一章场论及张量初步课件.ppt

1、第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步主要内容主要内容u(A)场论：梯度，散度，旋度u(B)张量：二阶张量主要内容(A)场论：梯度，散度，旋度1.1 1.1 场的定义及分类场的定义及分类 场：在空间中的某个区域内定义的标量函数场：在空间中的某个区域内定义的标量函数或矢量函数或矢量函数标量场矢量场r是空间点矢径，是空间点矢径，x,y,z是是r的直角坐标，的直角坐标，t是时是时间参数间参数1.1 场的定义及分类 场：在空间中的某个区域内定义的标量函地形等高线图地形等高线图地形等高线图圆管横截面上的颗粒浓度场分布圆管横截面上的颗粒浓度场分布圆管横截面上的颗粒浓度场分布圆管横截面上的气流压力场分布圆

2、管横截面上的气流压力场分布圆管横截面上的气流压力场分布全国范围内温度场分布全国范围内温度场分布全国范围内温度场分布速度场速度场速度场速度场速度场速度场速度场速度场速度场电场电场电场磁场磁场磁场均匀场：同一时刻场内各点均匀场：同一时刻场内各点函数值都相等函数值都相等定常场：场内函数值不随时定常场：场内函数值不随时间间t改变改变均匀场定常场均匀场：同一时刻场内各点函数值都相等定常场：场内函数值不随时1.1 1.1 场的几何表示场的几何表示等高线等高线根据等高线的相对位置、疏密程度根据等高线的相对位置、疏密程度看出标量函数看出标量函数-高度的变化状况高度的变化状况1.1 场的几何表示等高线等高线根据

3、等高线的相对位置、疏密程矢量场的几何表示矢量场的几何表示矢量的大小是一个标量，可以用等位矢量的大小是一个标量，可以用等位面的概念来几何表示，矢量的方向则面的概念来几何表示，矢量的方向则采用矢量线来表示。采用矢量线来表示。矢量线：线上每一点的切线方向与该矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合点的矢量方向重合矢量场的几何表示矢量的大小是一个标量，可以用等位面的概念来几根据矢量定义有：根据矢量定义有：0 rda直角坐标形式：直角坐标形式：rrrd根据矢量定义有：直角坐标形式：1.3 1.3 梯度梯度-标量不均匀性的量度标量不均匀性的量度对于给定标量场对于给定标量场 (r,t)，用它的梯度用

4、它的梯度来表明在任一时刻标量场中每点邻域来表明在任一时刻标量场中每点邻域内的函数变化。内的函数变化。函数在函数在M点上沿曲线点上沿曲线S方方向的向的方向导数方向导数：表明函数表明函数(r,t)在在M点上点上沿曲线沿曲线S方向方向的变化率的变化率1.3 梯度-标量不均匀性的量度对于给定标量场 (r证明：其他方向的方向导数可以由过证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法点的法线方向上的方向导数来表示线方向上的方向导数来表示110)()(lim1MMMMnMMMMMMsMM)()(lim0证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法线方向上的方向导数来),cos(1snMMMM)()(1MM当M1无限接

5、近M时，近似为过M1点的切线当M1 无限接近M时，近似为过M1 点的切线MMMMsMM)()(lim0),cos(1snMMMM)()(1MM110)()(lim),cos(1MMMMsnsMM第一章场论及张量初步课件110)()(lim),cos(1MMMMsnsMMnsns),cos(第一章场论及张量初步课件nsns),cos(ns函数函数 在在n方向的方向导数最大方向的方向导数最大，在在n方向变方向变化最快。化最快。函数 在n 方向的方向导数最大，在n 方向变化最快。梯度：梯度：存在这样一个矢量，其方向为过存在这样一个矢量，其方向为过M点点的的等位面法线方向等位面法线方向，大小为这个方向

6、上的，大小为这个方向上的方方向导数，向导数，这个矢量为函数在这个矢量为函数在M点的点的梯度梯度，用，用它来描述它来描述M点邻域内函数的变化状况，是标量点邻域内函数的变化状况，是标量场不均匀性的量度。场不均匀性的量度。nngrad梯度：存在这样一个矢量，其方向为过M点的等位面法线方向，大小nngrad其他方向的方向导数可以由过其他方向的方向导数可以由过M点的梯度点的梯度的大小来表示的大小来表示nsns),cos(grads 其他方向的方向导数可以由过M点的梯度的大小来表示梯度在直角坐标系中的表达式梯度在直角坐标系中的表达式nngradkxjyixgrad梯度在直角坐标系中的表达式梯度的主要性质梯

