两个随机变量的函数的分布.ppt

1、两个随机变量的函数的分布2分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令YX为了解决类似的问题下面为了解决类似的问题下面 一、问题的引入一、问题的引入.的分布的分布布确定布确定 Z),(,YXgZYX 的函数关系的函数关系,年龄和体重年龄和体重,有一大群人有一大群人与与并且已知并且已知 Z,表示该人的血压表示该人的血压Z的分的分如何通过如何通过YX,我们讨论随机变量函数的分布我们讨论随机变量函数的分布.3二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量,ijjipyYxXP 的的分分布布律律为为则则随随机机变变量量函函数数

2、),(YXgZ kzZP )(jikyxgzijp,2,1,ji),(kzYXgP .,2,1 k 4三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 ，是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量设设),(YX).,(yxf密度密度它具有概率它具有概率仍为连续型随机变量，仍为连续型随机变量，则则YXZ 其其概率密度为概率密度为 ,d),()(yyyzfzfYX)1.5(或或 .d),()(xxzxfzfYX )2.5(的分布的分布一一YXZ )(相互独立，相互独立，和和又若又若YX的边缘的边缘关于关于设设YXYX,),(5),(),(yfxfYX密度分别为密度分别为分别化为分别化为则则)

3、2.5(),1.5(,d)()()(yyfyzfzfYXYX和和 .d)()()(xxzfxfzfYXYX )3.5()4.5(,的卷积公式的卷积公式和和这两个公式称为这两个公式称为YXff,YXff 记为记为即即 YXff yyfyzfYXd)()(.d)()(xxzfxfYX 6)(zFZzZP ,dd),(yxyxfzyx :G这里积分区域这里积分区域是是zyx 半平面半平面.将二重积分化成累次积分将二重积分化成累次积分,及其左下方的及其左下方的直线直线zyx xyOzyx .dd),(yxyxfyz 得得 )(zFZ证证 ),(zFYXZZ的分布函数的分布函数先来求先来求 即有即有7作

4、变量变换，作变量变换，对积分对积分和和固定固定 yzxyxfyzd),(令令,yux 得得 zyzuyyufxyxfd),(d),(于是于是yuyyufzdd),()(zFZ.dd),(uyyyufz .)1.5(式式由概率密度的定义即得由概率密度的定义即得.)2.5(式式类似可证得类似可证得8例例1 1 .变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机和和设设YX他们都服他们都服,)1,0(分布分布从从其概率密度为其概率密度为 ,e21)(22xXxf ,e21)(22yYyf ,y,x.的概率密度的概率密度求求YXZ 解解 由由(5.4)式式,d)()()(xxzfxfzfYXZ 9xx

5、zxdee212)(222 ,dee212242xzxz ,2zxt 令令得得 )(zfZtzdee2122t-4 42e21z .e2142z.)2,0(分布分布服从服从即即NZ10说明说明 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合),(,211NXYX相互独立且相互独立且设设Y).,(222N仍然服仍然服式经过计算知式经过计算知由由YXZ )4.5().,(222121NZ 且有且有一般一般,从正态分布从正态分布,仍然服从正态分布仍然服从正态分布.11解解 的概率密度为的概率密度为R.d)()()(xxzfxfzfR例例2 在一简单电路中在一简单电路中,

6、串联连接，串联连接，和和两电阻两电阻21RR,21相互独立相互独立设设RR它们的概率密度均为它们的概率密度均为 )(xf,100,5010 xx.,0其他其他.的概率密度的概率密度求电阻求电阻21RRR 由由(5.4)式式,12易知仅当易知仅当 ,100 x,100 xz,100 x,10zxz 即即时上述积分的被积函数不等于零时上述积分的被积函数不等于零.参考下图参考下图,即得即得zxOzx 10 zx10 x102013)(zfR zzxxzfxf0,100,d)()(1010,2010,d)()(zzxxzfxf.,0其他其他 的表达式代入上式得的表达式代入上式得将将)(xf)(zfR.

7、,0其他其他 ,100),60600(15000132 zzzz,2010,)20(1500013 zz14例例3 3 ),(Y,相互独立相互独立设随机变量设随机变量YX且分别服从参数且分别服从参数分布分布的的为为 ,;,),(X 分布分别记成分布分别记成的概率密度分别为的概率密度分别为YX,)(xfX,0,0 ,0,e)(11 xxx .,0其他其他 15)(yfY.0,0 ,分布分布的的服从参数为服从参数为试证明试证明 YXZ).,(YX即即证证 的概率密度为的概率密度为式式由由YXZ )4.5(xxzfxfzfYXZd)()()(易知仅当易知仅当 ,0,e)(11 yyy .,0其他其他

8、 16 亦即亦即 时上述积分的被积函数不等于零时上述积分的被积函数不等于零,于是于是(参见下图参见下图),0)(0 zfzZ时时知当知当时有时有而当而当0 z,0 x,0 xz,0 x,zx zxO)(zfZxxzxxzxzde)()(1e)(1)(110 17xxzxzzd)()()(e101 )(ztx 令令 tttzzd)1()()(e11011 ,e1 zAz 记成记成其中其中 tttAd)1()()(11101 .A现在来计算现在来计算由概率密度的性质得到由概率密度的性质得到:)5.5(18zeAzzd01 1zzfZd)()(d)(01 zezAz ),(A .)(1 A即有即有

