高考热点专题数列系列课件.ppt

1、高考热点专题数列的综合应用考点一考点一 等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题【考情分析考情分析】等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点(1)(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n n项和公式、项和公式、等差等差(比比)中项、等差中项、等差(比比)数列的性质数列的性质.(2)(2)重点考查基本量重点考查基本量(即即“知三求二知三求二”,解方程解方程(组组)的计算以及灵活运的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题用等差、等比数列的性质解决问题.【典例典例1 1】(2

2、019(2019湖南高考湖南高考)已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,|a=1,|an+1n+1-a-an n|=p|=pn n,nNnN*.(1)(1)若若aan n 是递增数列是递增数列,且且a a1 1,2a,2a2 2,3a,3a3 3成等差数列成等差数列,求求p p的值的值.(2)(2)若若p=,p=,且且aa2n-12n-1 是递增数列是递增数列,a,a2n2n 是递减数列是递减数列,求数列求数列aan n 的通的通项公式项公式.12【解题提示解题提示】(1)(1)由由aan n 是递增数列是递增数列,去掉绝对值号去掉绝对值号,求出前三项求出前三项,再利再利用用a

3、 a1 1,2a,2a2 2,3a,3a3 3成等差数列成等差数列,得到关于得到关于p p的方程即可求解的方程即可求解.(2)a(2)a2n-12n-1 是递增数列是递增数列,a,a2n2n 是递减数列是递减数列,可以去掉绝对值号可以去掉绝对值号,再利用叠再利用叠加法求通项公式加法求通项公式.【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为aan n 是递增数列是递增数列,所以所以a an+1n+1-a-an n=p=pn n,又又a a1 1=1,a=1,a2 2=p+1,a=p+1,a3 3=p=p2 2+p+1,+p+1,因为因为a a1 1,2a,2a2 2,3a,3a3 3成等差数列成等差数

4、列,所以所以4a4a2 2=a=a1 1+3a+3a3 3,4p+4=1+3p,4p+4=1+3p2 2+3p+3,3p+3p+3,3p2 2=p,=p,解得解得p=p=或或p=0,p=0,当当p=0p=0时时,a,an+1n+1-a-an n=0,=0,与与aan n 是递增数列矛盾是递增数列矛盾,所以所以p=.p=.1313(2)(2)因为因为aa2n-12n-1 是递增数列是递增数列,所以所以a a2n+12n+1-a-a2n-12n-10,0,于是于是(a a2n+12n+1-a-a2n2n)+(a)+(a2n2n-a-a2n-12n-1)0)0,由于由于 ,所以所以|a|a2n+12

5、n+1-a-a2n2n|a|0,)0,所以所以a a2n2n-a-a2n-12n-1=,因为因为aa2n2n 是递减数列是递减数列,所以同理可得所以同理可得a a2n+12n+1-a-a2n2n0,a0,d0,所以所以d=3,q=2,d=3,q=2,a an n=3+(n-1)=3+(n-1)3=3n,b3=3n,bn n=2=2n-1n-1.(2)(2)由由(1)(1)知知当当n n是偶数时是偶数时,T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+c+cn n=-S=-S1 1+S+S2 2-S-S3 3+S+S4 4-S-Sn-1n-1+S+Sn n=a=a2 2+a+a4 4+a

6、+a6 6+a+an n=6+12+18+6+12+18+3n=+3n=2nnn2n33Snn,n22cS cos 3n33Snn,n.22 是偶数，是奇数3n n2.4当当n n是奇数时，是奇数时，T Tn n=T=Tn-1n-1-S-Sn n=23 n1 n133nn4222n23n1.43n n2,n4T3n1n.4 是偶数，综上可得，是奇数【加固训练加固训练】1.(20151.(2015宜春模拟宜春模拟)已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列aan n 满足满足a a3 3=8,a=8,a5 5+a+a7 7=160,a=160,an n 的前的前n n项和为项和为S S

7、n n.(1)(1)求求a an n.(2)(2)若数列若数列bbn n 的通项公式为的通项公式为b bn n=(-1)=(-1)n nn(nNn(nN+),),求数列求数列aan nb bn n 的前的前n n项和项和T Tn n.【解析解析】(1)(1)设等比数列设等比数列aan n 的首项为的首项为a a1 1,公比为公比为q,q,由由a a3 3=8,a=8,a5 5+a+a7 7=160,=160,得得a a1 1q q2 2=8,a=8,a1 1q q4 4+a+a1 1q q6 6=160,=160,解得解得a a1 1=2,q=2.=2,q=2.所以所以a an n=a=a1