7、度的主要性质梯度的主要性质梯度的主要性质梯度的主要性质定理定理1 梯度梯度 满足关系式：满足关系式：graddrd反之，若反之，若adrd则则grada grad梯度的主要性质定理1 梯度 满足梯度的主要性质梯度的主要性质正定理证明：正定理证明：已知标量函数已知标量函数 的全微分：的全微分：dzzdyydxxdkxjyixgrad 梯度的直角坐标形式：梯度的直角坐标形式：kdzjdyidxdr梯度的主要性质正定理证明：已知标量函数 的全微分：梯度的主要性质梯度的主要性质dgraddrdzzdyydxxkxjyixgradkdzjdyidxdr梯度的主要性质物理意义：函数物理意义：函数 在在M点

8、点dr方向的增量方向的增量等于等于M点处的梯度在点处的梯度在dr方向的投影方向的投影rrrdgradd物理意义：函数 在M点d r 方向的增量等于M点处的梯度梯度的主要性质梯度的主要性质定理定理2 若若 a=grad ，且且 是矢径是矢径r的单值函的单值函数，则沿封闭曲线数，则沿封闭曲线L的线积分：的线积分：0dra反之，若矢量反之，若矢量a沿任一封闭曲线沿任一封闭曲线L的线积分的线积分0dra则矢量则矢量a必为某一标量函数的梯度，即必为某一标量函数的梯度，即 a=grad梯度的主要性质定理2 若 a=g r a d ，且 梯度的主要性质梯度的主要性质正定理证明：正定理证明：ddrgraddr

9、a由于由于 是矢径是矢径r的单值函数，则沿封闭曲线的单值函数，则沿封闭曲线L的的线积分：线积分：drad0梯度的主要性质正定理证明：由于 是矢径r 的单值函数，则沿1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量.散度散度.奥高定理奥高定理对于给定的矢量场对于给定的矢量场a(r,t),在场内取一曲面在场内取一曲面S，并在并在S上取一面积元上取一面积元dS，在在dS上取一点上取一点M，n为为S面上过面上过M点的法线方向的单位矢量点的法线方向的单位矢量an：矢量矢量a在法线方向的投影在法线方向的投影an dS:矢量矢量a通过面积元通过面积元dS的通量的通量1.4 矢量的通量.散度.奥高定理对于给定的矢量场a(

10、r,t1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量.散度散度.奥高定理奥高定理在整个曲面上积分，得矢量在整个曲面上积分，得矢量a通过通过S面的通量面的通量dSasn实质上相当于函数的面积分实质上相当于函数的面积分 1.4 矢量的通量.散度.奥高定理在整个曲面上积分，得矢量a1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量.散度散度.奥高定理奥高定理当当S面为封闭曲面时，通量为：面为封闭曲面时，通量为：dSasn1.4 矢量的通量.散度.奥高定理当S 面为封闭曲面时，通量为1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量.散度散度.奥高定理奥高定理当封闭曲面当封闭曲面S包围的体积为包围的体积为V，用矢量用矢量a的通量的通量除以

11、除以V(求求单位体积的通量单位体积的通量)，且当，且当V0时，将时，将极限定义为矢量极限定义为矢量a的的散度散度：VdSadivasnVlim0VdSasn1.4 矢量的通量.散度.奥高定理当封闭曲面S 包围的体积为V1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量.散度散度.奥高定理奥高定理证明当矢量证明当矢量a具有连续一阶偏导数时，此极限具有连续一阶偏导数时，此极限(即散度存在即散度存在由高等数学中的奥高定理得：由高等数学中的奥高定理得：dVzayaxadSaVzyxsn实质上是面积分与体积分之间的关系实质上是面积分与体积分之间的关系 1.4 矢量的通量.散度.奥高定理证明当矢量a 具有连续一阶偏1.

