模糊关系矩阵的定义和计算方法通常采用笛卡尔积算子课件.ppt

1、第二章第二章 模糊控制的理论基础模糊控制的理论基础模糊控制的发展模糊控制的发展模糊集合论基础模糊集合论基础模糊逻辑、推理和合成模糊逻辑、推理和合成主要内容：主要内容：模糊集合论模糊集合论第一节第一节 引言引言 模糊数学理论模糊数学理论 模糊规则模糊规则 最优模糊控制最优模糊控制 预测模糊控制预测模糊控制 多输入模糊控制多输入模糊控制内模模糊控制内模模糊控制 模糊神经网络模糊神经网络1974年年E.H.Mamdani 应用模糊数学理论进行蒸汽机和应用模糊数学理论进行蒸汽机和锅炉控制方面的研究锅炉控制方面的研究模糊控制的诞生模糊控制的诞生:1965年年L.A.Zadeh（Information a

2、nd Control）提出模糊集合理论。提出模糊集合理论。反对反对:u模糊隶属度函数的确定具有主观臆断性和人为模糊隶属度函数的确定具有主观臆断性和人为 经验技巧色彩，没有严格的系统方法，不可靠经验技巧色彩，没有严格的系统方法，不可靠u模糊逻辑是改头换面的的概率理论模糊逻辑是改头换面的的概率理论模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。（1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型

3、。模糊控制系统结构示意图 总总 结结 由于采用了定性的、不精确的控制规则，模糊控制是由于采用了定性的、不精确的控制规则，模糊控制是一种更人性化的控制方法，用模糊逻辑处理和分析现一种更人性化的控制方法，用模糊逻辑处理和分析现实问题。实问题。天气冷热天气冷热雨的大小雨的大小风的强弱风的强弱人的胖瘦人的胖瘦年龄大小年龄大小个子高低个子高低第二节第二节 模糊集合论基础模糊集合论基础0.100.1,xRxxA一、模糊集的概念一、模糊集的概念 经典集合：列举法、定义法、归纳法、特征函数表示法、经典集合：列举法、定义法、归纳法、特征函数表示法、通过某些集合的运算通过某些集合的运算对任意元素对任意元素x，只有

4、两种可能：属于，只有两种可能：属于A，不属于，不属于A。这。这种特性可以用特征函数种特性可以用特征函数 来描述：来描述：)(xAAxAxxA01)(0.100.1,xRxxA 经典集合论描述的是有明确分界线的元素的组合，经典集合论描述的是有明确分界线的元素的组合，有着高度的严密性和精确性。比如：有着高度的严密性和精确性。比如：5Uu uu为自然数且但经典集合论无法描述模糊概念，因为模糊概念没有明确但经典集合论无法描述模糊概念，因为模糊概念没有明确的外延。的外延。例例1：人感觉冷暖的程度人感觉冷暖的程度经典集合经典集合模糊集合模糊集合热热经典集合：经典集合：模糊集合：模糊集合：将简单的将简单的“

5、属于属于/不属于不属于”的概念扩展的概念扩展成成 从从0到到1之间连续的变化值来描述元素的之间连续的变化值来描述元素的 属于程度。属于程度。AxAxAxxA0)1,0(1)(的程度属于AxAxxA01)(2、模糊集的定义、模糊集的定义 论域论域 中的模糊集中的模糊集F用一个在区间用一个在区间0 1上的取值的隶属函数上的取值的隶属函数 来表示，即：来表示，即：FU:0,1FU()1Fu表示表示 完全属于完全属于 ；()0Fuu表示表示 完全不属于完全不属于 ；FFu0()1Fu表示表示 部分属于部分属于 ；Fu隶属函数隶属函数 是用来说明是用来说明 隶属于隶属于 的程度，那么的程度，那么 中中的

