1.1-高等数学预备知识.ppt

1、1补集补集集合集合概念概念关系关系运算运算元素与集合元素与集合 集合与集合集合与集合子集子集交集交集并集并集4 3 2 1一、集合及其运算一、集合及其运算1.1.集合的有关概念集合的有关概念“4”“”集合的集合的“三性三性”即确定性、互异性、无序即确定性、互异性、无序性性“”集合的表示法即列举法和描述法集合的表示法即列举法和描述法“”集合中的元素与集合的一种关系即从属关集合中的元素与集合的一种关系即从属关系，即系，即 .或或aAaA “”即空集，注意与不同，即空集，注意与不同，.且且 四种数集四种数集N N、和，若去掉元素，、和，若去掉元素，则加上下标号，如则加上下标号，如 和和N R 自然数

2、的集自然数的集;,2,1,0N n 正整数集正整数集+N1,2,;()nN 整数集整数集;,2,1,0,1,2,Znn 有理数集有理数集;N,ZQ 互质互质与与且且qpqpqp实数集实数集R;正实数集正实数集.R 复数集复数集.,|C12 iRyxiyxz非零实数集非零实数集+R.邻域邻域:(,)即即 N ax axaxa a a ,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径|xxa (,)(,)(,)0.oN aaaa axxa去心邻域去心邻域:.),(,),(邻域邻域的右的右称为称为开区间开区间邻域邻域的左的左称为称为开区间开区间 aaaaaa 定义定义：对于

3、两个集合对于两个集合A与与B，如果，如果A的任何一个元素都的任何一个元素都是集合是集合B的元素，就说集合的元素，就说集合B是集合是集合A的的子集子集，记作记作 .若若 就说就说A是是B的的真子集真子集.,且且AB 若若 那么那么 .,且且BA 性质：性质：(1)(2)(3).，CC 2.集合与集合的关系集合与集合的关系3.集合的运算：并、交、补集合的运算：并、交、补交集：交集：,且且A Bx xAxB ,或或A Bx xAxB 并集并集:,且且A Bx xAxB 差集差集:设设A是一个集合，是一个集合，B是是A的一个子集，由的一个子集，由A中所有中所有不属于不属于B的元素组成的集合，叫做的元素

4、组成的集合，叫做A中子集中子集B的补集，记作的补集，记作|,且且.()AC Bx xAxBAB 补集补集:集合运算满足下列法则集合运算满足下列法则:(1)交换律交换律:,ABBA;ABBA(2)结合律结合律:),()(CBACBA);()(CBACBA(3)分配律分配律:),()()(CBCACBA);()()(CBCACBA(4)对偶律对偶律:（摩根律）（摩根律）,)(cccBABA.)(cccBABA(5)幂等幂等律律:,.AAA AAA(6)吸收吸收律律:,.AA A ,.若若AB ABB ABA niRxxxxinn,),(RRRR2121 4.Descartes（笛卡尔）乘积集（直积

5、）（笛卡尔）乘积集（直积）实实数数集集无无理理数数集集有有理理数数集集 的的性性质质：实实数数集集 R 二、实数集及其完备性二、实数集及其完备性2 2、有序性有序性：1 1、封闭性封闭性：任意两个实数进行加减乘除（分母不为零）运算：任意两个实数进行加减乘除（分母不为零）运算 后，其结果仍为实数。后，其结果仍为实数。3 3、稠密性稠密性:任意两个不相等的实数之间仍然有实数。任意两个不相等的实数之间仍然有实数。4 4、完备性完备性：实数集与数轴上的点存在一一对应的关系。：实数集与数轴上的点存在一一对应的关系。l 人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠的很近，人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠的

6、很近，但人与人之间始终存在隔阂。但人与人之间始终存在隔阂。l 人不是孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，人不是孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记 上以后，就一个人都不见了。上以后，就一个人都不见了。为了叙述的方便和简洁，引入两个常用的逻辑符号：为了叙述的方便和简洁，引入两个常用的逻辑符号：逻辑符号逻辑符号 ：表示表示“任意给定任意给定”或或“任取任取”或或“对所对所有的有的”。例如例如 表示任意给定的一个正数表示任意给定的一个

7、正数 或任取一个正或任取一个正数数 或对所有大于零的数。或对所有大于零的数。0 逻辑符号逻辑符号 ：表示：表示“存在存在”或或“至少存在一个至少存在一个”。例如例如 表示存在正整数表示存在正整数 n。nN .,)(RR的的一一个个上上（下下）界界为为则则称称有有，使使，若若存存在在，且且设设ALLxAxLAA 11.定定义义21.定定义义则则称称或或使使，）（或或，有有）（满满足足：或或，若若存存在在数数，且且设设)(,),()(R 000021xxAxxxAxAA若数集若数集A既有上界，又有下界，则称既有上界，又有下界，则称A有界有界，否则称，否则称A无界无界。如果一个数集存在上确界（下确界

8、），则此确界是如果一个数集存在上确界（下确界），则此确界是唯一唯一的。的。inf0,A sup1.A inf1,A sup1.A 1inf,2A sup1.A 1.1()定定理理确确界界存存在在定定理理有上（下）界的非空有上（下）界的非空实数集实数集必有上（下）确界。必有上（下）确界。)(xfy yxoD1、定义、定义:定义域定义域 值域值域图形图形:(一般为曲线一般为曲线)设设函数为特殊的映射函数为特殊的映射:其中其中因变量因变量自变量自变量三、函数三、函数 (,)(),Cx yyf xxD ()(),f Dy yf xxD:()RfDf DR,D ()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因

