174二次三项式的因式分解-求根公式法解析课件.ppt

1、知识回顾我们学过哪几种因式分解的方法？请完成我们学过哪几种因式分解的方法？请完成以下因式的分解：以下因式的分解：20(0)axbx ca 方程的求根公式是xx622162x962 xx232 xx242bbacxa)(042 acb说出一元二次方程的求根公式说出一元二次方程的求根公式因式分解因式分解1、提公因式法提公因式法2、公式法公式法 平方差公式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)差差-完全平方公式完全平方公式a22ab+b2=(ab)23.十字相乘法十字相乘法abxbax)(24.分组分解法分组分解法口诀口诀首先提取公因式，首先提取公因式，两项式平方差两项式平方差 三项式三项式完全

2、平方完全平方,十字相乘十字相乘 四项式四项式分组分解分组分解:有三个平方的项，有三个平方的项，3 3，1 1分组；先完再差分组；先完再差其余二、二分组，最后要提大公因其余二、二分组，最后要提大公因五项式 3，2分组，完十六项式六项式，有有三项三项为为二次式二次式，两项一次两项一次式，式，一项常数项一项常数项 ，3 3。2 2。1 1分组，构成分组，构成二次三项式二次三项式有有4 4个平方的项，个平方的项，3 3。3 3分组分组，完完差完完差其它其它3 3。3 3或或2 2。2 2。2 2分组提公因式分组提公因式注：最后只能有小括号注：最后只能有小括号；如有中括号，小括号计算打如有中括号，小括号

3、计算打开开中括号自动变小括号中括号自动变小括号 口诀要每个小括号念口诀要每个小括号念最后能写乘方要写乘方最后能写乘方要写乘方 不能分解连乘式不能分解连乘式.233 )32)(32(3)2(34222xxxx解解:342x思路启迪：思路启迪：利用利用 可以把任何一可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式个非负数或非负式子写成完全平方形式 02aaa练一练练一练:把下列各式分解因式把下列各式分解因式:(1)x2 2221222xxx解：（）原式103)2(2a22103)2(）（）（原式a)103)(103(aa把下列各式分解因式；把下列各式分解因式；9)3(4a96)4(24 aa2223

4、)3(）（原式a22)3()4(a原式)3)(3(22aa)3)(3)(3(2aaa22)3()3(aa（默（默1）2)1(2 xx2(2)32xx-+-以上四个式子有什么共同点？以上四个式子有什么共同点？未知数未知数x的最高次数是的最高次数是2次，并且有一次项和常数项，次，并且有一次项和常数项，共有三项。共有三项。2(4)322xx-2(3)441xx+)0(2acbxax 我们把我们把叫做关于叫做关于x的的二次三项式二次三项式答案：答案：(1)原式原式=(x+1)(x-2)(2)原式原式=-(x-1)(x-2)(4)？2)1(2 xx2(2)32xx-+-2(4)22xx-将下列二次三项式

5、因式分解将下列二次三项式因式分解2(3)441xx+(3)原式原式=(2x+1)2十字相乘法十字相乘法十字相乘法十字相乘法公式法公式法二次三项式 ax2+bx+c（a0)的因式分解269_xx+=分解因式2690 xx+=的解是_2760 xx-+=的解是_276_xx-+=分解因式241290_xx-+=的解是24129_xx-+=分解因式23740_xx+=的解是2374_xx+=分解因式123xx=-2(3)x+121,6xx=(1)(6)xx-1232xx=2(23)x-234()2x=-124,13xx=-=-(34)(1)xx+43()(1)3xx=+二次三项式 ax2+bx+c（

6、a0)的因式分解ax2+bx+c=0(a0)的解是的解是分解因式分解因式ax2+bx+c（a0)12xx、12()()a xxxx-（默（默2）以上的结论怎样证明？以上的结论怎样证明？证明：设一元二次方程证明：设一元二次方程aacbbxaacbbxxxacbxax24,24)0(02221212则，的两根是)(21212xxxxxxa那么写出代数式12()()a xxxx-12()()a xx xx-二次三项式 ax2+bx+c（a0)的因式分解=上面等式，从右到左就是把上面等式，从右到左就是把ax2+bx+c分解因式分解因式.简单应用例：已知一元二次方程 的两个根是 ，于是可以把二次三项式

