数列的每一项都是正整数由计算易得，故， 15分所以，对任意正整数n，都是完全平方数于是对于正奇数m，均为完全平方数 20分2020年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）参考答案及评分标准一、（本题满分40分）证明：记S为与的交点，T为延长线与圆的交点注意到，可设所对的圆周角均为所对的圆周角均为于是， 20分由得S，A，T，Q四点共圆，又由得P，S，T，E四点共圆所以 40分二、（本题满分40

11、分）解：答案是肯定的设， 10分则，所以， 20分故，所以是一组解 30分故取，则这样的满足条件 40分注：直接给出例子并验证给40分三、（本题满分50分）解：记由条件知 10分又， 20分于是 40分注意，故另一方面，当时，条件满足，且综上，的最小值为 50分四、（本题满分50分）解法1：由条件知，对任意正整数n，有 注意到13为素数，a，b均与13互素，由费马小定理知因此在中取，化简得，故代入，得，即 20分分两种情况讨论（）若，则，又，经检验可知此时由条件知，从而只能是经检验，当时，对任意正整数n，模13余2为常数，满足条件 30分（）若，则由知，对任意正整数n，有特别地，故所以，即，故

12、通过检验，可知经检验，当时，对任意正整数n，有，满足条件综合（）、（），所求的有序数对为 50分解法2：由条件知，对任意正整数n，有， 10分化简得，即由于13为素数，故，进而因此，当n变化时，模13的余数为常数当时，由上式知，模13的余数为常数，特别地，有，故 30分当时，由费马小定理得，故通过检验，可知综上，所求的有序数对为 50分2019年全国高中数学联赛试题及解答（A卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数满足，则的值为_答案：设连等式值为，则，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合中的最大元素与最小你别为，则的

13、值为_答案：，均能取到，故答案为分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题3. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_答案：零点分类讨论去绝对值，答案分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列满足，则_答案：，迭乘得， 乘以公比错位相减，得，故答案为分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥中，侧面是边长为1的正三角形，分别是边的中点，则异面直线与之间的距离是_答案：为公垂线方向向量，故距离为分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆的两个焦点是，过点的直线

14、与交于点若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为_答案：不妨设焦点在轴（画图方便），设，焦距为， 可得三边长为，过作高，利用勾股可得，进而可得答案分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形的内切圆半径为2，圆心为若点满足，则与的面积之比的最大值为_答案：，又两角和为60，故只需最大，即与切于对称轴右侧 利用两角和、两角差正弦计算即可，答案分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹8. 设是空间中四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_答案：总连法

15、64种，按由到最短路线的长度分类长度为1，即连其余随意，32种； 长度为2，即不连，或连，其余随意，连8种，故共种 （一定注意同时连被算了2次，根据是否连有2种情形）；长度为3，两种情形 考虑，连、均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系中，是不在轴上的一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直设直线与直线，轴的交点分别为（1）证明：是一个定点；（2）求的最小值答案：（1）设，故两点均适合方程，利用垂直，可得，故交点为定点（2），故

16、，设，则为锐角，利用两角差的正切公式，可得分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列满足，求正整数，使得答案：由反函数值域，知，故分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数，使得对任意复数，均有答案：转换命题为计算存在使得相等时的充要条件存在使得相等，记，则，故，故；若，令，其中，则，计算并代入，知综上，满足条件的为二试一、（本题满分40分）设实数满足，求证：答案：不妨设不妨设，则，故有，由于，故，故原不等式成立方法2：不妨设，则，固定，设，递增，因

17、为，故成立，故递增，令增大至；题目转化为，记，由于，令，得，时，时，故在或处有最大值，验证知分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过NMGFEDCBA二、（本题满分40分）在锐角三角形中，过点分别作三角形的外接圆的切线，且满足直线与的延长线分别交于点设与交于点，与交于点证明：答案：设三边为，则，先计算，由比例可知，故，故，故由余弦定理知，整理可得此式关于对称故可知分析：由于一旦三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然三、（本题满分50分）设求最大的整数，使得有个互不相同的非空子集，具有性质：对这

18、个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共个，显然满足题意；另外归纳证对于，任取个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当时，将7个非空子集分为三类：，任取四个必有两个同类假设时命题成立，当时，如果取出的个子集中至少有个不含，利用归纳假设知成立；如果不含的不足，则至少有个含有，而含有的子集共个，可以配成对，使得每对中除了公共元素外，其余恰为1到的互补子集，这样，如果选出个，则必有两个除外不交，故命题成立综上，的最大值为分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训