9、于是于是)(zfZ).,(YX即即 ,0,e)(11 zzz .,0其他其他 )6.5(19分布分布个相互独立的个相互独立的上述结论还能推广到上述结论还能推广到 n.变量之和的情况变量之和的情况,21相互独立相互独立即若即若nXXX.,1分布分布的的服从参数为服从参数为 nii且且,),2,1(,分布分布的的服从参数为服从参数为 niXii niiX1则则分布分布这一性质称为这一性质称为 的可加性的可加性.20，是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量设设),(YX).,(yxf密度密度它具有概率它具有概率仍为连续型随机变仍为连续型随机变则则XYZXYZ ,其概率密度分别为其概率密度分别为 量

10、量,d),()(xxzxfxzfXY.d),(1)(xxzxfxzfXY 的分布的分布的分布、的分布、二二XYZXYZ )(21.相互独立相互独立和和如果如果YX的边缘的边缘关于关于设设YXYX,),(),(),(yfxfYX密度分别为密度分别为则则.d)()()(xxzfxfxzfYXXY .d)()(1)(xxzfxfxzfYXXY证证 的分布函数为的分布函数为XYZ )(zFXY)7.5()8.5(22 0,dd),(xzxyxyyxfyxyxfGGdd),(21 0,dd),(xzxyxyyxf zXYP )(zFXY xyyxfzxdd),(0 xyyxfzxdd),(0 xyOzy

11、x 1G2GxyO1G2Gzxy 0 z23xuy 令令 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxfxzdd),()(0 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxfxzdd),(uxxuxfxzdd),(.d)()()(xxzfxfxzfYXXY .d)()(1)(xxzfxfxzfYXXY所以所以 类似可得类似可得 24例例4 4 某公司提供一种地震保险某公司提供一种地震保险,度为度为 )(yf ,0,e255 yyy,0其他其他的概率密度为的概率密度为保险赔付保险赔付X)(xg ,0,e515 xx,0其他其他的概率密的概率密保险费保险费Y.的概率密度的概率密

12、度求求XYZ ,相互独立相互独立设设YX25解解 由由(5.7)式知式知,.0)(zfZ时，时，当当0 z时，时，当当0 z的概率密度为的概率密度为Z)(zfZxxxzxde25xze51550 xxzzxde1255102 35)1()3(125zz .)1(23zz 26).()(yFxFYX和和分布函数分别为分布函数分别为,变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设YX它们的它们的,min,maxYXNYXM 及及现求现求都不都不和和等价于等价于不大于不大于由于由于YXzYXM,max,z大于大于故有故有 zMP,zYzXP 的分布的分布及及三三,min,max)(YXNYXM

13、 ,相互独立相互独立又由于又由于YX的的得到得到,maxYXM 分布函数为分布函数为 .的分布函数的分布函数27.zYPzXP )(maxzFzMP,zYzXP 即有即有 ).()()(maxzFzFzFYX 类似地类似地,的分布函数为的分布函数为可得可得,minYXN )(minzF1zNP ,1zYzXP zNP .1zYPzXP 即即 ).(1)(11)(minzFzFzFYX 28的的及及,min,max2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ),2,1()(nixFiXi 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为,21个相互独立的随机变量个

14、相互独立的随机变量是是设设nXXXn则则分布函数分别为分布函数分别为 推广推广 )(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 29分分布布相相互互独独立立且且具具有有相相同同的的当当nXXX,21,)()(maxnzFzF.)(11)(minnzFzF 时有时有函数函数)(xF30例例5 连连统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统21,LLL接而成接而成,连接的方式分别为连接的方式分别为 ,(i)串联串联,(ii)并联并联(iii),(21开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用LL如图如图所示所示.,21YXLL、的寿命分别为的寿命分别为、设设

15、已知它们的概率密度已知它们的概率密度XY1L2LXY2L1LXY2L1L分别为分别为 31 ,0,e xx,0,0 x)(xfX ,0,0 y)(yfY,0,e yy.0,0 且且其中其中试分别就以上三种连接试分别就以上三种连接.的概率密度的概率密度的寿命的寿命方式写出方式写出ZL解解 串联的情况串联的情况(i)就停止就停止系统系统 L,21中有一个损坏时中有一个损坏时由于当由于当LL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L工作工作,32.,minYXZ 的分布函数分布为的分布函数分布为YX,0,0 x)(xFX,0,e1 xx ,0,0 y)(yFY,0,e1 yy的分布函数为的分布函数为,mi

16、nYXZ )(minzF,0,e1)(zz.0,0 z 33的概率密度为的概率密度为,minYXZ )(minzf,0,e)()(zz.0,0 z的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L.,maxYXZ 并联的情况并联的情况(ii),21都损坏时都损坏时由于当且仅当由于当且仅当LL工作工作,才停止才停止系统系统 L)(maxzF)()(zFzFYX ,0),e1)(e1(zzz.0,0 z34的的概概率率密密度度为为,maxYXZ )(maxzf,0,e)(ee)(zzzz.0,0 z 才开始才开始系统系统2L备用的情况备用的情况(iii),1损坏时损坏时由于这时当系统由于这时当系统 L之和：之和

17、：是是的寿命的寿命因此整个系统因此整个系统21,LLZL工作工作,YXZ 的概率密度为的概率密度为时时当当YXZz 035)(zf zyzy0)(deeyyfyzfYXd)()(zyyzy0)(dee .ee zz ,0时时当当 z的概率密度为的概率密度为于是于是YXZ ,0)(zf )(zf,0,ee zzz.0,0 z补充例题补充例题36四、小四、小 结结1.离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律 的联合分布律为的联合分布律为若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量,2,1,jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),(YXgZ ),(kkzYXgPzZP .,2,1 )(kpjikyxgzij372.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 的分布的分布YXZ )1(的分布的分布及及),min(),max()3(YXNYXM 的分布的分布XYZ )2(精品课件资料分享 SL出品精品课件资料分享 SL出品