33多元随机变量函数nnnn课件.ppt

1、 33 随机向量的函数的分布与数学期望 一、离散型随机向量的函数的分布 二、连续型随机向量的函数的分布 三、随机向量的函数的数学期望 四、数学期望的进一步性质 今日要点1.二元离散型随机变量的计算3.二元连续型随机变量的计算4.二元最大最小值的计算2.二元离散型随机变量的导出5.二元随机变量的期望性质与计算EXY E(X+Y)本节内容简介：Z=g(X,Y)分布函数密度函数求解复习部分：复习部分：1.连续二元分布的联合边缘条件概率独立性等连续二元分布的联合边缘条件概率独立性等正态分布举例正态分布举例2.离散型离散型Z=g(X),Z=g(X,Y)的分布求解方法的分布求解方法eg3.13Z=g(X)

2、的分布求解方法？的分布求解方法？2.5节方法节方法P(Yy)新授新授1.Z=g(X,Y)分布的公式推理；公式体系；雅科比法分布的公式推理；公式体系；雅科比法;2.实践应用实践应用1)无界区间公式法无界区间公式法 2)有界区间传统分布函数法有界区间传统分布函数法 3)Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)求解及应用求解及应用3.期望的性质及其应用举例，最优进货量模型期望的性质及其应用举例，最优进货量模型 kjizyxgjiyYxXP),(,k1 2 (335)一、离散型随机向量的函数的分布 设设(X Y)是二维离散型随机向量是二维离散型随机向量 g(x y)是一个二元函数是一个二元函数 则则

3、g(X Y)作为作为(X Y)的函数是一个随机变量的函数是一个随机变量 如果如果(X Y)的概率的概率分布为分布为 PX xi Y yj pij i j 1 2 记记zk(k 1 2 )为为Z g(X Y)的所有可能取值的所有可能取值 则则Z概率分布为概率分布为 PZzkPg(X Y)zkPage90例例3 12(1)已知已知(X Y)的概率分布的概率分布 求求 X Y的概率分布的概率分布 XY的可能取值有 1 0 1 2 3 4 的概率分布为 解 P1PXY1 PX0 Y1 01 P0PXY0 PX0 Y0PX1 Y1 05 P1PXY1 02 PX1 Y0PX2 Y1 P2PXY2 PX0

4、 Y2PX2 Y0 0 P3PXY3 PX1 Y2 01 P4PXY4 PX2 Y2 01 例例3 12(2)已知已知(X Y)的概率分布的概率分布 求求 XY的概率分布的概率分布 XY的可能取值有 2 1 0 4 的概率分布为 解 P2 PX2 Y1 015 P1 PX1 Y1 03 P0PX0 Y1PX0 Y0PX0 Y2 PX1 Y0PX2 Y0 035 P2 PX1 Y2 01 P4 PX2 Y2 01 kiikiiki021)()!(!e21 kiikiiki02121e)!(e!kiikYPiXP0 kiikYiXP0,)(2121e!)(kk k 0 1 2 PkPXYk 例例3

5、 13 设设X Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量 分别服从参分别服从参数为数为 1和和 2的泊松分布的泊松分布 求求 X Y的分布的分布 解 可见XY服从参数为12的泊松分布进货进货/原料原料/产品产品实际应用实际应用1:苏宁苏宁/国美电器大卖场，根据每天国美电器大卖场，根据每天/周的销售状况周的销售状况估计一个月的销售估计一个月的销售X1,X2P(1 1),P(),P(2 2)Xi)XiP(i)P(i)实际应用实际应用2:某类型产品的分布，某类型产品的分布，eg电视电视21寸，寸，25，29，33离散型分布的公式法求解步骤+离散卷积公式 1小结：联合分布小结：联合分布P(X

6、=xi,Y=yj)=Pij,Z=g(X,Y)ZZ的分布的分布:P(Z=P(Z=zk k)=Pg(X,Y)=)=Pg(X,Y)=zk k=g(g(xi,i,yj)=j)=zk kPX=PX=xi,Y=i,Y=yj jP(Z=P(Z=zk k)=)=g(g(xi,i,yj)=j)=Zk kPijPij例例1:P(X=i)=ai,P(Y=j)=bj,1:P(X=i)=ai,P(Y=j)=bj,其中其中i,j=0,1,i,j=0,1,若若X,YX,Y相互独立，则相互独立，则Z=X+YZ=X+Y的分布为的分布为:P(Z=k)=P(X+Y=k)=P(Z=k)=P(X+Y=k)=i=0i=0k kP(X=i