6、模糊集的模糊集 ,FuF可以用元素可以用元素 和它的隶属度来表示：和它的隶属度来表示：UFu(,()FFuuuU例例2：设设F表示远远大于表示远远大于0的实数集合，则它的隶属度函数可的实数集合，则它的隶属度函数可以用下式来定义以用下式来定义20 x01()x01001Fxx(5)F(10)F(20)F表示表示5属于远远大于属于远远大于0的程度只有的程度只有0.21()/()/nFiiiFUUUuuFuu为离散对象为连续空间查德表示法查德表示法序偶表示法序偶表示法向量表示法向量表示法1122(,(),(,(),.,(,()nnFuuuuuu12(),(),.,()nFuuu注意注意:并非求和、积

7、分和除号，并非求和、积分和除号，只是一种只是一种表示集合的方式，表示集合的方式，/表示一种对应关系。表示一种对应关系。/3、模糊集合的表示法、模糊集合的表示法AAuCA学习差学习好01)(,0.850.95,0.90A 100/)(xxA1002552512500)(12xxxxY200,0X 02040608010012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91X YearsDegree of membership1002552512500)(12xxxxY例例3：如果如果X=上海上海 北京北京 天津天津 西安西安为城市的集合。为城市的集合。模糊集合模糊集合“对城市的爱好对

8、城市的爱好”表示为：表示为：C=(上海上海,0.8),(北京北京,0.9),(天津天津,0.7),(西安西安,0.6)C=0.8/上海上海+0.9/北京北京+0.7/天津天津+0.6/西安西安那么用公式表示该模糊集合，可以表示为：那么用公式表示该模糊集合，可以表示为：例例4：考虑论域考虑论域U=0,1,2,10和模糊集和模糊集F“接近于接近于0的整数的整数”,它的离散隶属度函数表示它的离散隶属度函数表示F=1.0/0+0.9/1+0.75/2+0.5/3+0.2/4+0.1/5求它的隶属度函数的序偶表示法和向量表示法求它的隶属度函数的序偶表示法和向量表示法(1)论域论域 中模糊子集的全体，称为

9、中模糊子集的全体，称为 中的模糊幂集记做中的模糊幂集记做 ，UU()F U即：即：():0,1AF UAU对于任一对于任一 ，若，若 ，则称，则称 为空集为空集 ；若若 ，则称，则称 为全集为全集 ；uU0AA1AAAU(2)设设 是论域是论域 的模糊集合，的模糊集合，,A BU,()A BF U包含或子集的定义：包含或子集的定义：()()ABABxx二、模糊集合的运算二、模糊集合的运算)(1)(,xxAAAAA或非)()()(),(max(xxxxBACBABACmin(),()()()CABABCABxxxx(3)并（析取）并（析取）：符号符号 为取极大值运算为取极大值运算(4)交（合取）

10、交（合取）：符号符号 为取极小值运算为取极小值运算(5)补（负）补（负）：0()1 0.80.2Au 0u8.0)(0uA0u例例5：123450.60.510.40.3,Auuuuu123450.50.60.30.40.7,Buuuuu43215.08.02.09.0uuuuA43216.04.01.03.0uuuuB43216.08.02.09.0uuuuBA43215.04.01.03.0uuuuBA作业Pp43:2-3分层递阶智能控制分层递阶智能控制2、模糊集的定义、模糊集的定义 论域论域 中的模糊集中的模糊集F用一个在区间用一个在区间0 1上的取值的隶属函数上的取值的隶属函数 来表示

11、，即：来表示，即：FU:0,1FU()1Fu表示表示 完全属于完全属于 ；()0Fuu表示表示 完全不属于完全不属于 ；FFu0()1Fu表示表示 部分属于部分属于 ；Fu隶属函数隶属函数 是用来说明是用来说明 隶属于隶属于 的程度的程度，那么，那么 中中的模糊集的模糊集 ,FuF可以用元素可以用元素 和它的隶属度来表示：和它的隶属度来表示：UFu(,()FFuuuU例例3：如果如果X=上海上海 北京北京 天津天津 西安西安为城市的集合。为城市的集合。模糊集合模糊集合“对城市的爱好对城市的爱好”表示为：表示为：C=(上海上海,0.8),(北京北京,0.9),(天津天津,0.7),(西安西安,0

