1、人教 A 版 2 0 1 9 高 中 数 学 新 教 材 选 择 性 必 修 第 三 册7.3.1 离散型随机变量的均值1.为什么引入随机变量？2.离散型随机变量的定义？判断方法？3.离散型随机变量的分布列的表示方法？求解步骤？4.离散型随机变量的分布列的性质？5.两点分布？复习引入：问题1：甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为31
2、24,.nnnnnnnn312478910.nnnnxnnnn 当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于7 0.1+8 0.2+9 0.3+10 0.4=9.即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为7 0.15+8 0.25+9 0.4+10 0.2=8.65.从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.一般地，若离散型随机变量X的分布列为 Xx1x2xixnPp1p2pipn为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望.它反映了离散型随机变量的它反映了离散型随机变量的平均水平平均水平.例1：在篮球比赛中，罚球命
3、中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以 E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=10.8+00.2=0.8 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：X10Pp1-pnp 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球2次的得分X的均值是多少？求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值的步骤：的均值的步骤：变式2：随机抛掷一个正四面体，正四面体每个面分别标号1.2.3.4，求朝下一面标号X的均值.解：例2：随机抛掷一个骰子，所得骰子的
4、点数X的均值.X的分布列为的分布列为解：X的分布列为的分布列为证明：若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量.因为 P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，n，所以，Y的分布列为P1xix2x1p2pipnxnpXY1axbbaxi bax 2baxn E(aX+b)=aE(X)+b问题2：离散型随机变量均值的性质例例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的
5、公益基金如歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下下表所表所示示：规则如下：按照规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得求嘉宾获得的公益基金总额的公益基金总额X的分布列及均值的分布列及均值.歌曲歌曲ABC猜对的概率猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额获得的公益基金额/元元100020003000解：分别用解：分别用A,B,C表示猜对歌曲表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，歌名的事件，A,B,C相互独立相互独立(0)()0.2,(1000)()0.8 0.40.32,(3000)()0.8 0.6
6、0.60.288,(6000)()0.8 0.6 0.40.192.P XP AP XP ABP XP ABCP XP ABX的分布列如下表所示：的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192()0 0.2 1000 0.323000 0.2886000 0.1922336.XE X 的均值为思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？解：分别用解：分别用A,B,C表示猜对歌曲表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，歌名的事件，A,B,C相互独立相互独立(0)()0.2,(1000)()0.8 0.60.48,(3000)()0.8 0.4 0.40.128,(6000)()0.8 0.6 0.40.192.P XP AP XP ACP XP ACBP XP ACX的分布列如下表所示：的分布列如下表所示：X0100040006000P0.20.480.1280.192()0 0.2 1000 0.484000 0.1286000 0.1922144.XE X 的均值为1.期望的概念 E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn2.期望的意义 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.3.期望的计算公式 E(aX+b)=aE(X)+b谢谢 谢指导！谢指导！