7、,Y=k-i)P(X=i,Y=k-i)=i=0i=0k kP(X=i)P(Y=k-i)=aP(X=i)P(Y=k-i)=a0 0b bk k+a+a1 1b bk-1k-1+a+ak kb b0 0P(Z=X+Y=k)=aP(Z=X+Y=k)=a0 0b bk k+a+a1 1b bk-1k-1+a+ak kb b0 0例例2:X2:Xb(n,P),Yb(n,P),Yb(m,P)X+Yb(m,P)X+Yb(n+m,P)b(n+m,P)理解理解:二项分布二项分布n n次试验次试验+m+m次试验次试验=n+m=n+m次试验次试验2 2小结小结:二项分布二项分布+二项分布二项分布=二项分布二项分布

8、泊松分布泊松分布+泊松分布泊松分布=泊松分布泊松分布 正态分布正态分布+正态分布正态分布=正态分布正态分布二连续型二连续型Z=g(X,Y)的分布规律的分布规律FZ(z)=P(Zz)=FX+Y(z)=P(X+Yz);XYf(x,y)fz(3)=P(X+Y=3)zZfz(1)=P(X+Y=1)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)0 1 2 30123fz(2)=P(X+Y=2)fz(z)=P(X+Y=z)fZ(z)=P(Z=z=z)=P(X+Y=z)FZ(z)=P(Zzz)=-z fZ(Z)dZ二连续型二连续型Z=g(X,Y)的分布规律的分布规律FZ(z)=P(Zz)=FX+Y(z)=P(X+Y

9、z);XYf(x,y)FX+Y(z)=P(X+Yz)=X+Yz f(X,Y)dXdY FZ(z)=P(Zzz)=-z fZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Yz)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)0 1 2 30123二连续型二连续型Z=g(X,Y)的分布规律的分布规律FZ(z)=P(Zz)=FX+Y(z)=P(X+Yz);XYf(x,y)FX+Y(z)=P(X+Yz)=X+Yz f(X,Y)dXdY FZ(z)=P(Zzz)=-z fZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Yz)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)0 1 2 30123X+Y=z二连续型二连续型Z=g(X,Y)的分

10、布规律的分布规律FZ(z)=P(Zz)=FX+Y(z)=P(X+Yz);XYf(x,y)FX+Y(z)=P(X+Yz)=X+Yz f(X,Y)dXdY FZ(z)=P(Zzz)=-z fZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Yz)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)二、连续型随机向量的函数的分布 、Z g(X Y)的分布的分布:设设(X Y)是二维连续型随机向量是二维连续型随机向量 其概率密度函数为其概率密度函数为f(x y)令令g(x y)为一个二元函数为一个二元函数 则则Z g(X Y)的分布函数为的分布函数为 FZ(z)zfZ(z)dz PZz Pg(X Y)z P(X Y)Dz 其

11、中其中Dz(x y)|g(x y)z 继而继而 其密度函数其密度函数fZ(z)对几乎所有的对几乎所有的 z 有有Z(z)(337)fZ(z)F zDyxyxfdd),(336)GZ(z)zuyyufyd),(d yzxyxfyd),(d zDyxyxfdd),(、X+Y分布：例314(随机变量的和)设(X Y)的联合密度函数为f(x y)求XY的密度函数 对任意z 令Dz(x y)|xyz 则 解1 FZ(z)PZzPXYz uyyyufzd d),(338)(338)解2 FZ(z)PZ z PX Y z=dydyz-yz-yf(f(x,y)d,y)dx=G(z)f fZ Z(z)=d)=d

12、z-yf(x,y)dxdy dz=f(z-y,y)dy 例314(随机变量的和)设(X Y)的联合密度函数为f(x y)求XY的密度函数 对任意z 令Dz(x y)|xyz 则 解 FZ(z)PZzPXYz 于是 有 易见 交换积分次序 我们亦可得到 特别地 如果X与Y是相互独立的随机变量 则 uyyyufzd d),(338)(338)yyyzfzfZd),()(339)(339)xxzxfzfZd),()(340)(340)xxzfxfzfYXZd)()()(yyfyzfYXd)()(341)(341)xzxzde 2e 212222121211122122212221221)(22122