12、4 1.4 矢量的通量矢量的通量.散度散度.奥高定理奥高定理因体积分中被积函数是连续的，根据中因体积分中被积函数是连续的，根据中值定理可知，能够在积分体上找到确定值定理可知，能够在积分体上找到确定的一个点的一个点Q，满足：满足：QzyxVzyxzayaxaVdVzayaxa函数在体积V上的积分在积分体上Q点处的函数值QzyxsnzayaxaVdSa注意：注意：Q点是积分体上的一个确定点点是积分体上的一个确定点1.4 矢量的通量.散度.奥高定理因体积分中被积函数是连续的1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量.散度散度.奥高定理奥高定理VdSadivasnVlim0QzyxsnzayaxaVdSaQ

13、zyxVzayaxadiva0lim1.4 矢量的通量.散度.奥高定理1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量.散度散度.奥高定理奥高定理QzyxVzayaxadiva0lim0V)(任任意意点点MQ zayaxadivazyx1.4 矢量的通量.散度.奥高定理1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量.散度散度.奥高定理奥高定理VsndivadVdSadVzayaxadSaVzyxsn1.4 矢量的通量.散度.奥高定理1.5 1.5 无源场及其性质无源场及其性质diva=0的矢量场称为无源场或管式场。的矢量场称为无源场或管式场。具有以下主要性质：具有以下主要性质：(1)无源矢量无源矢量a经地矢量管任一

14、横截面经地矢量管任一横截面上的通量保持同一数值上的通量保持同一数值(2)矢量管不能在场内发生或终止。矢量管不能在场内发生或终止。(3)无源矢量无源矢量a经过张于已知周线经过张于已知周线L的所有的所有曲面曲面S上的通量均相同，此通量只依赖上的通量均相同，此通量只依赖于周线于周线L而与所张曲面而与所张曲面S的形状无关。的形状无关。L1.5 无源场及其性质d i v a=0 的矢量场称为无源场或管式场1.6 1.6 环量环量.旋度旋度.斯托克斯定理斯托克斯定理对于给定的矢量场对于给定的矢量场a(r,t),在场内取一曲线在场内取一曲线L作线积分作线积分LzyxLdzadyadxadra若若L为封闭曲线

15、，则矢量为封闭曲线，则矢量a沿沿L的环量为：的环量为：LzyxLdzadyadxadra1.6 环量.旋度.斯托克斯定理对于给定的矢量场a(r,1.6 1.6 环量环量.旋度旋度.斯托克斯定理斯托克斯定理对于给定的矢量场对于给定的矢量场a(r,t),在场内取一点在场内取一点M，围绕围绕M取无限小封闭曲线取无限小封闭曲线L，张于张于L上的曲面上的曲面为为S，按右手螺旋法则定义按右手螺旋法则定义S的法线方向的法线方向n。1.6 环量.旋度.斯托克斯定理对于给定的矢量场a(r,1.6 1.6 环量环量.旋度旋度.斯托克斯定理斯托克斯定理作矢量作矢量a沿曲线沿曲线L的环量并除以曲面面积的环量并除以曲面

16、面积S，当当L向向M点收缩，面积点收缩，面积S趋于趋于0时，定义矢量时，定义矢量a的旋度矢量的旋度矢量rota在在n方向的投影为：方向的投影为：SdraarotLSn0lim1.6 环量.旋度.斯托克斯定理作矢量a 沿曲线L 的环量并1.6 1.6 环量环量.旋度旋度.斯托克斯定理斯托克斯定理极限存在的证明：极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系中值公式：面积分与函数值的关系zayaarotyzxxazaarotzxyyaxaarotxyz1.6 环量.旋度.斯托克斯定理极限存在的证明：1.6 1.6 环量环量.旋度旋度

17、.斯托克斯定理斯托克斯定理极限存在的证明：极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系中值公式：面积分与函数值的关系zyxaaazyxkjiarot1.6 环量.旋度.斯托克斯定理极限存在的证明：1.6 1.6 环量环量.旋度旋度.斯托克斯定理斯托克斯定理Stockes公式：线积分与面积分的关系公式：线积分与面积分的关系dSarotdSarotdraSSnL1.6 环量.旋度.斯托克斯定理S t o c k e s 公式：线积1.7 1.7 无旋场及其性质无旋场及其性质rota=0的矢量场称为无旋场的矢量场称为无旋场grada

18、 0dSarotdraSL0arotgrada 梯度的性质定理梯度的性质定理2(书中书中P8-9)1.7 无旋场及其性质r o t a=0 的矢量场称为无旋场梯度的性1.7 1.7 无旋场及其性质无旋场及其性质grada 0arotkxjyixgrada0zyxzyxkjiaaazyxkjiarotzyx1.7 无旋场及其性质1.8 1.8 微分算子微分算子-微分及矢量运算法则微分及矢量运算法则222222zyx拉普拉斯算子：只进行微分运算拉普拉斯算子：只进行微分运算222222zyx1.8 微分算子-微分及矢量运算法则拉普拉斯算子：只进行微分1.8 1.8 微分算子微分算子-微分及矢量运算法