7、分解因式，得 04222 xx2,121xx)2)(1(24222xxxx4222 xx 思考：思考：对任意一个二次三项式对任意一个二次三项式 ，都能在实数范围内分解因式吗？例如：都能在实数范围内分解因式吗？例如：4322 xxcbxax2所以所以 在实数范围内不能分解因式。在实数范围内不能分解因式。4322 xx思考：思考：对任意一个二次三项式对任意一个二次三项式 ，都能在实数范围内分解因式吗？例如：都能在实数范围内分解因式吗？例如：4322 xxcbxax204322 xx事实上，方程事实上，方程 的判别式的判别式01342432=方程没有实数根方程没有实数根一般地一般地,要在实数范围要在

8、实数范围 内分解二次三项式内分解二次三项式ax2+bx+c(a0),只要用公式只要用公式法求出相应的一元二次方程法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),的的两个根两个根x1,x2,然后直然后直接将接将ax2+bx+c写成写成a(x-x1)(x-x2),就就可以了可以了.即即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).:把下列各式分解因式(1 3)(1 3)xx=-+-222xx-222xx-解：解方程解：解方程，2220 xx-=2412bac-=1213,13xx=-=+原方程的实数根是原方程的实数根是二次三项式二次三项式 ax2+bx+c（a0)因式分解因式分解在有理数范围

9、内不能分解时在有理数范围内不能分解时求根公式法求根公式法3123222122xxx)31()31(xx0（默（默3）例例 把把8652 xx分解因式分解因式1014610196652)8(54662x2,5421xx原方程的实数根)2)(54(58652xxxx)2)(45(xx此步的目的是去掉括号内的分母解：解方程解：解方程 ，08652 xx019642 acb1014610146xx或254xx或5822 xx把把分解因式分解因式解解:解方程解方程05822 xx0245248422 acb2644)64(246284248x264264xx或原方程的实数根是原方程的实数根是 2641x

10、2642x)264)(264(25822xxxx这里系数这里系数2无法全部化去两个因式无法全部化去两个因式里的分母，因此保持原来的形式里的分母，因此保持原来的形式（默（默4）(1)解解:解方程解方程01842 xx0801448422 acb2528)52(485488808x252252xx或原方程的实数根是原方程的实数根是 2521x2522x（默（默5）(2)解解:解方程解方程01322 xx0171243422 acb6173x61736173xx或原方程的实数根是原方程的实数根是 61731x61732x(3)解解:解方程解方程03362xx075364)3(422 acb12353

11、12753x12353 x12353 x或2333xx或原方程的实数根是原方程的实数根是 331x232x用求根公式分解二次三项式用求根公式分解二次三项式)0(2acbxax其其程序是固定的，即：程序是固定的，即：（1）第一步：解方程）第一步：解方程02cbxax（2）第二步：求出方程的两个根）第二步：求出方程的两个根;,21xx；（3）因式分解）因式分解)(212xxxxacbxax（默（默6）二次三项式的因式分解常见方法通常有：二次三项式的因式分解常见方法通常有：十字相乘法十字相乘法公式法公式法(完全平方公式完全平方公式)求根公式法求根公式法0且是一个完全平方数（式）且是一个完全平方数（式

12、）000不能分解不能分解0且不是完全平方式时，适合用求根公式法且不是完全平方式时，适合用求根公式法二次三项式在实数范围内二次三项式在实数范围内1)能分解能分解2)不能分解不能分解3)能分解成相同的两个因式能分解成相同的两个因式在有理数范围内因式分解在有理数范围内因式分解在实数范围在实数范围 内内因式因式分解分解（默（默6）口诀口诀首先提取公因式，首先提取公因式，两项式平方差两项式平方差 三项式三项式完全平方完全平方,十字相乘十字相乘 四项式四项式分组分解分组分解:有三个平方的项，有三个平方的项，3 3，1 1分组；先完再差分组；先完再差其余二、二分组，最后要提大公因其余二、二分组，最后要提大公

13、因五项式 3，2分组，完十六项式六项式，有有三项三项为为二次式二次式，两项一次两项一次式，式，一项常数项一项常数项 ，3 3。2 2。1 1分组，构成分组，构成二次三项式二次三项式有有4 4个平方的项，个平方的项，3 3。3 3分组分组，完完差完完差其它其它3 3。3 3或或2 2。2 2。2 2分组提公因式分组提公因式注：最后只能有小括号注：最后只能有小括号；如有中括号，小括号计算打开如有中括号，小括号计算打开中括号自动变小括号中括号自动变小括号 口诀要每个小括号念口诀要每个小括号念最后能写乘方要写乘方最后能写乘方要写乘方 不能分解连乘式不能分解连乘式.求根公式法求根公式法例 把 分解因式2