13、21)(2)(2221 xzzxde 21)(2)()(2212221221222112121122212221 xxzxde 21)()(212122222121 xxzxdee 2 21222221212)(2)(21 例315(独立正态随机变量之和)设随机变量),(211NX ),(222NY 且 X 与 Y 独立 证明),(222121NYX 证明:可以只证明标准正态分布即可，其余同理可得 xxzfxfzfYXYXd)()()(xzxzde 2e 212222121211122122212221221)(2212221)(2)(2221 )(2)(22212221221e 21z xx

14、zfxfzfYXYXd)()()(例315(独立正态随机变量之和)设随机变量),(211NX ),(222NY 且 X 与 Y 独立 证明),(222121NYX 证明 于是证得),(222121NYX 独立正态随机变量之和的分布 设 X Y 相互独立且分别服从正态分布),(211N和),(222N 则其任意非零线性组合仍服从正态分布则其任意非零线性组合仍服从正态分布 且其中且其中a b不全为不全为0 ),(22221221babaNbYaX (344),(22221221babaNbYaX (344)这一结论还可以推广到这一结论还可以推广到n个随机变量的情形个随机变量的情形 不变不变:泊松分

15、布泊松分布,正态分布正态分布,x2(1)分布分布;应用到进货生产领域应用到进货生产领域 变变:指数分布指数分布,均匀分布均匀分布练习：设某商品每周需求量练习：设某商品每周需求量Xf(x)=xe-x,x0,如果各周需求量如果各周需求量相互独立，求相互独立，求2周需求量的概率密度函数。设周需求量的概率密度函数。设Z=X+Y分析：fX(x)=xe-x,x0;fY(y)=ye-y,y0 z0,f0,fZ Z(z)=0)=0 0,x0 0,y0z0,fZ(z)=z3e-z/6fZ(z)=f(z-y,y)d,y)dy=f(x,z-x)dx=zf(x,z-x)dx =zfX(x)fY(z-x)dx=zxe-

16、x(z-x)e-(z-x)dx=z3ee-z/6解 对任意 z 令|),(zyxyxDz 则有 yyzyfyd),(|(345)00d),(d),()()(yyzyyfyyzyyfzFzfZZ 00d d),(d d),(yxyxfyxyxfzyzy ZDZyxyxfxYXPzFdd),()(例316 设二维随机向量(X Y)的密度函数为f(x y)求ZX/Y的密度函数 解 于是Z的密度函数为 、=X/Y随机变量的商的分布随机变量的商的分布 12dd211xssyx)ln2ln1(2ss sxyyxyxfsSPsFdd),()(、XY的分布：的分布：例318 设二维随机向量(X Y)在矩形G(

17、x y)|0 x2 0y1上服从均匀分布 试求边长为X和Y的矩形面积S的密度函数f(s)解 令F(s)为S的分布函数 则当s0时 F(s)PSs0 于是 当0s2时 有.,0,20),ln2(ln21)()(其他sssFsf 当s2时 F(s)PSs1 12dd211xssyx)ln2ln1(2ss 例例3 17(1)设设X Y的分布函数分别为的分布函数分别为F(x)G(x)密度函数密度函数分别为分别为f(x)g(x)且且X与与Y相互独立相互独立 求求M maxX Y的分布函的分布函数与密度函数数与密度函数 FM(z)PMz 解 PXz Yz PXzPYz F(z)G(z)(346)于是M的密

18、度函数为 f(z)G(z)F(z)g(z)(3 47)fM(z)F M(z)F(z)G(z)F(z)G(z)4、随机变量最大值与最小值的分布、随机变量最大值与最小值的分布:Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)M的分布函数为 N的分布函数为 FN(z)PNz P(XzYz)1PXz Yz 1PXzPYz11F(z)1G(z)(348)于是N的密度函数为 4、随机变量最大值与最小值的分布、随机变量最大值与最小值的分布Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)例例3 17(2)设设X Y的分布函数分别为的分布函数分别为F(x)G(x)密度函数密度函数分别为分别为f(x)g(x)且且X与与Y相互