19、队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数模2014互不同余，整数模2014也互不同余证明：可将重新排列为，使得模4028互不同余答案：不妨设，下面对序列进行1007次调整从而构成序列：若与模4028不同余，则不调整；否则，交换位置，下证，进行1007次调整后，得到的序列一定满足条件任意挑选一列，只需证其与、模4028不同余即可由构造方法，与不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个；首先，对于不同的，与模4028不同余，否则会导致若均未调整，则，故成立；若均已调整，则，故成立；若只有一个被调整过，不妨设未调整、已调整，则，若，则，矛盾，故同样成立综上，构造的序列满

20、足条件2014高中联赛试题分析今年高中联赛刚刚比过，试题让许多人大吃一惊我们先来看看近几年联赛试题的知识点分类：题号2014201320122011类别知识点类别知识点类别知识点类别知识点填空题1代数计算变形代数集合几何解析几何代数集合2代数集合几何解析几何代数三角函数代数函数值域3代数函数代数三角函数代数不等式代数计算变形4代数数列几何立体几何几何解析几何代数三角函数5几何立体几何代数函数几何立体几何组合计数6几何解析几何组合概率代数不等式几何立体几何7几何平面几何代数计算变形代数三角函数几何解析几何8组合概率计数代数数列组合概率数论组合数解答题9几何解析几何代数数列代数函数分析代数函数分析

21、10代数数列几何解析几何代数数列代数数列11代数复数代数函数分析几何解析几何几何解析几何加试1代数不等式几何平面几何几何平面几何几何平面几何2几何平面几何代数数列数论整除其他数论与函数3组合组合最值组合组合最值组合组合几何代数数列综合4数论同余数论整除组合抽屉原理组合组合最值从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题从图中

22、不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题其余填空题中，第16题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备可以说，这次一下戳中了学生的罩门相信本题最终的得分率不容乐观而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题而且本题实则为中等数

23、学2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明值得一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a，两个最大元素为b和c本句话中到底是指a、b、c这3个数互不相同还是指且，无疑是容易让人误解的希望今后联赛试题中能避免出现这种情况加试第四题虽说考察的是

24、数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n为给定正整数，和均为12n的一个排列，则这2n个数不可能模2n互不同余”总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的预计今年联赛的分数线可能比去年略低2018年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、设集合，集合，则集合的所有元素之和是2、已知圆锥的顶点为，底面半径长为，高为在圆锥底面上

25、取一点，使得直线与底面所成角不大于，则满足条件的点所构成的区域的面积为3、将随机排成一行，记为，则是奇数的概率为4、在平面直角坐标系中，直线通过原点，是的一个法向量已知数列满足：对任意正整数，点均在上若，则的值为5、设满足，则的值为6、设抛物线的准线与轴交于点，过点作一直线与抛物线相切于点,过点作的平行线，与抛物线交于点，则的面积为为7、设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，则不等式组的解集为8、已知复数满足，其中是给定的实数，则的实部是（用含有的式子表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）已知数列满足：，求

26、满足的最小正整数。10、（本题满分20分）已知定义在上的函数为，设是三个互不相同的实数，满足，求的取值范围。11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，与分别是椭圆（）的左、右顶点与上、下顶点设是椭圆上且位于第一象限的两点，满足，是线段的中点，射线与椭圆交于点.证明：线段能构成一个直角三角形。2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案一、填空题1.设是定义在上的函数，对任意实数有.又当时，则的值为_.2.若实数满足，则的取值范围是_.3.在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为_.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差

27、不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥中，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为_.6.在平面直角坐标系中，点集.在中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为的概率为_.7.在中，是边的中点，是线段的中点.若，的面积为，则的最小值为_.8.设两个严格递增的正整数数列满足：，对任意正整数，有，则的所有可能值为_.二、解答题9.设为实数，不等式对所有成立.证明：.10.设是非负实数，满足，求的最小值和最大值.11.设复数满足，且（其中表示复数的实部）. （1）求的最小值； （2）求的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试一.如图，在中，为的内心，以为圆心，为半径

28、作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与,分别交于点（不同于点）.设与交于点.证明：二.设数列定义为，.求满足的正整数的个数.三.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设均是大于1的整数，是个不超过的互不相同的正整数，且互素.证明：对任意实数，均存在一个，使得，这里表示实数到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答

29、案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1设实数满足，则的取值范围是 答案：解：由可得，原不等式可变形为即，所以又，故2设复数满足，其中是虚数单位，分别表示的共轭复数，则的模为 答案：解：由运算性质，因为与为实数，故，又，所以，从而因此，的模为3正实数均不