8、1q qn-1n-1=2=2n n.(2)(2)因为因为b bn n=(-1)=(-1)n nn,an,an n=2=2n n,所以所以a an nb bn n=n=n(-2)(-2)n n,所以所以T Tn n=1=1(-2)+2(-2)+2(-2)(-2)2 2+3+3(-2)(-2)3 3+n+n(-2)(-2)n n,-2T-2Tn n=1=1(-2)(-2)2 2+2+2(-2)(-2)3 3+3+3(-2)(-2)4 4+(n-1)+(n-1)(-2)(-2)n n+n+n(-2)(-2)n+1n+1,相减可得相减可得3T3Tn n=(-2)+(-2)=(-2)+(-2)2 2+(

9、-2)+(-2)3 3+(-2)+(-2)n n-n-n(-2)(-2)n+1n+1=-n-n(-2)(-2)n+1n+1 n2 1212 n 1n 1n 1n23n123n122,333n122T.9 所以2.(20192.(2019宁波模拟宁波模拟)已知数列已知数列aan n 的首项的首项a a1 1=a=an+1n+1=,nNnN*.(1)(1)求证求证:数列数列 -1 -1为等比数列为等比数列.(2)(2)记记S Sn n=若若S Sn n100,100,求最大正整数求最大正整数n.n.(3)(3)是否存在互不相等的正整数是否存在互不相等的正整数m,s,n,m,s,n,使使m,s,nm

10、,s,n成等差数列成等差数列,且且a am m-1,-1,a as s-1,a-1,an n-1-1成等比数列成等比数列?如果存在如果存在,请给出证明请给出证明;如果不存在如果不存在,请说明理请说明理由由.35，nn3a2a1n1a12n111aaa，【解析解析】(1)(1)由由a an+1n+1=可得可得所以所以又又 0 0，所以，所以 -10(nN-10(nN*)所以数列所以数列 -1 -1为首项为为首项为 ，公比为，公比为 的等比数列的等比数列.nn3a2a1n 1n121a33a，n 1n1111.a3a3 1121a3 n1an1a2313若若S Sn n100100，则，则n+1-

11、n+1-100100，所以满足条件的最大正整数所以满足条件的最大正整数n n为为99.99.n13n 1nnnn2n12nn 1n12 1(2)(1)1(),a33112()1.a3111111Sn2()aaa33311133n2n11313 由，可得所以，(3)(3)假设存在满足条件的假设存在满足条件的m,s,n,m,s,n,则则m+n=2s,(am+n=2s,(am m-1)(a-1)(an n-1)=(a-1)=(as s-1)-1)2 2,因为因为a an n=所以所以 化简化简,得得3 3m m+3+3n n=2=23 3s s.因为因为3 3m m+3+3n n22 =2 =23

12、3s s,当且仅当当且仅当m=nm=n时等号成立时等号成立,这与这与m,s,nm,s,n互不相等矛盾互不相等矛盾,所以假设不成立所以假设不成立,即不存在满足条件的即不存在满足条件的m,s,n.m,s,n.nn3,32nms2nms333(1)(1)(1).323232m n3考点二考点二 数列与函数的综合问题数列与函数的综合问题【考情分析考情分析】数列与函数的特殊关系数列与函数的特殊关系,决定了数列与函数交汇命题的自然性决定了数列与函数交汇命题的自然性,是高考是高考命题的易考点命题的易考点,主要考查方式有主要考查方式有:(1)(1)以函数为载体以函数为载体,考查函数解析式的求法考查函数解析式的

13、求法,或者利用函数解析式给出或者利用函数解析式给出数列的递推关系、数列前数列的递推关系、数列前n n项和的计算方法项和的计算方法(2)(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题根据数列是一种特殊的函数这一特点命题,考查利用函数的单调性考查利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题【典例典例2 2】(2018(2018沈阳模拟沈阳模拟)已知函数已知函数f(x)=,f(x)=,数列数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=f(),nN=f(),nN*.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2