19、独立相互独立 求求N minX Y的分布函的分布函数与密度函数数与密度函数 解 f(z)1G(z)g(z)1F(z)(349)fN(z)F N(z)实践举例Page108-109吴赣昌人大理工版案例：设某电子设备系统征集设计方案，系统L是由两个独立子系统L1,L2连接而成，连接方式分别为串联、并联、备用(开关控制L1损坏则运行L2)，a,b0且ab,求寿命Z?XfX(x)=ae-ax,x0;XfY(y)=be-by,y0;0 x0;0;0 y0;0;分析分析:Z:Z1 1=min(X,Y);Z=min(X,Y);Z2 2=max(X,Y);Z=max(X,Y);Z3 3=X+Y=X+YF Fm

20、inmin(z)=1-1-F)=1-1-FX X(z)1-F)1-FY Y(z)=1-e)=1-e-(a+b)-(a+b)z,z0ffminmin(z)=(a+b)e)=(a+b)e-(a+b)-(a+b)z,z0F Fmaxmax(z)=F)=FX X(z)F)FY Y(z)=1-e)=1-e-a-az1-e1-e-b-bz,z0ffmaxmax(z)=ae)=ae-a-az be e-b-bz-(a+b)e-(a+b)e-(a+b)-(a+b)z,z0f fX+YX+Y(z)=)=f fX X(z-y)f-y)fY Y(y)(y)dy=dy=0 0zaeae-a(-a(z-y)be e-b

21、y-bydydy =abe=abe-a-az-e-e-b-bz/(b-a)/(b-a),z0补充附录补充附录1-雅克比行列式确定雅克比行列式确定fZ(z)=-f(x,gf(x,g-1-1(x,z)|J|dx(x,z)|J|dx fZ(z)=-f(gf(g-1-1(y,z),y)|J|dy(y,z),y)|J|dy|J|的求解方法1.求解步骤：列坐标变化组合(X,Y)(Z,W)Z=g(X,Y)X=W or Z=g(X,Y)Y=W W=X Y=g g-1-1(w,z)(w,z)W=Y X=g g-1-1(w,z)(w,z)积分变换:f(x,y)dXdY=f(z,w)|J|dzdw|J|=|Xw X

22、z|=Yz 同理|J|=Xz|Yw Yz|补充附录补充附录1-雅克比行列式确定雅克比行列式确定-举例举例fZ(z)=-f(x,gf(x,g-1-1(x,z)|J|dx(x,z)|J|dx fZ(z)=-f(gf(g-1-1(y,z),y)|J|dy(y,z),y)|J|dy应用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X1.求解步骤：列坐标变化组合(X,Y)(Z,W)Z=X+YX=W Z=X/YY=W W=X Y=Z-W W=Y X=ZW积分变换:|J|=1|J|=|W|=|Y|fZ(z)=-f(x,z-w)dxf(x,z-w)dxfZ(z)=-f(yz,y)|y|dyf(yz,y)|y

23、|dy补充附录补充附录2-什么时候用什么方法什么时候用什么方法当被积区间有限当被积区间有限-fZ(z)=-f(gf(g-1-1(y,z),y)|J|dy(y,z),y)|J|dy应用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X1.求解步骤：列坐标变化组合(X,Y)(Z,W)Z=X+YX=W Z=X/YY=W W=X Y=Z-W W=Y X=ZW积分变换:|J|=1|J|=|W|=|Y|fZ(z)=-f(x,z-w)dxf(x,z-w)dxfZ(z)=-f(yz,y)|y|dyf(yz,y)|y|dy 一、离散型分布：一、离散型分布：1，联合概率分布，联合概率分布/边缘分布表边缘分布表 随

24、机向量随机向量(X Y)概率分布概率分布PX xi Y yj pij i j 1 2 可用表格形式表示可用表格形式表示(如下表如下表)并称之为联合概率分布表并称之为联合概率分布表 X Y y1 y2 yj PXxi x1 p11 p12 p1j jjp1 x2 p21 p22 p2j jjp2 xi pi1 pi2 pij ijjp PYyj 1 iip 2iip ijip jijiXipxXPp i1 2,(37)iijjYjpyYPp j1 2,(38)则 ijjijipyxgYXEgEZ),(),(,(350)三、随机向量的函数的数学期望 设随机向量(X Y)的函数Zg(X Y)的数学期

