结晶学和矿物学课件-03-晶体宏观对称.ppt

1、第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称(macroscopic symmetry of crystal)4-1.对称的概念对称的概念4-2.晶体的对称操作与对称要素晶体的对称操作与对称要素4-3.对称要素的组合规律对称要素的组合规律4-4.晶体的对称分类晶体的对称分类结晶学与矿物学结晶学与矿物学14-1.对称的概念对称的概念(symmetry)第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 24-1.对称的概念对称的概念(symmetry)第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 34-1.对称的概念对称的概念(symmetry)o对称是自然界和日常生活习见的现象o对称性是晶体的基本性质之一

2、o一切晶体都是对称的o晶体的对称性首先最直观地表现在它们的几何多面体外形上o对称性也表现在其他方面的宏观性质上o不同晶体的对称性往往又是互有差异的,可以根据晶体对称特点上差异来对晶体进行科学的分类在本章中我们将只限于讨论晶体在宏观范畴内所表现的对称性，即晶体的宏观对称。第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4o对称对称(symmetry)：物体(或图形)中相同部分之间有规律重复。o对称变换对称变换(symmetry conversion):亦称对称操作(symmetry operation)，指：能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分，作有规律重复的变换动作。o对称要素对称要素(sym

3、metry element)：在进行对称变换时所凭借的几何要素点、线、面等。第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4-1.对称的概念对称的概念(symmetry)54-1.对称的概念对称的概念(symmetry)第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 64-1.对称的概念对称的概念(symmetry)第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 74-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(Symmetry element)o对称面(symmetry plane)Po对称轴(symmetry axis)Lno对称中心(center of symmetry)Co倒转轴(rota-inversi

4、on axis)Lino映转轴(rota-reflection axis)Lsn第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 8将物体（图形）平分为互为镜将物体（图形）平分为互为镜象的两个相同部分的假想平面象的两个相同部分的假想平面第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry element)9对称操作：对称操作：通过此平面的反映通过此平面的反映标志：标志：两部分上对应点的连线是否与两部分上对应点的连线是否与 对称面垂直平分对称面垂直平分 垂直并平分晶面垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中心垂直晶棱并通过它的中心 包含晶棱包含晶棱可能出现的位

5、置：可能出现的位置：数目：数目：0 P 9第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 10定义：通过晶体几何中心的一根假想直线定义：通过晶体几何中心的一根假想直线 对称操作：对称操作：是围绕此直线的旋转是围绕此直线的旋转 特征：特征：当图形围绕此直线旋转一当图形围绕此直线旋转一定角度后，可使相同部分重复定角度后，可使相同部分重复 第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry element)(symmetry axis)1112 对称轴轴次对称轴轴次(n)的确定的确定:n=360/a其中a叫做基转角,是物体(图形)旋转一周能够复原的最小角度

6、;轴次n必为正整数;o晶体对称定律晶体对称定律(law of crystal symmetry)在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry element)(symmetry axis)（Ln，L1、L2、L3、L4、L6）13 由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n=1,2,3,4,6这五种，不可能出现这五种，不可能

7、出现n=5，n6的情况。的情况。1 1、直观形象的理解：、直观形象的理解：垂直五次及高于六次垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间无间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。即不能成为晶体结构。第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 (symmetry axis)14152 2、数学的证明方法为：、数学的证明方法为：t=mtt=2tsin(-90)+t=-2tcos +t所以，mt=-2tcos +t 2cos =1-m cos =(1-m)/2 -2 1-m 2 m=-1,0,1,2,3相应的 0 或 2 ，/

8、3,/2，2 /3,tttt第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 (symmetry axis)L1、L6、L4、L3、L2对称轴轴次：对称轴轴次：16 A.过一对平行晶面的中心 B.过一对晶棱的中心 C.相对两角顶的连线 D.角顶、晶面中心和棱中点任意两个的连线 数目数目0 L2 60 L3 40 L4 30 L6 1对称轴可能出现的位置为对称轴可能出现的位置为第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 (symmetry axis)173）对称中心）对称中心 Symmetry center(C)4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry element)第四章第四章 晶体