12、.6)C=0.8/上海上海+0.9/北京北京+0.7/天津天津+0.6/西安西安那么用公式表示该模糊集合，可以表示为：那么用公式表示该模糊集合，可以表示为：1()/()/nFiiiFUUUuuFuu为离散对象为连续空间查德表示法查德表示法序偶表示法序偶表示法向量表示法向量表示法1122(,(),(,(),.,(,()nnFuuuuuu12(),(),.,()nFuuu注意注意:并非求和、积分和除号，并非求和、积分和除号，只是一种只是一种表示集合的方式，表示集合的方式，/表示一种对应关系。表示一种对应关系。/3、模糊集合的表示法、模糊集合的表示法隶属度函数解析式隶属度函数解析式(1)论域论域 中

13、模糊子集的全体，称为中模糊子集的全体，称为 中的模糊幂集记做中的模糊幂集记做 ，UU()F U即：即：():0,1AF UAU对于任一对于任一 ，若，若 ，则称，则称 为空集为空集 ；若若 ，则称，则称 为全集为全集 ；uU0AA1AAAU(2)设设 是论域是论域 的模糊集合，的模糊集合，,A BU,()A BF U包含或子集的定义：包含或子集的定义：()()ABABxx二、模糊集合的运算二、模糊集合的运算)(1)(,xxAAAAA或非)()()(),(max(xxxxBACBABACmin(),()()()CABABCABxxxx(3)并（析取）并（析取）：符号符号 为取极大值运算为取极大值

14、运算(4)交（合取）交（合取）：符号符号 为取极小值运算为取极小值运算(5)补（负）补（负）：定理定理2.1 模糊集合运算的基本定律：模糊集合运算的基本定律：(1)幂等律：幂等律：(2)结合律：结合律：(3)交换律：交换律：(4)分配律：分配律：(5)同一律：同一律：AAAAAA()()ABCABC()()ABCABCABBAABBA()()()ABCABAC()()()ABCABACAUAAA(6)零一律：零一律：A AUU(7)吸收律：吸收律：(8)德德.摩根律：摩根律：()AABA()AABAABABABAB(9)双重否认律：双重否认律：AA注意注意:模糊集与经典集的集合运算的基本性质完

15、全模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全 相同，只是模糊集运算不满足互补律，即：相同，只是模糊集运算不满足互补律，即：AA AAU1)()(uuAA0)()(uuAA4.0)(uA6.04.01)(uA16.06.04.0)()(uuAA04.06.04.0)()(uuAAAA AAU)(),()(xxMinxBAc)()()(xxxBAc1)()(,0)(xxMaxxBAc)(),()(xxMaxxBAc)()()()()(xxxxxBABAc)()(,1)(xxMinxBAc)(1()(1(1)()()(1xxxxxBABAc)()()(xxxBAc)()()()()(xxxxxBABAc

16、)(1()(1(1)()()(1xxxxxBABAc隶属度函数是模糊集合论的基础，实质上反映的是事隶属度函数是模糊集合论的基础，实质上反映的是事物的渐变性。物的渐变性。1、模糊控制系统隶属度函数选取的规则模糊控制系统隶属度函数选取的规则表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合(单峰馒头形状）单峰馒头形状）12,xxX一个模糊集合是凸的，当且仅当任何一个模糊集合是凸的，当且仅当任何和任何和任何 ，满足：，满足：0,11212(1)min(),()AABxxxx三、模糊隶属度函数三、模糊隶属度函数 变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。变量所取隶属度函数通常