25、望存在 (1)设(X Y)是二维离散型随机向量 其概率分布为 PXxi Yyjpij i j1 2 (2)设(X Y)是二维连续型随机向量 其密度函数为f(x y)则 yxyxfyxgYXEgEZdd),(),(),(351)(351)例320 已知随机向量(X Y)的概率分布 求EXY EXY 解 0 22012002(1)0151201 10005 1(1)03 020 0002 0(1)01 101d8dxyxyxyx 解 yxyxxygEXYdd),(例319 设(X Y)的密度函数为 .,0,10,8),(其他yxxyyxg 求EXY 解 94 例例3 21 一商店经销某种商品一商店

26、经销某种商品 每周进货量每周进货量X与顾客对该与顾客对该商品的需求量商品的需求量Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量 且都服从区间且都服从区间10 20上的均匀分布上的均匀分布 商店每售出一单位商品可得利润商店每售出一单位商品可得利润1000元元 若需若需求量超过进货量求量超过进货量 商店可从其他商店调剂供应商店可从其他商店调剂供应 这时每单位商这时每单位商品获利润为品获利润为500元元 试计算此商品经销商经销该种商品每周所试计算此商品经销商经销该种商品每周所获平均利润获平均利润 设Z表示商店每周所获利润 由题设有 解 .),(500)(5001000,1000),(XYYXXYXXYY

27、YXgZ 由于(X Y)的密度函数为 .,0,2010,2010,1001),(其他yxyxf 201022010d)501023(5d)20(10yyyyyy 201020102010d1001)(500dd10011000dyyxyxyxyy 20102010dd),(),(yxyxfyxgEZ 设Z表示商店每周所获利润 由题设有 解 .),(500)(5001000,1000),(XYYXXYXXYYYXgZ 由于(X Y)的密度函数为 .,0,2010,2010,1001),(其他yxyxf 所以有 1416667(元)(已经讲过已经讲过)一元离散型随机变量函数的数学期望应用举例一元离

28、散型随机变量函数的数学期望应用举例-先求概率分布，再求期望（平均数）先求概率分布，再求期望（平均数）案例案例1：已知某电子集团产品，：已知某电子集团产品，X=维修次数维修次数 X=0 1 2 3 P(X=k)0.9 0.07 0.02 0.01 盈利盈利 1000 500 0 -5000 问题问题1平均维修次数？平均维修次数？2每台产品平均利润每台产品平均利润案例案例2：某部机器一天内发生故障的概率：某部机器一天内发生故障的概率0.2,机器发机器发生故障时全天停止工作。若一周五天上班期间无故障，生故障时全天停止工作。若一周五天上班期间无故障，可获利可获利10万；发生一次故障获利万；发生一次故障

29、获利5万，发生二次获利万，发生二次获利为为0，三次以上亏损，三次以上亏损2万，求平均利润？分析：先求故万，求平均利润？分析：先求故障概率分布！障概率分布！练习：保险公司，练习：保险公司，10000人投保，每人人投保，每人50元，死亡率元，死亡率为为P，每死亡一人赔付，每死亡一人赔付10万元，求平均收益？万元，求平均收益？实际案例实际案例-电冰箱的利润：小天鹅电冰箱的利润：小天鹅/海尔规定，出售的电冰箱海尔规定，出售的电冰箱若在一年内损坏，则可以调换。若工厂出售的电冰箱每台盈若在一年内损坏，则可以调换。若工厂出售的电冰箱每台盈利利300元，调换一台则厂方需要花费元，调换一台则厂方需要花费700元

30、，问元，问1:平均寿命平均寿命?2:厂方出售的电冰箱厂方出售的电冰箱平均每台盈利平均每台盈利多少？该集团生产的电冰箱多少？该集团生产的电冰箱的寿命的寿命X（年）服从指数分布，密度函数为：（年）服从指数分布，密度函数为：(已经讲过已经讲过)混合题型之混合题型之3期望的综合应用xxxfEXd)(理论分析理论分析 先计算一台电冰箱在一年内损坏/无损的概率为 故厂方出售的电冰箱平均每台盈利(即盈利的数学期望)为：3000.9048-4000.0952=233.36元一元连续型一元连续型分布+期望的综合应用 均匀分布案例：约会问题约会问题/候车问题候车问题/进货量问题进货量问题例例:某集团的某种商品某集