9、的宏观对称晶体的宏观对称 位于晶体几何中心的一个假想的点位于晶体几何中心的一个假想的点 晶体任一点过中心，反向等距离延伸可晶体任一点过中心，反向等距离延伸可重复。晶体若有对称中心，则必然有一对晶面反重复。晶体若有对称中心，则必然有一对晶面反向平行，同形等大。向平行，同形等大。是对此点的反伸 18第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry element)19AABBCCODD对称中心：晶面成对反向平行对称中心：晶面成对反向平行 第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry elemen

10、t)204）旋转反伸轴）旋转反伸轴 Rotainversion axis(Lin)第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry element)一根过晶体几何中心假想的直线和直线上的一点一根过晶体几何中心假想的直线和直线上的一点围绕此直线的旋转和对此直线上的一个点反伸围绕此直线的旋转和对此直线上的一个点反伸 的复合操作的复合操作假象直线，旋转反伸假象直线，旋转反伸 复合动作复合动作旋转反伸轴包括：旋转反伸轴包括：L Li i1 1、L Li i2 2、L Li i3 3、L Li i4 4、L Li i6 621第四章第四章 晶体的宏观对称

11、晶体的宏观对称 4）旋转反伸轴）旋转反伸轴 Rotainversion axis(Lin)22第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry element)23注意：（1）除Li4，其余均可以用简单对称要素代替；Li1C;Li2P;Li3L3+C;Li6L3+P（2）保留Li4（无法用简单要素替代）和Li6（有分类意义）。（3）晶体上有Li4的方向,也包含L2,无对称中心。第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry element)24宏观晶体的对称要素对称轴倒转轴对称要素一次二次三次四次

12、六次对称中心对称面三次四次六次辅助几何要素直线点平面直线和直线上的定点对称变换围绕直线的旋转对于点的倒反对于平面的反映绕直线旋转及点的倒反基转角36018012090601209060习惯符号L1L2L3L4L6CPL3IL4iL6i国际符号123461m346等效对称要素L1iL2IL3+CL3+P图示记号 或 C双线或粗线第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4-2.晶体的对称要素晶体的对称要素(symmetry element)254-3.对称要素的组合规律对称要素的组合规律 (symmetry element combination law)第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观

13、对称1.对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素对称要素的组合定律的组合定律；2.当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。欧拉定律：任意两个对称要素组合，必然要产生欧拉定律：任意两个对称要素组合，必然要产生第三个对称要素第三个对称要素 26定定 理理1 1：L Ln n L L2 2 L Ln nnLnL2 2 (L L2 2与与L L2 2的夹角是的夹角是L Ln n基转角的一半基转角的一半)逆定理：逆定理：L L2 2与与L L2 2相交，在其交点且垂直两相交，在其交点且垂直两L L2 2会产生会产生L Ln n，其基

14、转角，其基转角是两是两L L2 2夹角的两倍。并导出其他夹角的两倍。并导出其他n n个在垂直个在垂直L Ln n平面内的平面内的L L2 2。例如例如:L L4 4 L L2 2 L L4 44 4L L2 2 ,L L3 3 L L2 2 L L3 33L3L2 2第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4-3.对称要素的组合规律对称要素的组合规律27定定 理理2：Ln P LnP C (n为偶数为偶数)逆定理：逆定理：Ln C LnP C(n为偶数为偶数)P C LnP C (n为偶数为偶数)这一定理说明了这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。三者中任两个可以产生第三者。

15、偶次轴都包含偶次轴都包含L2。第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4-3.对称要素的组合规律对称要素的组合规律28定理定理3：Ln P/LnnP/（P与与P夹角为夹角为Ln基转角的一半）；基转角的一半）；逆定理：逆定理：两个两个P 相交，其交线必为一相交，其交线必为一Ln，其基转角为，其基转角为P夹角夹角 的两倍，并导出其他的两倍，并导出其他n个包含个包含Ln的的P。第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4-3.对称要素的组合规律对称要素的组合规律定理定理4：Lin P/=Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/（n为偶数）为偶数）Linn L2 nP/（n为奇数）为奇数）29

16、4-3.对称要素的组合规律对称要素的组合规律o定理定理 1：Ln P|Ln n Po定理定理 2：Ln L2 Ln nL2o定理定理 3：Ln P =Ln C Ln P C(n=偶数偶数)o定理定理 4：Lni P|=Lni L2 Ln i n/2L2 n/2P(n=偶数偶数)Lni P|Linn L2 nP/（n为奇数）第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称304-4.对称型对称型(点群点群)及其推导及其推导什么是点群什么是点群(point group)?在晶体形态中，全部对称要素相交于一点（晶体中心），在晶体形态中，全部对称要素相交于一点（晶体中心），在进行对称操作时有一点不动，所以称