14、2243yxyxy422y将本题看作是关于将本题看作是关于x的二次三项式，的二次三项式，所以应把所以应把y看作常数看作常数二次项系数二次项系数:3一次项系数一次项系数:常数项常数项解解:024322yxyxx方程解关于的040234)4(42222yyyacbyyyyyyx31026)102(26102464042yxyx31023102或yx31021yx3102222243yxyxyxyx310231023不要漏了不要漏了y（默（默7）原方程的实数根是原方程的实数根是 22243yxyx将本题将本题看作是关于看作是关于y的二次三项式，的二次三项式，所以应把所以应把x看作常数看作常数2234

15、2xxyy解解:034222xxyyy的方程解关于040324)4(42222xxxacbxxxxxxy21024)102(24102444042xyxy21022102或xy21021xy2102222342xxyyxyxy210221022不要漏了不要漏了x034222xxyy 原方程的实数根是原方程的实数根是在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式2234xxyy+-)372)(3723yxyx（22522mmnn+-111111()()55mnmn-+当当m为何值时，二次三项式为何值时，二次三项式2x2+6x m（1）在实数范围内能分解；（）在实数范围内能分解；（2）不能分解；）不能分

16、解；（3）能分解成两个相同的因式）能分解成两个相同的因式5（默（默8）B组组（1）在实数范围内分解因式）在实数范围内分解因式为2243yxyx2.选择题选择题若若5)12(22kxkx是是关于关于x 的完全平方式，则的完全平方式，则K的值为的值为（）419、A419、B2、C2、D)372)(3723yxyx（B破题思路由由=0194)5(14)12(22kkk419 k因式分解因式分解1、提公因式法提公因式法2、公式法公式法 平方差公式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)差差-完全平方公式完全平方公式a22ab+b2=(ab)23.十字相乘法十字相乘法abxbax)(24.分组分解法分

17、组分解法5.求根公式法求根公式法口诀口诀首先提取公因式，首先提取公因式，两项式平方差两项式平方差 三项式三项式完全平方完全平方,十字相乘十字相乘 四项式四项式分组分解分组分解:有三个平方的项，有三个平方的项，3 3，1 1分组；先完再差分组；先完再差其余二、二分组，最后要提大公因其余二、二分组，最后要提大公因五项式 3，2分组，完十六项式六项式，有有三项三项为为二次式二次式，两项一次两项一次式，式，一项常数项一项常数项 ，3 3。2 2。1 1分组，构成分组，构成二次三项式二次三项式有有4 4个平方的项，个平方的项，3 3。3 3分组分组，完完差完完差其它其它3 3。3 3或或2 2。2 2。

18、2 2分组提公因式分组提公因式注：最后只能有小括号注：最后只能有小括号；如有中括号，小括号计算打开如有中括号，小括号计算打开中括号自动变小括号中括号自动变小括号 口诀要每个小括号念口诀要每个小括号念最后能写乘方要写乘方最后能写乘方要写乘方 在实数范围在实数范围 内分解内分解不能分解连乘式不能分解连乘式.求根公式法求根公式法小结小结1.对于不易用以前学过的方法：对于不易用以前学过的方法：cbxax2)()(2bxaxabxbax分解二次三项式分解二次三项式宜用一元二次方程的宜用一元二次方程的求根公式分解因式。求根公式分解因式。用公式法求出相应的一元二次方程用公式法求出相应的一元二次方程ax2+b

19、x+c=0(ao),的两个根的两个根x1,x2,然后直接将然后直接将ax2+bx+c写成写成a(x-x1)(x-x2),就可以了就可以了.即即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).0不能分解不能分解0且不是完全平方式时，适合用求根公式法且不是完全平方式时，适合用求根公式法十字相乘法十字相乘法公式法（完全平方公式）公式法（完全平方公式）求根公式法求根公式法0且是一个完全平方数（式）且是一个完全平方数（式）00常见方法常见方法在有理数范围内因式分解在有理数范围内因式分解在实数范围在实数范围 内内因式因式分解分解注意：注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式因式分解是恒等变形，所以公式)(21

20、2xxxxacbxax中的因式中的因式 千万不能忽略。千万不能忽略。2.在分解二次三项式在分解二次三项式cbxax2的的因式时，可先用求根公式求出方程因式时，可先用求根公式求出方程02cbxax的的两个根两个根x1,x2然后然后,写成写成)(212xxxxacbxaxa1.对于不易用以前学过的方法：对于不易用以前学过的方法：cbxax2)()(2bxaxabxbax分解二次三项式分解二次三项式宜用一元二次方程的宜用一元二次方程的求根公式分解因式。求根公式分解因式。2.当当因式；在实数范围内可以分解时，cbxaxacb2204因式；在实数范围内不能分解时，cbxaxacb2204当当(例如：分解