31、团的某种商品/原材料月需求量原材料月需求量X U10,30,即进货量即进货量为为10,30的某一整数，商店每销售一件商品可获利的某一整数，商店每销售一件商品可获利500元。若元。若供大于求则降价，每处理一件亏损供大于求则降价，每处理一件亏损100元；若供不应求，则可元；若供不应求，则可从外部调剂供应，每件获利从外部调剂供应，每件获利300元。问题元。问题1，为达到最大利润，为达到最大利润，需要进多少货？需要进多少货？2，为使得平均获利，为使得平均获利92809280，求最小进货量，求最小进货量设a为进货量，则利润为：axaxxaaxaxxaxxaaxaXgY10;10060030;200300

32、10);(10050030);(300500)(30,10,030,10;20/1)(xxxf利用导数,52503505.72020030020100600)()()()()(230103010aadxaxdxaxdxxfxgdxxfxgxEgEYaaaa连续型分布连续型分布+期望的综合应用期望的综合应用案例案例1：最佳进货量问题：最佳进货量问题某大型商场统计发现顾客对某种商品日需求量某大型商场统计发现顾客对某种商品日需求量XN(,2 2),),且知道日平均需求量且知道日平均需求量=40=40，根据销售记录，销售根据销售记录，销售30-5030-50件之间的概率为件之间的概率为0.50.5。如

33、进货不足，每件损失利润。如进货不足，每件损失利润7070元，元，如进货过量每件损失如进货过量每件损失100100元，求最优进货量。元，求最优进货量。(1)(1)设进货量为设进货量为Q,Q,需求量为需求量为X,X,损失函数损失函数L(X,Q)L(X,Q)L(X,Q)=70(X-Q),XQ L(X,Q)=70(X-Q),XQ；100(Q-X),XQ 100(Q-X),XQ X XN(40,40,2 2),P(30X50)=0.5P(-10/X-40/10/)=2),P(30X50)=0.5P(-10/X-40/需求需求,消价处理，每处理消价处理，每处理1 1单位损失单位损失100100元，如需求元

34、，如需求 供给，商店从其他商店调货供应，这时每单位利润供给，商店从其他商店调货供应，这时每单位利润300300，求该商店每，求该商店每周利润的期望值？为使得商店期望利润周利润的期望值？为使得商店期望利润92809280，确定最小进货量。同理可改天河电脑，确定最小进货量。同理可改天河电脑城城/苏宁苏宁/国美电器笔记本销售商等向市民出售笔记本国美电器笔记本销售商等向市民出售笔记本.98-398-3某商店经营某种商品，每周进货量某商店经营某种商品，每周进货量X X与顾客对该商品需求量与顾客对该商品需求量Y Y相互独立，且相互独立，且X,YX,YU10,20,U10,20,商店每售出一件商品获利商店每

35、售出一件商品获利10001000，如需求，如需求 供给，商店从其他商店调货供应，供给，商店从其他商店调货供应，这时每单位利润这时每单位利润500500，求该商店每周利润的期望值？同理可改电信设备供应商，求该商店每周利润的期望值？同理可改电信设备供应商华为华为中兴西门子贝尔等向英国出售电信程控网络，进货量中兴西门子贝尔等向英国出售电信程控网络，进货量X X需求量需求量Y Y，利润，利润10001000万万/件，如件，如供货不足须从法兰西调剂，盈利供货不足须从法兰西调剂，盈利500500万万/件，求利润的期望件，求利润的期望-需要联合分布，第三章需要联合分布，第三章四、数学期望的进一步性质 性质1 对任意两个随机变量X Y 如果其数学期望均存在 则E(XY)存在 且 E(XY)EXEY (353)性质性质2 设设X Y为任意两个相互独立的随机变量为任意两个相互独立的随机变量 数学期数学期望均存在望均存在 则则EXY存在存在 且且 EXY EX EY (354)上述两个性质可以推广到n个变量情形