14、)(2)令令T Tn n=a=a1 1a a2 2-a-a2 2a a3 3+a+a3 3a a4 4-a-a4 4a a5 5+-a-a2n2na a2n+12n+1,求求T Tn n.(3)(3)令令b bn n=(n2),b=(n2),b1 1=3,S=3,Sn n=b=b1 1+b+b2 2+b+bn n,若若S Sn n 0,-ax+a(a0,xR),xR),不等式不等式f(x)0f(x)0的解集有且只有一个元素的解集有且只有一个元素,设数列设数列aan n 的前的前n n项项和和S Sn n=f(n)(nN=f(n)(nN*),),(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通

15、项公式.(2)(2)设设b bn n=,=,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n.nna3【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得x x2 2-ax+a0-ax+a0的解集有且只有一个元素的解集有且只有一个元素,所以所以=(-a)=(-a)2 2-4a=0,-4a=0,即即a a2 2-4a=0,-4a=0,又因为又因为a0,a0,所以所以a=4,a=4,所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-4x+4,-4x+4,从而从而S Sn n=f(n)=n=f(n)=n2 2-4n+4,-4n+4,当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=1-4+4=1;=1-4+4=

16、1;当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=2n-5.=2n-5.n1,n1,a2n5,n2nN*.所以且 n234nn2345nn 1n234nn 1nn11132n52T,33333111132n72n5T.33333332121112n5T2(),33333331n1T.33因为所以得所以【加固训练加固训练】设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R,R,当当x0 x1,f(x)1,且对任意的且对任意的实数实数x,yR,x,yR,有有f(x+y)=f(x)f(y).f(x+y)=f(x)f(y).(1)(1)求求f(0),f(0),判断并证明函数判断并证

17、明函数f(x)f(x)的单调性的单调性.(2)(2)数列数列aan n 满足满足a a1 1=f(0),=f(0),且且f(af(an+1n+1)=(nN)=(nN*),),数列数列bbn n 满满足足b bn n=a=an n-8.-8.求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式;求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n的最小值及相应的的最小值及相应的n n的值的值.n1f2a【解析解析】(1)x,yR,(1)x,yR,f(x+y)=f(x)f(x+y)=f(x)f(y),x0f(y),x1,f(x)1,令令x=-1,y=0,x=-1,y=0,则则f(-1)=f(-1)f

18、(0),f(-1)=f(-1)f(0),因为因为f(-1)1,f(-1)1,所以所以f(0)=1.f(0)=1.若若x0,x0,则则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x),f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x),故故f(x)=(0,1),f(x)=(0,1),故故xR,f(x)0,xR,f(x)0,任取任取x x1 1x0,0,所以所以0f(x0f(x2 2-x-x1 1)1,)1,所以所以f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),故故f(x)f(x)在在R R上是减函数上是减函数.(2)(2)a a1 1=f(0)=1,f(a=f(0)=1,f(an+1n+1)=f(2+a)=

19、f(2+an n),),由由f(x)f(x)单调性单调性a an+1n+1=a=an n+2.+2.故故aan n 是等差数列是等差数列,所以所以a an n=2n-1.=2n-1.b bn n=2n-9,T=2n-9,Tn n=n=n2 2-8n,-8n,当当n=4n=4时时,(T,(Tn n)minmin=-16.=-16.n1f2a 考点三考点三 数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题【考情分析考情分析】数列与不等式的综合问题是高考考查的热点数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种考查方式主要有三种:(1)(1)判断数列问题中的一些不等关系判断数列问题中的一些不等

20、关系,如比较数列中的项的大小关系等如比较数列中的项的大小关系等.(2)(2)以数列为载体以数列为载体,考查不等式的恒成立问题考查不等式的恒成立问题,求不等式中的参数的取求不等式中的参数的取值范围等值范围等.(3)(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题考查与数列问题有关的不等式的证明问题.【典例典例3 3】(2018(2018上海高考上海高考)已知数列已知数列aan n 满足满足 a an naan+1n+13a3an n,nNnN*,a,a1 1=1.=1.(1)(1)若若a a2 2=2,a=2,a3 3=x,a=x,a4 4=9,=9,求求x x的取值范围的取值范围.(2)(2)设设a

