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1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1 测量误差概述测量误差概述5.2 衡量精度的标准衡量精度的标准5.3 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5.4 等精度观测值的算术平均值及精度评定等精度观测值的算术平均值及精度评定2022年11月20日星期日25.1 测量误差概述测量误差概述5.1.1 测量误差测量误差的概念与来源的概念与来源 测量误差测量误差X 真值真值L 观测值观测值=L-X观测误差产生的三个原因观测误差产生的三个原因仪器误差仪器误差：仪器设计、制作，或经检验校正还存在残余误差观测者观测者：人的感觉器官鉴别能力的限制外界条件的影响外界条件的影响：测量时外界自然条

2、件如温度、湿度、风力等的变化。以上三方面统称为以上三方面统称为观测条件观测条件观测成果的精确度称为观测成果的精确度称为“精度精度”等精度观测等精度观测 不等精度观测不等精度观测2022年11月20日星期日32022年11月20日星期日45.1.2 测量误差的分类测量误差的分类系统误差系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差，这种误差称为系统误差。称为系统误差。系统误差系统误差具有累积性具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、。可

3、以在观测前采取有效的预防措施、观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。2022年11月20日星期日5系统误差的消除系统误差的消除：（1）采用）采用观测方法消除观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。（2）加改正数加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正、温度改正和高差改正。光电测距仪的加常数和乘常数的改正。（3）检校仪器

4、检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。2022年11月20日星期日6偶然误差：偶然误差：在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果单个误差单个误差出现的符号和数值大小均没有一定规律性出现的符号和数值大小均没有一定规律性，这，这种误差称为偶然误差。种误差称为偶然误差。虽然单个的偶然误差没有规律虽然单个的偶然误差没有规律但大量的偶然误差具有统计规律。但大量的偶然误差具有统计规律。学习误差理论知识的目的：学习误差理论知识的目的：根据一组带有偶然误差的观测值根据一组带有偶然误差的观测值 求出未知量的最可靠值求出未知量的最

5、可靠值 评定观测成果的精度评定观测成果的精度任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含粗差（错误）。包含粗差（错误）。当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统计的方法来研究。计的方法来研究。2022年11月20日星期日7F粗差：粗差：也称错误，在严格意义上，粗差也称错误，在严格意义上，粗差的范围。的范围。即，本章关注的内容是

6、偶然误差即，本章关注的内容是偶然误差2022年11月20日星期日85.1.3 测量误差的特性测量误差的特性 从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。例如某一测区在相同观测条件下观测了例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真

7、值和不一定等于真值180(表表5-1)负误差 正误差 合计 误差区间 d 个数k 频率k/n 个数k 频率k/n 个数k 频率k/n 03 36 69 912 1215 1821 2124 24 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 91 81 66 44 33 26 11 6 0 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092

8、 0.072 0.031 0.017 0 181 0.505 177 0.495 358 1.00 用用图示法图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据，的数据，以误差大小为横坐标，以频率以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间与区间d的比值为纵坐标，如图的比值为纵坐标，如图5-1所示。这种图称为所示。这种图称为频率直方图频率直方图。可以设想，当误差个数可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间，同时又无限缩小误差区间d，图，图5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图5-2所示。该所示。

9、该曲线称为曲线称为误差分布曲线误差分布曲线。其函数式为：其函数式为：22221)(efy即正态分布曲线上任一点即正态分布曲线上任一点的纵坐标的纵坐标y均为横坐标均为横坐标的函的函数。数。标准差标准差大小反映观测精大小反映观测精度的高低，定义为：度的高低，定义为：nn2lim上式可知，上式可知，的大小决定于的大小决定于一定条件下偶然误差出现的绝一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。对值的大小。22221e偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性 有限性：有限性：在在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度一定限度的的概率为概率为0 0；单峰性：单峰性：绝对

10、值绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；对称性：对称性：绝对值绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等；相等的正误差与负误差出现的概率相等；抵偿性：抵偿性：当当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值2022年11月20日星期日135.2 评定精度的标准评定精度的标准 5.2.1 中误差中误差2022年11月20日星期日14 22212nmnn 2022年11月20日星期日15用真误差计算中误差：用真误差计算中误差：必须知道真值必须知道真值两组观测值中误差：两组观测值中误差：2022年11月20日星期日1614