17、是对称和平衡的。隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不适当的重叠。隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不适当的重叠。论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数 的区域，也应该避免属于多个隶属度函数的区域。的区域，也应该避免属于多个隶属度函数的区域。对同一输入没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度。对同一输入没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度。当两个隶属度函数重叠时，重叠部分对两个隶属函数当两个隶属度函数重叠时，重叠部分对两个隶属函数 的最大隶属度不应该有交叉。的最大隶属度不应该有交叉。2个隶属度函数的重叠率和重叠鲁棒性个隶属度函数的重叠率和重叠鲁棒性-3-

18、2-1012300.20.40.60.81xDegree of membership度度222)(),(cxecxfc),gaussmf(x,2、模糊控制中的隶属度函数模糊控制中的隶属度函数01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 6 8度bacxcbaxf211),(c)b,a,gbellmf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=2 4 6度度)(11),(cxaecaxf01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P

19、=2 4度度dxdxccdxdcxbbxaabaxaxdcbaxf010),(d)c,b,a,trapmf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=1 5 7 8度度cxcxbbcxcbxaabaxaxcbaxf00),(c)b,a,trimf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 6 8度度b)a,zmf(x,度01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 7常用隶属度函数常用隶属度函数三角形隶属三角形隶属度

20、度函数函数xccxbbxaaxcbaxtrigbcxcabax 0 0),;(梯形隶属梯形隶属度度函数函数xddxccxbbxaaxdcbaxTrapcdxdabax 0 1 0),(高斯形隶属高斯形隶属度度函数函数的宽度。决定的中心；代表MFMFcecxgcx),;(2)(21一般钟形隶属一般钟形隶属度度函数函数bacxcbaxbell211),;(-3-2-1012300.20.40.60.81xDegree of membership010203040506070809010000.20.40.60.81gradeDegree of membershipEDCBANAu试验总次数的次数0

21、0u 隶属隶属度度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法，通函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法，通常是初步确定粗略的隶属常是初步确定粗略的隶属度度函数，然后通过不断的学习和实函数，然后通过不断的学习和实践来修整和完善。隶属度函数的参数化：以钟形函数为例践来修整和完善。隶属度函数的参数化：以钟形函数为例cc-ac+a斜率斜率=-b/2a改变改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状即可改变隶属函数的形状bacxcbaxbell211),;(作业1、隶属度函数及图像（、隶属度函数及图像（6个）个）四、模糊关系四、模糊关系 功功课课 姓姓名名英英语语数数学学物物理理化化学学张三70908065李四9

22、0857670王五50958580100)(uu 功课功课 姓名姓名英语英语数学数学物理物理化学化学张三0.700.900.800.65李四0.900.850.760.70王五0.500.950.850.8080.085.095.050.070.076.085.090.065.080.090.070.0R 模糊关系是用来描述事物之间的关联程度，是模糊关系是用来描述事物之间的关联程度，是通过定义在不同论域上的模糊变量之间的模糊条通过定义在不同论域上的模糊变量之间的模糊条件语句来表示的，它是普通关系的拓广和发展。件语句来表示的，它是普通关系的拓广和发展。从数学的角度，所谓关系从数学的角度，所谓关系

23、 实际上是实际上是 和和 两个两个集合的直积集合的直积 的一个子集。的一个子集。RABA B定义：所谓集合定义：所谓集合 的直积的直积,A B(,),A Bu v uU vV中的一个模糊关系中的一个模糊关系 ，是指以，是指以 为论域的一个模糊子集，为论域的一个模糊子集，序偶序偶 的隶属度为的隶属度为 。RA B(,)u v(,)Ru v 1、模糊关系的定义、模糊关系的定义例例6 考虑考虑2个整数间的大得多的关系个整数间的大得多的关系,设论域设论域U=1,5,7,9,20上大得多的关系上大得多的关系R0.50.70.81.00.10.3(5,1)(7,1)(9,1)(20,1)(7,5)(9,5