21、an n 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列,S,Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+an n,S,Sn nSSn+1n+13S3Sn n,nNnN*,求求q q的取值范围的取值范围.(3)(3)若若a a1 1,a,a2 2,成等差数列成等差数列,且且a a1 1+a+a2 2+a+ak k=1000,=1000,求正整数求正整数k k的最大值的最大值,以及以及k k取最大值时相应数列取最大值时相应数列a a1 1,a,a2 2,的公差的公差.1313【解题提示解题提示】(1)(1)根据根据 a a2 2aa3 33a3a2 2,a,a3 3aa4 43a3a3 3可求得可求得

22、x x的范围的范围.(2)(2)需对需对q q分类讨论分类讨论,若若q=1,q=1,易得符合题意易得符合题意,若若q1q1时时,再通过放缩法解再通过放缩法解不等式组即得结论不等式组即得结论.(3)k=1000,d=0(3)k=1000,d=0是一组解时是一组解时,k,kmaxmax1000,1000,根据根据 a an naan+1n+13a3an n,可得可得d ,d ,然后根据然后根据a a1 1+a+a2 2+a+ak k=1000,=1000,得到关于得到关于d d的关系式的关系式,而而dd ,从而得到关于从而得到关于k k的不等式的不等式,解此不等式即得解此不等式即得.1313132

23、2k122k1【规范解答规范解答】(1)(1)依题意依题意,a,a2 2aa3 33a3a2 2,所以所以 x6;x6;又又 a a3 3aa4 43a3a3 3,所以所以3x27;3x27;综上可得综上可得:3x6.:3x6.132313(2)(2)由已知得，由已知得，a an n=q=qn-1n-1,又又 a a1 1aa2 23a3a1 1，所以所以 q3,q3,当当q=1q=1时，时，S Sn n=n,S=n,Sn nSSn+1n+13S3Sn n,即即 n+13n,n+13n,成立成立.当当1q311,q1,故故3q3qn+1n+1-q-qn n-2=q-2=qn n(3q-1)-2

24、2q(3q-1)-22qn n-20,-20,对于不等式对于不等式q qn+1n+1-3q-3qn n+20,+20,令令n=1,n=1,得得q q2 2-3q+20,-3q+20,解得解得1q2,1q2,又当又当1q21q2时时,q-30,q-30,所以所以q qn+1n+1-3q-3qn n+2=q+2=qn n(q-3)+2q(q-3)+2=(q-1)(q-2)0(q-3)+2q(q-3)+2=(q-1)(q-2)0成立成立,所以所以1q2,1q2,当当 q1q1时时,S,Sn n=S=Sn nSSn+1n+13S3Sn n,13n1 q1,1 q3nn 1n11 q1 q1 q3,3

25、1 q1 q1 q即所以此不等式即所以此不等式即 3q-10,q-30,3q-10,q-30,所以所以3q3qn+1n+1-q-qn n-2=q-2=qn n(3q-1)-22q(3q-1)-22qn n-20,-20,(q-3)+2q(q-3)+2=(q-1)(q-2)0,所以所以 q1q0,0,所以所以S Sn n-3,-3,只有只有S Sn n=n=n2 2+n.+n.当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n=n2 2+n-(n-1)+n-(n-1)2 2-(n-1)=2n,-(n-1)=2n,而而a a1 1=2,=2,符合符合a an n=2n,=2n,所

26、以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n(nN=2n(nN*).).21S21a2nSnn1111(3)1aa12n 2n14n(n)2111111111114(n)(n1)(n)(n1)nn1444444因为，1122nn1122nn111aa1aa1a(a1)1111111()()()11111141223nn1444444111111().11434n331n1441111n.aa1aa1aa13所以故对一切正整数，有【加固训练加固训练】1.(20191.(2019贵阳模拟贵阳模拟)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,满足满足S

27、 Sn n=a=an n-n(nN-n(nN*).).(1)(1)求证求证:数列数列aan n+1+1是等比数列是等比数列.(2)(2)令令b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+1)+log+log3 3(a(an n+1),+1),对任意对任意nNnN*,是否存是否存在正整数在正整数m,m,使使 恒成立恒成立?若存在若存在,求出求出m m的值的值;若不存若不存在在,请说明理由请说明理由.3212n111mbbb4【解析解析】(1)(1)当当n=1n=1时时,S,S1 1=a=a1 1=a=a1 1-1,-1,解得解得a a1

