1、多维随机变量函数的数字特多维随机变量函数的数字特征征复习1：期望多维随机变量函数的数学期望定理 3.3.1 设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则E(Z)=Eg(X,Y)=若X,Y 独立，则 E(X Y)=EX EY一般地，若X1,Xn相互独立,则E(X1 Xn)=EX1 EXn复习2：方差证：第三章 随机变量的数字特征-2 方差1、协方差和相关系数定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)又 E(X-EX)=0,E(Y-EY)=0 所以E(X-EX)(Y-EY)=0。即 COV(X,Y)=0 称COV(X,
2、Y)=E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY为随机变量X,Y的协方差.而 COV(X,X)=DX.为随机变量X,Y的相关系数。2、协方差的性质注意：注意：若E(X-EX)(Y-EY)0,即EXY-EXEY 0，则X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。D(aX+bY)=3、相关系数的性质证明：令：说说 明明X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。例 1例2例3X，Y独立 =0 X，Y不相关。P152注：此结果仅对正态分布成立，对其它分布不成立.矩与协方差矩阵两维随机变量的数字特征 2.矩、协方差矩阵1、基本定义、基本定义矩与协方差矩阵若 E(X k)存在，称之为 X 的 k 阶原点矩
3、。2、n维随机变量的协方差阵定义：设是 n 维随机列向量，并且其中任意两个 分量的协方差都存在，则称 n 阶矩阵 为 n 维随机列向量 的协方差阵由协方差矩阵的定义及协方差的性质，我们可以得到以下几条结论：.n 维随机向量 的协方差阵是 n 阶对称矩阵.n 维随机向量 的分量若相互独立，则其协方差阵是 n 阶对角矩阵.若二维随机向量则二维正态随机向量 的协方差阵为若记此时二维正态分布的密度函数可变形为由上述思想，我们可以给出n 维正态随机向量 的定义.首先，我们给出以下符号：则n 维正态随机向量 的密度函数可定义为：3、n维正态分布其中 C 为 的协方差阵.例1解：(1)求随机变量 和 的密度函数 和 ，及 和 的相关系数(2)(2)问 和 是否独立？为什么？解 （1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此有随机变量 和 的相关系数第三章 随机变量的数字特征-4 矩与协方差矩阵（2）由题设1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差。2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。3 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的 性质与计算。4 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价 性。5 给出了矩与协方差矩阵。第三章 小 结