30、等于1，若，则的值为 答案：解：令，则，条件化为，由此可得，因此4袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 答案：解：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值小于从B中取走的两张纸币的总面值，从而故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为又此时，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有种取法因此，所求的概率为5设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足=90，M为AP的中点若AB=1，AC=2，则二面角MBCA的大小为 答案：解

31、：由=90知，AC为底面圆的直径设底面中心为O，则平面ABC，易知，进而设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角MBCA的平面角因，结合与平行知，即，这样故二面角MBCA的大小为6设函数，其中是一个正整数若对任意实数，均有，则的最小值为 答案：16解：由条件知， 其中当且仅当时，取到最大值根据条件知，任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点，从而，即反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时成立综上可知，正整数的最小值为7双曲线C的方程为，左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得=90，则的内切圆半径是 答案

32、：解：由双曲线的性质知，因=90，故，因此从而直角的内切圆半径是8设是1，2，100中的4个互不相同的数，满足则这样的有序数组的个数为 答案：40解：由柯西不等式知，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列于是问题等价于计算满足的等比数列的个数设等比数列的公比，且为有理数记，其中为互素的正整数，且先考虑的情况此时，注意到互素，故为正整数 相应地，分别等于，它们均为正整数这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列综上可知，共有40个满足条件的有序数组二、解

33、答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9（本题满分16分）在中，已知求的最大值解：由数量积的定义及余弦定理知，同理得，故已知条件化为即8分由余弦定理及基本不等式，得所以12分等号成立当且仅当因此的最大值是16分10（本题满分20分）已知是R上的奇函数，且对任意，均有求的值解：设=1，2，3，），则在中取，注意到，及为奇函数可知5分即，从而10分因此20分11（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点以F为焦点，O为顶点作抛物线C设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且PQ=2.圆均与直线OP相切于点P，且

34、均与轴相切求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值解：设抛物线C的方程是，点Q的坐标为，并设的圆心分别为设直线PQ的方程为，将其与C的方程联立，消去可知因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为，解得进而可知，点P的坐标为于是由PQ=2可得 5分注意到OP与圆相切于点P，所以设圆与轴分别相切于点M，N，则分别是的平分线，故=90从而由射影定理知结合，就有 10分由共线，可得化简得 15分令，则圆的面积之和为根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况根据、可知，作代换，由于，所以于是上式等号成立当且仅当，此时，因此结合得，从而F的坐标为20分2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：201

35、5年7月4日上午9:0011:30）题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意：1本试卷共12小题，满分150分；2请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3书写不要超过装订线；4不得使用计算器一、填空题（每题8分，共64分）1. 函数的最小值是 2. 设数列的通项公式是 3. 设平面向量满足，则的取值范围是 4. 设是定义域为的具有周期的奇函数，并且，则在中至少有 个零点5. 设为实数，且关于的方程有实根，则的取值范围是 .6. 给定定点，动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切，则的轨迹方程是 7. 设为复数，其中是实数，是虚数单位，其满足的虚部和的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集所构成区域的

36、面积是 8. 设是正整数把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 二、解答题（第9题20分，第1012题22分，共86分）9. 设正实数满足求证：10. 在如图所示的多面体中，已知都与平面垂直设，求四面体与公共部分的体积（用表示）11. 设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形的面积的最大值不是整数。12. 已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1. 当时，, 因此单调减；当时， ，此时亦单调减；当时，. 令得 因此

37、在处取得最小值6-2ln22. 设方程有实根双曲线与圆有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为或.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为或.因此，a的取值范围为3. 由和，可得故4. 以上等号均可取到故的取值范围是5. 由题设可知。令x=0得。 另一方面， 类似地， 因此，在中的零点一定包含这11个零点6. 设的垂直平分线与抛物线相切于，切向为. 则的方程为设，由与垂直且中点在上，可得 由解得，代入得的轨迹方程为，7. 等价于. 又由于，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得其面积为 8. 从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有种选法，把他们配成n对男双选手有种配对方式。女选手类似。把n个男选手和n个女选手配成n对混双有n!种配对方式。因此，配对方式总数是二、 解答题（第9题20分，第1012题每题22分，共86分）9. 证明：对任意，由均值不等式有 -（5分）因此， -（15分）同理，对于任意，因此，-（20分）10. 设，则四面体是与的公共部分-（5分）易计算得：到直线的距离，-（10分）到平面的距离， -（15分）到直线的距离，-（20分）因此，-（22分）11. 不妨设是凸四边形，其面积为S记。由，可得，-（8分）两遍平方和得等号成立当且仅当，即四点共圆-（16分）