11、72.1710mn21323.6310mn中误差和真误差都是绝对误差，中误差和真误差都是绝对误差，在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。度。分别丈量两段不同距离，一段为分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段，一段为为200m，中误差都是，中误差都是 0.02m。此时是否能认。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同？为两段距离观测结果的精度相同？必须引入必须引入的概念，目的是为了更客观的概念，目的是为了更客观地反映实际测量精度。地反映实际测量精度。2022年11月20日星期日175.2.2 相对误差相对误差2022年11月20日星期日18中误差

12、的绝对值与观测值之中误差的绝对值与观测值之比，用分子为比，用分子为1的分数形式表示。分母越大，相对误差越的分数形式表示。分母越大，相对误差越小，精度越高。小，精度越高。1mKllm1110.0211005000mKl2220.02120010000mKl5.2.3 允许误差允许误差根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值差的绝对值不会超过一定的限值不会超过一定的限值，该限值称为极限误差，该限值称为极限误差，简称限差。也说是测量的简称限差。也说是测量的 允许误差。由误差理论及分布曲允许误差。由误差理论及分布曲线可知，在一组等精

13、度观测中，线可知，在一组等精度观测中，表示真误差落在表示真误差落在(-，+)内的概率等于内的概率等于0.683。同理可得：。同理可得：(5-11)683.022221deP(5-12)2221955.022222deP(5-13)3321997.033222deP5.2.3 允许误差允许误差2022年11月20日星期日20 上列三式结果的概率含义是，上列三式结果的概率含义是，大于两倍中误差大于两倍中误差的偶然的偶然误差个数约占总数的误差个数约占总数的5%，大于三倍中误差的偶然误差个数，大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的约占总数的0.3%。测量上通常取二倍或三倍中误差作为允测量上通常取二倍或

14、三倍中误差作为允许误差：许误差：允允=22m(5-7)或或 允允=33m(5-8)前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。去不用，并重测。2022年11月20日星期日215.3 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用例如，欲测量不在同一水平面上两例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经，并用经纬仪测量竖直角纬仪测量竖直角，以函数关系，以函数关系D=Sco

15、s来推算。来推算。5.3.1 观测值的函数观测值的函数5.3.2 误差传播定律误差传播定律2022年11月20日星期日22111222()()nnnzxyzxyzxyzxyzxyZxy 两式相减：2yyxyxxzznnnn 平方、求和、除以平方、求和、除以n得：得：由于由于x、y是是相互独立的相互独立的，2022年11月20日星期日230 xy 222zxymmm22zxymmm 推广到推广到n个独立观测值代数和差：个独立观测值代数和差：当当n个独立观测值是等精度观测时：个独立观测值是等精度观测时：2022年11月20日星期日2422zxmnmzxmnm 12nZxxx122222nzxxxm

16、mmm2022年11月20日星期日25设有函数设有函数Z=Kx，x为直接观测值，中误差为为直接观测值，中误差为mx，K为常为常数，数，Z为观测值为观测值x的函数。如果对的函数。如果对x作作n次等精度观测，真次等精度观测，真误差分别为误差分别为 x1、x2、.xn，对应的函数真误差为，对应的函数真误差为 Z1、Z2、.Zn，观测值与函数间的真误差存在如下关系，观测值与函数间的真误差存在如下关系1122nnzxzxzxKKK 将上述关系式平方、求和、除以将上述关系式平方、求和、除以n得：得：2022年11月20日星期日26222zxmK mzxmKm2xxzzKnn 2zzzmn 2xxxmn 2

17、022年11月20日星期日27设有函数设有函数1 122nnZK xK xK x22221122()()()znnmK mK mK m2022年11月20日星期日28设有非线性函数设有非线性函数Z=f(x1,x2xn)，式中，式中x1,x2 xn为独立观为独立观测值，相应的中误差为测值，相应的中误差为m1、m2.mn。由于非线性函数的真误差关系式难于表达，考虑到真由于非线性函数的真误差关系式难于表达，考虑到真误差是个小量，真误差关系式可用全微分近似表达：误差是个小量，真误差关系式可用全微分近似表达：1212ffdZdxdxxx全微分：=1212ffZxxxx真误差形式：=2022年11月20日