21、因式例如：分解因式2322 xx在在实数范围内不能分解实数范围内不能分解)用求根公式分解二次三项式用求根公式分解二次三项式)0(2acbxax其其程序是固定的，即：程序是固定的，即：（1）第一步：解）第一步：解 方程方程02cbxax（2）第二步：求出方程的两个根）第二步：求出方程的两个根;,21xx；（3）因式分解）因式分解)(212xxxxacbxax课堂练习课堂练习A 组组1.填空题填空题（1）若方程）若方程分解为则的两根为cbxaxxxcbxax2212,0（2）分解因式：）分解因式：=35)3(2xx在实数范围内分解因式)(21xxxxa)12)(8(xx)2)(73(yxyx)21

22、35)(2135(xx96202xx227116yxyx2.选择题选择题（1）已知方程）已知方程,2130322和的两根为axx分解因式的结果为则322axx（）)21)(3(xxA、)21)(3(2xxB、)21)(3(2xxC、)21)(3(2xxD、（2）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（）1562 xxA、2242yxyxC、22542yxyxD、DD3732 yyB、xxabax+bx=用十字相乘法进行因式分解：(x+2)(x-3)(x+2)(x-3)1.x1.x2 2-x-6=-x-6=(x-3)(x+5)(x-3)(x+5)

23、2.x2.x2 2+2x-15=+2x-15=(x+2)(x-5)(x+2)(x-5)3.x3.x2 2-3x-10=-3x-10=(x-5)(x-4)(x-5)(x-4)4.x4.x2 2-9x+20=-9x+20=(x-7)(x+4)(x-7)(x+4)5.x5.x2 2-3x-28=-3x-28=(x+2)(x-4)(x+2)(x-4)6.x6.x2 2-2x-8=-2x-8=(x-1)(x-3)(x-1)(x-3)7.x7.x2 2-4x+3=-4x+3=(x+3)(x+4)(x+3)(x+4)(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)(x-3)(x+7)(x-3)(x+7)8.x8.x

24、2 2+7x+12=+7x+12=9.x9.x2 2+5x+6=+5x+6=10.x10.x2 2+4x-21=+4x-21=(y+12)(y-3)(y+12)(y-3)11.y11.y2 2+9y-36=+9y-36=(y-9)(y+14)(y-9)(y+14)(y+4)(y-15)(y+4)(y-15)(y-7)(y+16)(y-7)(y+16)(y-8)(y-17)(y-8)(y-17)(y+16)(y+3)(y+16)(y+3)(y+19)(y-7)(y+19)(y-7)(y+11)(y-10)(y+11)(y-10)(y-13)(y-3)(y-13)(y-3)(y+14)(y+4)(

25、y+14)(y+4)13.y13.y2 2-11y-60=-11y-60=12.y12.y2 2+5y-126=+5y-126=14.y14.y2 2+9y-112=+9y-112=15.y15.y2 2-25y+136=-25y+136=16.y16.y2 2+19y+48=+19y+48=17.y17.y2 2+12y-133=+12y-133=18.y18.y2 2+y-110=+y-110=19.y19.y2 2-16y+39=-16y+39=20.y20.y2 2+18y+56=+18y+56=3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是()A

26、.x x2 2-y-y B.x x2 2+2x+2x C.x x2 2+y+y2 2 D.x x2 2-xy+y-xy+y2 2 热身热身1.(2004年年南京南京)分解因式：分解因式：3x3x2 2-3=-3=.2.(2004河北河北)分解因式：分解因式：X X2 2+2xy+y+2xy+y2 2-4=-4=.3(x+1)(x-1)3(x+1)(x-1)(x+y+2)(x+y-2)(x+y+2)(x+y-2)B4.(2004年年济南济南)分解因式：分解因式：a a2 2-4a+4=-4a+4=.(a-2)(a-2)2 25.(20045.(2004年年桂林桂林)分解因式：分解因式：a a3

