高等代数多项式课件.ppt

1、第五章 多项式Polynomial5.1 目的与要求目的与要求 掌握掌握一元多项式一元多项式形式的准确描述形式的准确描述;理解理解Kx对于多项式的加法对于多项式的加法,数乘数乘,乘法构乘法构成成K代数代数;掌握掌握用用多项式的次数多项式的次数来解题的方法来解题的方法.110nnnna xaxa )(xf1100K|Z,K,0nnnnixa xaxanain 2x 0iix 2 3x211xx 21110()nnnnf xa xaxa xa 1110()mmmmg xb xbxb xb 1110()nnnnf xa xaxa xa 1110()nnnng xb xbxb xb 1111100()

2、()()()()()nnnnnnf xg xab xabxab xab 1100K|Z,K,0nnnnixa xaxanain 1110(),Knnnnf xa xaxa xac 1110()nnnncf xca xcaxca xca ()()()()c f xg xcf xcg x()()()()cd f xcf xdf x ()()()cd f xc df x 1()()fxfx 1110()K nnnnf xa xaxa xax 1110()K mmmmg xb xbxb xbx 1110()n mn mn mn mh xcxcxc xc nmnmca b 111nmnmnmcaba b

3、 0110kijkkkijkca ba ba ba b 000ca b K x 5.2 目的与要求目的与要求 掌握掌握带余除法带余除法的内容和证明方法的内容和证明方法;熟练熟练用带余除法、待定系数法、凑项法解用带余除法、待定系数法、凑项法解答有关整除问题答有关整除问题.|5.3 目的与要求目的与要求 熟练掌握熟练掌握最大公因式最大公因式的概念、性质与结论的概念、性质与结论;熟练掌握熟练掌握互素互素的概念和充要条件的概念和充要条件;了解了解中国剩余定理中国剩余定理的内容和思想方法的内容和思想方法.()1(mod()()0(mod(),iiijfxp xfxpxji ijjijniiaaaxbxL

4、1)(5.4 目的与要求目的与要求 熟练掌握熟练掌握不可约因式不可约因式的基本性质的基本性质;掌握掌握因式分解定理因式分解定理的存在性与唯一性的证的存在性与唯一性的证明方法明方法;熟练熟练利用利用标准分解式标准分解式解决相关问题解决相关问题;理解理解重因式重因式的概念与判定方法的概念与判定方法.1212()()().()meeemf xcpx pxpx 1212()()().()mbbbmg xpx pxpx 1212()()().()maaamf xpx pxpx 12121.()()()().(),1;mcccmiiif x g xpx pxpx cabim 12122.(),()()()

5、.(),min,1;mdddmiiif xg xpx pxpx da bim12123.(),()()().(),max,1;meeemiiif xg xpx pxpx ea bim4.(),()(),()()();f xg xf xg xf x g x 5.()|(),1.iif xg xabim()|()iepxf x1()|()iepxf x 1212()()().()meeemf xcpx pxpx 1211112()()().()meeemd xpx pxpx 112()()().().mfxcpx pxpx 5.5 目的与要求目的与要求 理解理解多项式可作为多项式可作为函数函数的根

6、的性质的根的性质;理解理解两个多项式相等两个多项式相等作为函数相等作为函数相等;了解了解多项式的性质与多项式的性质与数域数域扩大的关系扩大的关系;能应用能应用多项式的函数性质解决相关问题多项式的函数性质解决相关问题.():()f xbf b1()|(),kxbf x KF5.6 目的与要求目的与要求 理解理解代数基本定理代数基本定理与与Cx上多项式标准分上多项式标准分解式解式;熟练掌握熟练掌握Vieta定理定理;了解了解一元三次、四次方程的一元三次、四次方程的根式解法根式解法以及以及Galois在根式解问题的重大贡献在根式解问题的重大贡献.1212()()().()meeemf xc xaxa

7、xa1.miien 1211,niijiij nxpx xp 3121,.(1).nijknnij k nx x xpx xxp 13xya1230,xxp xp 2333123,xq xqxq13.22i 3313uvpuvq 33333127u vpuvq 32027pzqz232333,24272427qqpqqpuv 23427qp 33123322333222222qqxqqxqqx 14xya2222*()()0()24uuxua xbxc224()()04ubuac222()()022ubxuaxua 2022ubxuaxua 2022ubxuaxua 12111,.,nxxx1

8、23,123213312(),(),().5.7 目的与要求目的与要求 熟练掌握熟练掌握实系数多项式实系数多项式的标准分解式的标准分解式;学会学会实系数多项式的实系数多项式的实根的上下界的估计实根的上下界的估计;掌握掌握计算实根个数的计算实根个数的Sturm方法方法;学习学习一些解决实系数多项式问题的方法和一些解决实系数多项式问题的方法和技巧技巧.1122111()()()()()mreellmrrf xd xaxaxb xcxb xc 1.knbca1knbca 11101111111().1(.1)1(1)(1)(1)11(1)(1)011nnn knnn kn knn kn knnnnn

9、 knn knnn kkn kknnf ca cacaca caca cb cca cbca ccb ca ccbcccca ccbca cbcc (1)0,10kna cbc且且0 cxc cxc 120.0231nccccn 5.8 目的与要求目的与要求 学会学会用用综合除法综合除法等方法求一些等方法求一些Q上多项式的上多项式的有理根有理根;理解理解Z上多项式在上多项式在Q上可约性的关系上可约性的关系;熟练应用熟练应用Einsenstein判别法判别法;了解了解Q上多项式分解上多项式分解问题的一些技巧与方法问题的一些技巧与方法.(1)(1),11ff 2()1.2!nxxf xxn4321

10、5151()26663f xxxxx12()()().()1nf xxaxaxa12,.,na aa22212()()().()1nf xxaxaxa12,.,na aa5.9 目的与要求目的与要求 掌握掌握多元多项式多元多项式的的字典排序法字典排序法和和齐次排序齐次排序法法;理解理解多元多项式与多元多项式与多元多项式函数多元多项式函数的关系的关系.1212,Kniiinax xxa121 212.12(,.,)nniiini iinf xxxax xx 1212niiinax xx63323334422312324123243526x xx x xx xx x xx x324121x xx

11、22232331121x xx xx xx121 212.12(,.,)nniiini iinf xxxax xx 63323334422312324123243526x xx x xx xx x xx x324121x xx 22232331121x xx xx xx.ABADCBCD5.10 目的与要求目的与要求 正确理解正确理解对称多项式对称多项式的基本定理的基本定理;掌握掌握将对称多项式化为将对称多项式化为初等对称多项式初等对称多项式的的方法方法;掌握掌握Newton公式公式,能用于具体计算能用于具体计算.nnjnjiinnniinxxxxxxxxxxxxxxx 21113121212

12、11123,01,1,2,.nkkiisn sxk 11011()(.)()()kkkkkxfxs xs xsxsf xg x 111()().().(1).nnnnnf xxxxxxx 1112211.(1)(1)0;kkkkkkkssss 1122.(1)0.nkkkk nnssss 12342222123433331234444412344444xxxxxxxxxxxxxxxx 5.11 目的与要求目的与要求 掌握掌握两个一元多项式的两个一元多项式的结式结式的定义与的定义与公根公根的判定的判定;学会学会计算一元多项式的计算一元多项式的判别式判别式和二元二次和二元二次方程组根式法求解方程组根式法求解.01201102100120101000000000(,)000000nnnnnnmaaaaaaaaaaaaaR f gbbbbbbbb )(),(1100iminjjnmyxbagfR1(1)120()(1)(,)n nfa R ff 22201()()njij i nfaxx