18、星期日29其中误差分别为其中误差分别为m1、m2、mn，则函数，则函数z的中误差按的中误差按上述推导，可得误差传播定律的一般形式：上述推导，可得误差传播定律的一般形式：2222221212znnfffmmmmxxx=一般方法如下一般方法如下 1 列出函数式（要根据题意）列出函数式（要根据题意）2 对可直接观测的未知量求偏微分，即写出真误差的关系对可直接观测的未知量求偏微分，即写出真误差的关系式式3 写出中误差的关系式写出中误差的关系式2022年11月20日星期日30设有函数关系设有函数关系h=Dtg 已知已知D=120.250.05m =124730(0.05及及30为中误差为中误差)求中误差

19、求中误差mh 列出函数式列出函数式 h=Dtg 写出微分式写出微分式 写出中误差形式写出中误差形式 2secddhtg dDD22222222224sec300.22690.05126.442062654.67 100.02hDhmmtgmDmmm 5.4 等精度观测值的平差等精度观测值的平差算术平均值算术平均值算术平均值的中误差算术平均值的中误差观测值的中误差观测值的中误差由观测值的真误差计算中误差由观测值的真误差计算中误差改正数的概念改正数的概念由观测值的改正数计算中误差由观测值的改正数计算中误差实例实例2022年11月20日星期日32在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的在

20、等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的最最或是值或是值。即即x=(l1+l2+ln)/n=l/n 1 求求 最最 或或 是是 值值2 2 观测值的改正数观测值的改正数观测值观测值与与最或是值之差最或是值之差，称为，称为“改正数改正数”，用符号，用符号v vi i(i=1,2,n)来表示。来表示。Vi=li-x (i=1,2,n)将将n 个个改正数改正数vi相加，有：相加，有：v=l-nx=0即改正数的总和为即改正数的总和为0 0，可以用作计算中的检核，若，可以用作计算中的检核，若vi值计算无值计算无误，其总和必然为误，其总和必然为0 0。3 观测值中误差观测值中误差由于独立观测中单

21、个未知量的由于独立观测中单个未知量的真值真值X X是无法确知的，是无法确知的，因此因此真误差真误差i i也是未知的，所以不能直接应用也是未知的，所以不能直接应用(5-28)(5-28)求求得得中误差中误差。但可用有限个等精度观测值。但可用有限个等精度观测值l li i求出求出最或是值最或是值x x后，再按公式后，再按公式(5-29)(5-29)计算计算改正数改正数vi，用改正数用改正数v vi i计算观测计算观测值的中误差值的中误差。公式推导从略。公式推导从略。上式是等精度观测中上式是等精度观测中用改正数计算中误差用改正数计算中误差的公式的公式1vvmn mn 比较：4 算术平均值的中误差算术

22、平均值的中误差设对某量进行设对某量进行n n次等精度观测，观测值为次等精度观测，观测值为l l1 1,l,l2 2,，l ln n,中误差中误差为为m m。最或是值。最或是值x x 的中误差的中误差M M的计算公式推导如下：的计算公式推导如下：nnnnnllllx12111根据误差传播定律，有：根据误差传播定律，有：221221221)()()(mmmMnnn所以所以mMn 5 相对中误差（对距离）相对中误差（对距离）11MDDKM实例实例 设对某角同精度观测设对某角同精度观测6测回，观测值见下表。测回，观测值见下表。试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值中误差。（计算在表格中进行，注意检核。）中误差。（计算在表格中进行，注意检核。）对某段距离进行了对某段距离进行了5次等精度测量，观测数据载于表次等精度测量，观测数据载于表5-2中，中，试求该距离的算术平均值，一次观测值的中误差、算术平均试求该距离的算术平均值，一次观测值的中误差、算术平均值的中误差及相对中误差。值的中误差及相对中误差。