27、3+2a+2a2 2+a=+a=.a(a+1)26.(20046.(2004年年呼和浩特呼和浩特)将下列式子因式分解将下列式子因式分解 x-xx-x2 2-y+y-y+y2 2=.(x-y)(1-x-y)(x-y)(1-x-y)7.(2004年年北京市北京市)分解因式：分解因式：x x2 2-4y-4y2 2+x-2y=+x-2y=.(x-2y)(1+x+2y)(x-2y)(1+x+2y)9.(2004年年北京北京)多项式多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果为分解因式的结果为 ()A.(a-b)(a+b+c)B.(a-b)(a+b-c)C.(a+b)(a+b-c)D.(a+b)(a-b+

28、c)10.(2004年年宁夏宁夏)把多项式把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结分解因式的结 果为果为 ()A.(1-x-y)(1+x-y)B.(1+x-y)(1-x+y)C.(1-x-y)(1-x+y)D.(1+x-y)(1+x+y)AB8.(2004年年甘肃甘肃)为使为使x2-7x+b在整数范围内可以分解在整数范围内可以分解因式，则因式，则b可能取的值为可能取的值为 .（任写一个）（任写一个）11.(2004年年福州市福州市)分解因式：分解因式：a2-25=.12.(2004年年陕西陕西)分解因式：分解因式：x3y2-4x=.13.(2004年年长沙长沙)分解因式：分解因式：xy2-x

29、2y=.x(xy+2)(xy-2)(a+5)(a-5)xy(y-x)y(x-2)214.(2004年年青海青海)分解因式：分解因式：x2y-4xy+4y=.15.(2004年年哈尔滨哈尔滨)分解因式：分解因式：a2-2ab+b2-c2=.(a-b+c)(a-b-c)1.1.因式分解应进行到底因式分解应进行到底.如：分解因式：如：分解因式：x x4 4-4=(x-4=(x2 2+2)(x+2)(x2 2-2)-2)=(x=(x2 2+2)(x+)(x-).+2)(x+)(x-).应在实数范围内将它分解到底应在实数范围内将它分解到底.又如：分解因式又如：分解因式:2x:2x2 2-8x-6=2(x

30、-8x-6=2(x2 2-4x-3)-4x-3)令令x x2 2-4x-3=0-4x-3=0，则则x=2x=22x2x2 2-8x-6=2(x-2+)(x-2-)-8x-6=2(x-2+)(x-2-)222)3(416427247772.2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原.如如:(a:(a2 2+b+b2 2)-4a-4a2 2b b2 2 =(a =(a2 2+b+b2 2+2ab)(a+2ab)(a2 2+b+b2 2-2ab)-2ab)=(a+b)=(a+b)2 2(a-b)(a-b)2 2 =(a+b)(a-b)(a+b)(a-

31、b)2 2 =(a =(a2 2-b-b2 2)2 2 =a =a4 4-2a-2a2 2b b2 2+b+b4 4实际该题到第实际该题到第2 2个等于号就分解到底了，不能再向下个等于号就分解到底了，不能再向下计算了计算了!3.3.注意解题的技巧的应用，不能死算注意解题的技巧的应用，不能死算.如：分解因式如：分解因式(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9=(x+1)(x+7)(x+1)(x+7)(x+3)(x+4)(x+3)(x+4)-9-9=(x=(x2 2+8x+7)(x+8x+7)(x2 2+8x+15)-9+8x+15)-9=(x x2

32、 2+8x+8x)+7)+7(x x2 2+8x+8x)+15)+15-9-9=(=(x x2 2+8x+8x)2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+105-9)+105-9=(=(x x2 2+8x+8x)2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+96)+96=(=(x x2 2+8x+8x+6)(+6)(x x2 2+8x+8x+16)+16)=(x=(x2 2+8x+6)(x+4)+8x+6)(x+4)2 2（20072007年株洲市年株洲市）分解因式分解因式(x(x4 4+x+x2 2-4)(x-4)(x4 4+x+x2 2+3)+10+3)+10 分析分析:把把“

33、x x4 4+x+x2”2”作为一个整体，用一个新字母代替，作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构从而简化式子的结构.解：令解：令x x4 4+x+x2 2=m=m，则原式可化为则原式可化为(m-4)(m+3)+10(m-4)(m+3)+10=m=m2 2-m-12+10-m-12+10=m=m2 2-m-2-m-2=(m-2)(m+1)=(m-2)(m+1)=(x=(x4 4+x+x2 2-2)(x-2)(x4 4+x+x2 2+1)+1)=(x=(x2 2+2)(x+2)(x2 2-1)(x-1)(x4 4+x+x2 2+1)+1)=(x=(x2 2+2)(x+1)(x-1)(x+2)(x+1)(x-1)(x4 4+x+x2 2+1)+1)