28、1=2,=2,当当n2n2时时,由由S Sn n=a=an n-n-n得得S Sn-1n-1=a=an-1n-1-n+1.-n+1.两式相减得两式相减得,S,Sn n-S-Sn-1n-1=a=an n-a-an-1n-1-1,-1,即即a an n=3a=3an-1n-1+2(n2),+2(n2),则则a an n+1=3(a+1=3(an-1n-1+1).+1).又又a a1 1+1=2+1=3,+1=2+1=3,故数列故数列aan n+1+1是首项为是首项为3,3,公比为公比为3 3的等比数列的等比数列.3232323232(2)(2)由由(1)(1)知知a an n+1=3+1=33 3

29、n-1n-1=3=3n n.所以所以b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+1)+log+log3 3(a(an n+1)=1+2+1)=1+2+n=+n=n n1,2n12n12112(),bn n1nn1111bbb1111112(1)()()2(1)223nn1n1所以则由由 对任意对任意nNnN*恒成立，得恒成立，得2(1-)2(1-)，即，即m m 对任意对任意nNnN*恒成立恒成立,因为因为 ，所以，所以m4.m4.又因为又因为mNmN*，所以，所以m=1,2,3,4.m=1,2,3,4.12n111mbbb41n1m

30、418(1)n111111n122 2.2.已知数列已知数列aan n 为等比数列为等比数列,其前其前n n项和为项和为S Sn n,已知已知a a1 1+a+a4 4=-,=-,且对于且对于任意的任意的nNnN+,有有S Sn n,S,Sn+2n+2,S,Sn+1n+1成等差数列成等差数列.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)已知已知b bn n=n(nN=n(nN+),),记记T Tn n=若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)对于对于n2n2恒成立恒成立,求实数求实数m m的最小值的最小值.716312n123nbbbb|a

31、aaa，【解析解析】(1)(1)设公比为设公比为q,q,因为因为S S1 1,S,S3 3,S,S2 2成等差数列成等差数列,所以所以2S2S3 3=S=S1 1+S+S2 2,所以所以2a2a1 1(1+q+q(1+q+q2 2)=a)=a1 1(2+q),(2+q),得得q=-q=-又又a a1 1+a+a4 4=a=a1 1(1+q(1+q3 3)=)=所以所以a a1 1=所以所以a an n=a=a1 1q qn-1n-1=1,27,161,2n1().2(2)(2)因为因为b bn n=n,a=n,an n=所以所以 =n=n2 2n n,所以所以T Tn n=1=12+22+22

32、 22 2+3+32 23 3+n+n2 2n n,2T2Tn n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+(n-1)+(n-1)2 2n n+n+n2 2n+1n+1,-得得-T-Tn n=2+2=2+22 2+2+23 3+2+2n n-n-n2 2n+1n+1,所以所以T Tn n=-(-n=-(-n2 2n+1n+1)=(n-1)=(n-1)2 2n+1n+1+2.+2.若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)对于对于n2n2恒成立恒成立,n1(),2nnb|an 12212则则(n-1)(n-1)2 2m(n-1)m(n-1)2 2n+

33、1n+1+2-n-1,+2-n-1,(n-1)(n-1)2 2m(n-1)m(n-1)(2(2n+1n+1-1),-1),所以所以m m 令令f(n)=,f(n+1)-f(n)=f(n)=,f(n+1)-f(n)=所以所以f(n)f(n)为减函数为减函数,所以所以f(n)f(2)=f(n)f(2)=.所以所以m m .n 1n1,21n 1n121n 1n 2n 1n 2n 12n 21nn10,212121 211717考点四考点四 数列的实际应用问题数列的实际应用问题【考情分析考情分析】此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、产量的增加、成本的此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、产

34、量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款等客观背景进行设置降低、存贷款利息的计算、分期付款等客观背景进行设置,它不仅涉它不仅涉及数列中的基本知识和方法及数列中的基本知识和方法,还往往涉及其他学科的知识和常识还往往涉及其他学科的知识和常识【典例典例4 4】(2015(2015苏州模拟苏州模拟)某商店投入某商店投入8181万元经销某种纪念品万元经销某种纪念品,经经销时间共销时间共6060天天,市场调研表明市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第该商店在经销这一产品期间第n n天的利天的利润润a an n=(=(单位单位:万元万元,nN,nN*).).为了获得更多的利润为了获得更多的利润,商