24、)0.950.50.90.851(20,5)(9,7)(20,7)(20,9)R 例例7设有7种物品:苹果,乒乓球乒乓球,书书,篮球篮球,花花,桃桃,菱形组成的论域菱形组成的论域U,并设并设 分别为这些物品的代号分别为这些物品的代号,则论域则论域 .现在就物品两两之间的相似程度来确定现在就物品两两之间的相似程度来确定他们的模糊关系他们的模糊关系.1,2,7.,x xx1,2,7.,Ux xxR苹果苹果乒乓球乒乓球书书篮球篮球花花桃桃菱形菱形苹果苹果10.700.70.50.60乒乓球乒乓球0.7100.90.40.50书书0010000.1篮球篮球0.70.9010.40.50花花0.50.4

25、00.410.40桃桃0.60.500.50.410菱形菱形000.10001 模糊关系在模糊推理、系统的模糊建模模糊关系在模糊推理、系统的模糊建模等方面都有着重要的作用，等方面都有着重要的作用，当论域是离当论域是离散的情况下，模糊关系就可以用模糊矩阵散的情况下，模糊关系就可以用模糊矩阵来描述，从而可以用数学的手段加以处理。来描述，从而可以用数学的手段加以处理。模糊矩阵是模糊数学的主要运算工具，模糊矩阵是模糊数学的主要运算工具，模糊关系虽然可以用模糊集合表达式来表模糊关系虽然可以用模糊集合表达式来表示，但比不上用模糊矩阵表示更为简单明示，但比不上用模糊矩阵表示更为简单明了，特别是在模糊关系的合

26、成运算中。了，特别是在模糊关系的合成运算中。)(ijaA)(ijbB nji,2,1,（1）相等若ijijba，则A=B。（2）包含若ijijba，则AB。例例 设0.70.1A=0.30.90.40.9B=0.20.19.03.09.07.01.09.02.03.09.01.04.07.0BA1.02.01.04.01.09.02.03.09.01.04.07.0BA1.07.09.03.09.013.011.017.01A定义：笛卡尔积定义：笛卡尔积(算子算子)t 若若 分别是论域分别是论域 的模糊集，则的模糊集，则 的笛卡尔积是在积空间的笛卡尔积是在积空间 中的一个模糊集，其隶属度中的一

27、个模糊集，其隶属度函数为函数为12,.,nA AA12,nU UU12,.,nA AA12,nU UU直积直积(极小算子极小算子):1212.1212(,.,)min(),(),.,()nnAAAnAAAnu uuuuu 代数积：代数积：1212.1212(,.,)()().()nnAAAnAAAnu uuuuu 分别用两个记号分别表示笛卡尔积分别用两个记号分别表示笛卡尔积(算子算子)的两种运算规则，的两种运算规则，即直积即直积(极小算子极小算子)用用 表示，代数积用表示，代数积用 表示。表示。tminAP 模糊关系矩阵的定义和计算方法通常采用笛卡尔积算子。模糊关系矩阵的定义和计算方法通常采用

28、笛卡尔积算子。例例9：设设1,2,3;U 1,2,3;V()/1/1 0.5/20.3/3;Auu()/0.8/1 0.6/20.4/3;Bvv那么它们的笛卡尔积计算如下：那么它们的笛卡尔积计算如下：min()(,)A Bu v直积直积0.80.60.40.50.50.40.30.30.3代数积代数积()1 0.81 0.61 0.4(,)0.5 0.80.5 0.60.5 0.40.3 0.80.3 0.60.3 0.4AP A Bu v0.80.60.40.40.30.20.240.180.12min(1,0.8)min(1,0.6)min(1,0.4)min(0.5,0.8)min(0.