17、为点群。在进行对称操作时有一点不动，所以称为点群。对称型对称型(晶类晶类 class of symmetry)?对称型是宏观晶体中所有对称要素的集合。对称型是宏观晶体中所有对称要素的集合。第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称314 4-4.-4.对称型对称型(点群点群)及其推导及其推导o有多少种点群有多少种点群?o如何得到的如何得到的?数学方法推导数学方法推导 o如何用符号表达如何用符号表达?习惯符号习惯符号 国际符号国际符号 圣佛利斯圣佛利斯(Schoenflies)符号符号o参见教材:P36 表4-4 P38 表4-5第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称32 为推导方便，分为推

18、导方便，分A A类（只一个高次轴）和类（只一个高次轴）和 B B类（多个高次轴）类（多个高次轴）A A类推导分七种情况：类推导分七种情况：第一种情况：对称轴单独存在；第二种情况：对称轴与垂直二次轴的组合；第三种情况：对称轴与垂直对称面的组合；第四种情况：对称轴与平行对称面的组合；第五种情况：对称轴与垂直二次轴及平行 对称面的组合；第六种情况：旋转反伸轴单独存在；第七种情况：对旋转反伸轴与垂直二次轴(平行 对称面)的组合；B B类推导复杂，参见类推导复杂，参见 P35P35第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 4-5.晶体的对称分类晶体的对称分类(classification of cry

19、stal symmetry)33第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 .P33 表表42 4-4.对称型对称型(点群点群)及其推导及其推导c34354-5.晶体的对称分类晶体的对称分类(classification of crystal symmetry)o晶族晶族(crystal category)的划分的划分根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族n高级晶族(higher category)n中级晶族(intermediate category)n低级晶族(lower category)n什么是高次轴?n最多有多少高次轴?第四章第四章

20、晶体的宏观对称晶体的宏观对称36根据对称轴或倒转轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划根据对称轴或倒转轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系分为如下七个晶系,分属于三个晶族分属于三个晶族n等轴晶系(isometric system),又称立方晶系(cubic system)n六方晶系(hexagonal system)n四方晶系(tetragonal system)n三方晶系(trigonal system)n正交晶系(orthorhombic system),亦称斜方晶系n单斜晶系(monclinic system)n三斜晶系(triclinic system)参见教材:P3

21、5 表3-4第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4-5.晶体的对称分类晶体的对称分类(classification of crystal symmetry)37P38 表4-5第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4-5.晶体的对称分类晶体的对称分类 38第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4-5.晶体的对称分类晶体的对称分类 39低级晶族：低级晶族：所有的对称要素必定相互平行或垂直所有的对称要素必定相互平行或垂直中级晶族：中级晶族：除高次轴外，其他对称要素存在时必定与唯除高次轴外，其他对称要素存在时必定与唯 一的高次轴垂直或平行一的高次轴垂直或平行高级晶族：高级晶族：除除4

22、4L L3 3外，必定还有外，必定还有3 3个相互垂直的二次轴个相互垂直的二次轴 或四次轴，它们与每一个或四次轴，它们与每一个L L3 3均以等角度相交均以等角度相交注意注意:第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4-5.晶体的对称分类晶体的对称分类 40 习惯符号习惯符号 按一定的顺序表示出晶体所有对称要素的符号mLnmPC(n-对称轴轴次，从高到低排列，m-对称轴或对成面的数目）国际符号国际符号（反映对称要素及其在空间的取向）（反映对称要素及其在空间的取向）N单独一个对称轴Ln N单独一个Lin N/m Ln垂直它的P的组合 N22或N2 Ln和垂直它的L2的组合N1时，1省略 Nmm Ln和包含它的P的组合N1时，1省略，N=2时，特写为mm2 N2m Lin和包含它的P以及垂直它的L2的组合 N/mmm Ln和包含它的P以及垂直它的P的组合 X3Y或X3第二位上为3者表示4L3第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称4.5 对称型符号对称型符号P424142思考题思考题1、总结对称轴、对称面在晶体上可能出现的位置。2、对称要素组合定理的内容。3、晶体的分类体系及其依据是什么？4、一对正六边形的平行晶面之中点的连线，可能是 几次对称轴的方位？第四章第四章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 43