35、店将商店将每天获得的利润投入到次日的经营中每天获得的利润投入到次日的经营中,记第记第n n天的利润率天的利润率b bn n=1,1n20,n,21n60103312anb.n81aa第 天的利润，例如，这 天的投入资金总和(1)(1)求求b b1 1,b,b2 2的值的值.(2)(2)求第求第n n天的利润率天的利润率b bn n.(3)(3)该商店在经销此纪念品期间该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大哪一天的利润率最大?并求该日的利并求该日的利润率润率.【解题提示解题提示】(1)(1)根据利润根据利润a an n和利润率和利润率b bn n的定义求值的定义求值.(2)(2)分分1n2

36、01n20和和21n6021n60两种情况求解两种情况求解.(3)(3)根据根据(2)(2)的结论的结论,利用单调性或基本不等式求解利用单调性或基本不等式求解.【规范解答规范解答】(1)(1)当当n=1n=1时，时，b b1 1=;=;当当n=2n=2时，时，b b2 2=(2)(2)当当1n201n20时，时，a a1 1=a=a2 2=a=a3 3=a=an-1n-1=a=an n=1=1，所以所以b bn n=当当21n6021n60时，时，所以第所以第n n天的利润率天的利润率1811.82n12n 1a1.81aaa80nnn12n 12122n 1na10b81aaa8120aaa

37、2n2n10.1nn1 600101n21 n2020n21,1n20,80nb2n,21n60,nN*.nn1 600(3)(3)当当1n201n20时，时，b bn n=是递减数列，此时是递减数列，此时b bn n的最大值为的最大值为b b1 1=当当21n6021n60时时,b,bn n=(当且仅当当且仅当n=n=，即，即n=40n=40时，时，“=”成立成立).).又因为又因为所以当所以当n=40n=40时，时，(b(bn n)maxmax=所以该商店在经销此纪念品期间，第所以该商店在经销此纪念品期间，第4040天的利润率最大，且该日的天的利润率最大，且该日的利润率为利润率为 180n

38、1;8122n2221 600nn1 600792 1 6001n1n1 600n128179，2.792.79【规律方法规律方法】解答数列实际应用问题的步骤解答数列实际应用问题的步骤(1)(1)确定模型类型确定模型类型:理解题意理解题意,看是哪类数列模型看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表基本特征见下表:数列模型数列模型基本特征基本特征等差数列等差数列均匀增加或者减少均匀增加或者减少等比数列等比数列指数增长指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推简单

39、递推数列数列指数增长的同时又均匀减少指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为如年收入增长率为20%,20%,每年年底要拿出每年年底要拿出a(a(常数常数)作为下年度的开销作为下年度的开销,即数列即数列aan n 满足满足a an+1n+1=1.2a=1.2an n-a-a(2)(2)准确解决模型准确解决模型:解模就是根据数列的知识解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的求数列的通项、数列的和、解方程和、解方程(组组)或者不等式或者不等式(组组)等等,在解模时要注意运算准确在解模时要注意运算准确.(3)(3)给出问题的回答给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实实际应用问

40、题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案际问题的答案,在解题中不要忽视了这点在解题中不要忽视了这点.提醒提醒:一般地一般地,涉及递增率或递减率要用等比数列涉及递增率或递减率要用等比数列,涉及依次增加或减涉及依次增加或减少要用等差数列少要用等差数列,有的问题是可以通过转化得到等差或等比数列的有的问题是可以通过转化得到等差或等比数列的,注注意之间的联系意之间的联系.【变式训练变式训练】从经济效益出发从经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设某地投入资金进行生态环境建设,并以并以此发展旅游产业此发展旅游产业.根据规划根据规划,2015,2015年度投入年度投入800800万元万元,以后每年投入

41、将以后每年投入将比上年减少比上年减少 ,2015,2015年度当地旅游业估计收入年度当地旅游业估计收入400400万元万元,由于该项建设由于该项建设对旅游业的促进作用对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .(1)(1)设设n n年内年内(2015(2015年为第一年年为第一年)总投入为总投入为a an n万元万元,旅游业总收入为旅游业总收入为b bn n万万元元,写出表达式写出表达式.(2)(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?1514【解析解析】(1)(1)第一年投入为第一年投入为800