19、则微分及矢量运算法则zkyjxi哈密顿算子：一方面是一个矢量，在运算时哈密顿算子：一方面是一个矢量，在运算时要符合矢量代数和矢量分析中的所有法则；要符合矢量代数和矢量分析中的所有法则；另一方面又是一个微分算子，只对位于算子另一方面又是一个微分算子，只对位于算子右边的量发生微分作用右边的量发生微分作用1.8 微分算子-微分及矢量运算法则哈密顿算子：一方面是一个1.8 1.8 微分算子微分算子-微分及矢量运算法则微分及矢量运算法则用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度1.8 微分算子-微分及矢量运算法则用哈密顿算子的形式表示梯1.8 1.8 微分算子微分算子-

20、微分及矢量运算法则微分及矢量运算法则用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度1.8 微分算子-微分及矢量运算法则用哈密顿算子的形式表示梯1.9 1.9 矢量与标量场的基本运算公式矢量与标量场的基本运算公式1.9 矢量与标量场的基本运算公式1.9 1.9 矢量与标量场的基本运算公式矢量与标量场的基本运算公式1.9 矢量与标量场的基本运算公式1.9 1.9 矢量与标量场的基本运算公式矢量与标量场的基本运算公式矢量运算基本法则矢量运算基本法则)()()(BACCABCBAACBBACBAC)()()(CAB)(1.9 矢量与标量场的基本运算公式矢量运算基本法则(B

21、)B)张量初步张量初步(B)张量初步张量的定义张量的定义二阶张量二阶张量对称张量与反对称张量对称张量与反对称张量张量分解定理张量分解定理共轭张量共轭张量张量的定义二阶张量对称张量与反对称张量张量分解定理共轭张量张量的定义张量的定义张量（张量（tensor)是几何与代数中的基本概念是几何与代数中的基本概念之一。从代数角度讲，之一。从代数角度讲，它是矢量的推广。它是矢量的推广。我们知道，我们知道，矢量可以看成一维的矢量可以看成一维的“表格表格”（即各分量按照顺序排成一排），即一阶（即各分量按照顺序排成一排），即一阶张量；张量；矩阵是二维的矩阵是二维的“表格表格”（各分量按（各分量按照纵横位置排列）

22、，即二阶张量；照纵横位置排列），即二阶张量；那么那么n阶张量就是所谓的阶张量就是所谓的n维的维的“表格表格”。张量的定义张量（t e n s o r)是几何与代数中的基本概念之一。张量的定义张量的定义从物理意义上来说，张量（从物理意义上来说，张量（tensor)是一个在是一个在三维坐标系中具有三维坐标系中具有3r个分量的物理量。个分量的物理量。333231232221131211ij333231232221131211ij应力张量应力张量应变张量应变张量张量的定义从物理意义上来说，张量（t e n s o r)是一个在三维二阶张量二阶张量(32=9个分量个分量)3332312322211312

23、11ppppppppppPij二阶张量(3 2=9 个分量)二阶共轭张量二阶共轭张量(转置转置)332313322212312111ppppppppppPjic333231232221131211ppppppppppPij二阶共轭张量(转置)二阶对称张量：六个未知分量二阶对称张量：六个未知分量 332313232212131211ppppppppppPijcjiijpp cPP 二阶对称张量：六个未知分量 二阶反对称张量：三个未知分量二阶反对称张量：三个未知分量 000233123123112pppppppPijcjiijpp000121323231p312p123p二阶反对称张量：三个未知分

24、量 张量分解定理张量分解定理二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张量和一个反对称张量之和。量和一个反对称张量之和。ccPPPPP2121张量分解定理二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张量和一个反对二阶共轭张量二阶共轭张量(转置转置)332313322212312111ppppppppppPjic333231232221131211ppppppppppPij二阶共轭张量(转置)cPP21332332133123322221121331211211212121212121ppppppppppppppp二阶对称张量二阶对称张量二阶对称张量cPP21021212102121210322313313223211213312112pppppppppppp二阶反对称张量二阶反对称张量二阶反对称张量