29、5,0.6)min(0.5,0.4)min(0.3,0.8)min(0.3,0.6)min(0.3,0.4)书书 例例2-7min()1(,)0.50.80.60.40.3A Bu v例例8设论域设论域U=1,2,3,V=1,2,3,4,A B()/1/10.7/20.2/3;Auu()/0.8/1 0.6/20.4/30.2/4Bvv0.8/(1,1)0.6/(1,2)0.4/(1,3)0.2/(1,4)0.7/(2,1)0.6/(2,2)0.4/(2,3)0.2/(2,4)0.2/(3,1)0.2/(3,2)0.2/(3,3)0.2/(3,4)123410.80.60.40.220.70.

30、60.40.230.20.20.20.2m in(),()/(,)m in(),()/(,)ABUVABABuvu vuvu v(2)模糊关系的合成：模糊关系的合成：问题的提出,ifAthenB对于多重推理的系统，比如下面的一类模糊控制规则：对于多重推理的系统，比如下面的一类模糊控制规则：ifBthenC那么那么 和和 之间是否存在某种定量的关系？之间是否存在某种定量的关系？AC 解决方法解决方法利用模糊关系矩阵的合成来解决此类问题。利用模糊关系矩阵的合成来解决此类问题。例例10 R父父母母子子0.20.8女女0.60.1某家中子女与父母的长相相似关系某家中子女与父母的长相相似关系R为模糊关系

31、，可表示为：为模糊关系，可表示为：该家中孙子、孙女与祖父母的相似程度？该家中孙子、孙女与祖父母的相似程度？该家中父母与祖父母的相似关系该家中父母与祖父母的相似关系S 也是模糊关系，可表示为也是模糊关系，可表示为R祖父祖父祖母祖母父父0.50.7母母0.10定义：模糊关系合成定义：模糊关系合成 如果如果 和和 分别为笛卡尔空间分别为笛卡尔空间 和和 上的模糊关系，上的模糊关系，则则 和和 的合成是定义在笛卡尔空间的合成是定义在笛卡尔空间 上的模糊关系，上的模糊关系，并记为并记为 ，其隶属度函数为：，其隶属度函数为：RSUVVWRSUVWR Ssup(,)(,),RSVR Su vv wuU vV

32、 wW其中上确界算子其中上确界算子sup minmaxmin(,),(,),RSVu vv wuU vV wWkjikkijbac例例 设22211211aaaaA22211211bbbbB22211211ccccBAC)b(a)ba(c2112111111)b(a)ba(c2212121112)b(a)ba(c2122112121)b(a)ba(c2222122122当3.05.07.08.0A，9.06.04.02.0B时，有 4.03.07.06.0BA 6.06.03.04.0AB 可见，ABBA。例例10 R父父母母子子0.20.8女女0.60.1某家中子女与父母的长相相似关系某家中

33、子女与父母的长相相似关系R为模糊关系，可表示为：为模糊关系，可表示为：该家中孙子、孙女与祖父母的相似程度？该家中孙子、孙女与祖父母的相似程度？该家中父母与祖父母的相似关系该家中父母与祖父母的相似关系S 也是模糊关系，可表示为也是模糊关系，可表示为R祖父祖父祖母祖母父父0.50.7母母0.10RoS模糊关系合成运算定律与模糊集合的运算律相似，模糊关系合成运算定律与模糊集合的运算律相似，分配律、结合律、包含、逆运算。分配律、结合律、包含、逆运算。模糊关系是一个模糊模糊关系是一个模糊子集，因此它的运算服从模糊集合的交、并、补运算。子集，因此它的运算服从模糊集合的交、并、补运算。注意注意:模糊关系的合成运算不满足交换律，即：模糊关系的合成运算不满足交换律，即：R SSR0.30.210.810R0.300.70.10.81S,RS RS R S练习：练习：0.50.60.30.70.4100.8010.20.9R设有如下两个模糊关系矩阵：设有如下两个模糊关系矩阵：0.210.80.40.50.3S0.50.60.30.210.70.410.80.400.800.50.310.20.9R S 0.60.50.50.70.80.40.51RoS看看PP27作业：作业：2-4 求求祝您成功！