42、800万元万元,第二年投入为第二年投入为800(1-)800(1-)万元万元,第第n n年的投入为年的投入为800(1-)800(1-)n-1n-1万元万元,所以所以,n,n年内的总投入为年内的总投入为:a an n=800+800(1-)+=800+800(1-)+800(1-)+800(1-)n-1n-1=4000-4000()=4000-4000()n n.1515151545第一年旅游业收入为第一年旅游业收入为400400万元万元,第二年旅游业收入为第二年旅游业收入为400(1+)400(1+)万元万元,第第n n年旅游业收入为年旅游业收入为400(1+)400(1+)n-1n-1万元

43、万元,所以所以,n,n年内的旅游业总收入为年内的旅游业总收入为b bn n=400+400(1+)+=400+400(1+)+400(1+)+400(1+)n-1n-1=1600()=1600()n n-1600.-1600.1414141454(2)(2)设经过设经过n n年旅游业的总收入超过总投入年旅游业的总收入超过总投入,由此由此b bn n-a-an n0,0,即即1600()1600()n n-1600-4000+4000()-1600-4000+4000()n n0,0,化简得化简得2()2()n n+5()+5()n n-70,-70,设设()()n n=x,=x,代入上式代入上

44、式,得得5x5x2 2-7x+20,-7x+20,解此不等式解此不等式,得得x x1(x1(舍去舍去),),即即()()n n ,BBn n,即即40n2n40n2n2 2+2n,+2n,解得解得0n19,0nBBn n恒成立恒成立.令令A An nCCn n,即即40n (240n (2n n-1),-1),可得可得n10,n10,所以当所以当n10nAAn n,综上综上,若你是一名闯关者若你是一名闯关者,当你能冲过的关数小于当你能冲过的关数小于1010时时,应选用第一种应选用第一种奖励方案奖励方案;当你能冲过的关数大于等于当你能冲过的关数大于等于1010时时,应选用第三种奖励方案应选用第三

45、种奖励方案.122.2.一企业的某产品每件利润一企业的某产品每件利润100100元元,在未做电视广告时在未做电视广告时,日销售量为日销售量为b b件件.当对产品做电视广告后当对产品做电视广告后,记每日播记每日播n n次时的日销售量为次时的日销售量为a an n(nN(nN*)件件,调调查发现查发现:每日播一次则日销售量每日播一次则日销售量a a1 1件在件在b b件的基础上增加件的基础上增加 件件,每日播每日播二次则日销售量二次则日销售量a a2 2件在每日播一次时日销售量件在每日播一次时日销售量a a1 1件的基础上增加件的基础上增加 件件,每日播每日播n n次次,该产品的日销售该产品的日销

46、售a an n件在每日播件在每日播n-1n-1次时的日销售量次时的日销售量a an-1n-1件的基础上增加件的基础上增加 件件.合同约定合同约定:每播一次企业需支付广告费每播一次企业需支付广告费2b2b元元.b2b4nb2(1)(1)试求出试求出a an n与与n n的关系式的关系式.(2)(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大,求每日电视广告需播求每日电视广告需播多少次多少次.【解析解析】(1)(1)由题意，电视广告日播由题意，电视广告日播k k次时，该产品的日销售量次时，该产品的日销售量a ak k满足满足a ak k=a=ak-1k-1+(kN

47、+(kN*,a,a0 0=b),=b),所以，该产品每日销售量所以，该产品每日销售量a an n(件件)与电视广告播放量与电视广告播放量n(n(次次/日日)的关系的关系式为式为a an n=b(2-)(nN=b(2-)(nN*).).kb2nn2nn111()bbb122ab()bbb(2)nN*.1222212所以n12(2)(2)该企业每日播放电视广告该企业每日播放电视广告n n次时获利为次时获利为C Cn n=100b(2-)-2bn=100b(2-0.02n-)(nN=100b(2-)-2bn=100b(2-0.02n-)(nN*).).因为因为C Cn n-C-Cn-1n-1=100b(-0.02)0=100b(-0.02)0即即2 2n n50,nN50,nN*,所以所以n5(nNn5(nN*),),因为因为C Cn+1n+1-C-Cn n=100b(-0.02)0=100b(-0.02)02 2n n2525n5,n5,所以所以n=5.n=5.所以要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播所以要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5 5次次.n12n12n12n 112