9、变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.xyD()f D约定约定:定义域定义域是自变量所能取的使算式有意义的是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值一切实数值.21xy 例如，例如，1,1:D211xy 例如，例如，)1,1(:D221,0,()1,0 xxf xxx 例例如如12 xy12 xy分段函数分段函数：在自变量的不同变化范围中：在自变量的不同变化范围中,对应法则对应法则用不同的式子来表示的函数。用不同的式子来表示的函数。（1）00 xxxxxy,|:绝对值函数绝对值函数-1-0.50.510.20.40.60.81True2、几个特殊的函数

10、举例、几个特殊的函数举例 (2)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyoxxx sgn(3)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x Z)(),()(fRfD)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 3 3、反函数与复合函数、反函数与复合函数反函数反函数xAB()ug x C()()yf uf g xgffg 复合函数复合函数

11、,自变量自变量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y)()(xvxuy 幂指函数：幂指函数：它可以看作是由它可以看作是由)(log)(xuxvwayaw 、复合而成。复合而成。4、函数的特性函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1）有界性）有界性:.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf0(),|()|f xXkxXf xk 函函数数在在数数集集上上有有界界，使使得得有有000(),|()|f xXkxXf xk 函函数数在在数数集集上上无无界界，有有cos2nn 1 1、证证明明数数列列

12、无无界界。()sin0,)f xxx 2 2、证证明明函函数数在在上上无无界界。（2）单调性）单调性:x()yf x)(1xf)(2xfyoI12()()f xf x 或或（或单调减少的）（或单调减少的）()yf x 1()f x2()f xxyoI（3）奇偶性）奇偶性:yx)(xf )(xfy ox-x)(xf()()fxf x（奇函数）（奇函数）)(xf yx)(xfox-x)(xfy （原点对称）（原点对称）（4）周期性）周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,)(Dxf的的定定义义域域为为设设函函数数如如果果存存在在一一个个不不为为零

13、零的的.)()(恒恒成成立立且且xflxf 为为周周则则称称)(xf.)(,DlxDxl 使使得得对对于于任任一一数数.)(,的的周周期期称称为为期期函函数数xfl2l 2l23l 23lDirichlet（狄利克雷）函数（狄利克雷）函数 QxQxxD,)(01显然，此函数为周期函数，任何有理数均为其周期，显然，此函数为周期函数，任何有理数均为其周期，但是没有最小周期。但是没有最小周期。5、基本初等函数基本初等函数(1)幂函数幂函数)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy (2)指数函数指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(3)对数函数对

14、数函数)1,0(log aaxyaxyalog xya1log)1(a)0,1(4)三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xycot 余切函数余切函数正割函数正割函数xysec xycsc 余割函数余割函数(5)反三角函数反三角函数xyarctan 反正弦函数反正弦函数反余弦函数反余弦函数反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数arccosyx arctanyx arccotyx arcsinyx 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角三角函数和反三角函数统称为函数统称为基本初等函数基本初等函数.初等函数

15、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一一个式子表示个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.（指指数数表表示示法法）三三角角表表示示法法）或或向向量量复复平平面面上上的的点点 irezrzOPyxPyxz .()sini(cos.),(.i.4321,arg.arg,(.10222 kkzArgzzzArgzzyxzr 为为内内的的幅幅角角为为主主幅幅角角，记记个个幅幅角角，称称在在范范围围任任一一非非零零复复数数有有无无穷穷多多的的幅幅角角表表示示的的模模为为其其中

16、中：四、复数四、复数1、复数的表示法、复数的表示法 在在第第四四象象限限在在第第三三象象限限在在第第二二象象限限在在第第一一象象限限zxyzxyzxyzxyzarctanarctanarctanarctanarg 2、幅角、幅角21212121ArgzArgzzzArgArgzArgzzzArg )(111212121222212121212,zzzzzzz zzzzzzzzz zzzzzzz ，（）3、复数运算性质、复数运算性质)sini(cos)(),sini(cos nnrreznzrreznnini 次次幂幂为为的的则则设设),()sini(cos),sini(cos1210221 n

17、knknkrznzrreznni 次次方方根根为为的的则则设设4、复数的乘幂、复数的乘幂5、复数的方根、复数的方根1013212(),().xf xf xx 1 1、设设求求函函数数的的定定义义域域练习题练习题22012101,(),(),().xxxexf xxxxxxfx 、设设求求2 2 -,yxx 3 3、画画出出函函数数在在区区间间上上的的图图形形。,(),-,a bR aba b 4 4、对对任任意意，试试写写出出一一个个由由区区间间到到上上的的一一一一映映射射。1013212(),().xf xf xx 1 1、设设求求函函数数的的定定义义域域解解 23121301)3(xxxf

18、 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故故22012101,(),(),().xxxexf xxxxxxfx 、设设求求解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x,0 x或或,12)(xx;20 x,0 x或或,11)(2 xx;1 x,1)(20时时当当 x,0 x或或,12)(xx;2 x,0 x或或,11)(2 xx;01 x综上所述综上所述.2,120011,2,)(2122 xxxxxexexfxx 作作 业业习习 题题 1.1 （P14）11(1)(3)(5)11(1)(3)(5)；19,20,23.19,20,23.请预习请预习2.12.1节节数列极限的概念数列极限的概念