1、矢量 (VECTOR),1 标量和矢量 Scalar quantity and vector quantity,标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从普通的代数运算法则。,矢量：由大小(单位)及方向表示，其合成服从平行四边形法则。,电压、温度、时间、质量等 所有实数 标量场,电场、磁场、力、速度等,符号表示：,矢量几何表示：可用有方向的线段来表示矢量,1.1矢量的表示,书写时在字母上方加一箭头代表矢量 印刷体符号用斜写的黑体字母表示矢量,线段的长度 表示该矢量的大小 箭头的方向 表示该矢量的方向,1.2.有关矢量的定义,矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，矢量A的模表示为,矢量相等(Equali
2、ty of two vectors): 具有相同长度和相同方向的两个矢量彼此相等。记为 B=C，注意矢量平移不变性,零矢量（zero vector)： 模等于零的矢量称为零矢量，记为 零矢量的方向是任意的。,单位矢量（unit vector)：若一个矢量的长度为1单位，则该矢量称为单位矢量,利用矢量的模和延矢量方向的单位矢量可将矢量A表示为,矢量由大小和其方向构成：,负矢量：方向相反，大小相等。,2、矢量加法（VECTOR ADDITION）,2.1两个矢量的加法：,定义,运算方法：平行四边形法则,B,A,平移,B,A,C,简化为三角形法则：将B矢量的矢尾与A矢量的矢端相连，从A的矢尾到B的矢
3、端做矢量,则该矢量即为欲求的和矢量C,2.2两矢量的减法：,A,B,A,B,-B,C,或者直接三角形减法,A,B,C,两矢量A和B的矢量差C可看成为矢量A和矢量(-B)的矢量和,2.3 多个矢量的加法,2.4矢量加法的性质： 交换律(commutative law): 结合律(associative law):,逐个矢量相加，可以采用多边形法则,O,A1,A2,A3,A4,An-1,An,平行四边形法则,合矢量与分矢量,3 矢量的乘法 (PRODUCTCTS OF VECTORS),3.1 矢量的数乘(Product of a scalar and a Vector),定义:矢量A与实数m的乘
4、积仍是一个矢量,记为mA mA的大小: |mA|=|m|A| mA的方向: m0: 与A同向; m0: 与A反向; m=0: 零矢量 m=-1: mA = -A,其中,-A表示一个与A大小相等方向相反的矢量 性质: 分配律:(associative law) 交换律:(commutative law),3.2 矢量的标积或点乘(Scalar product),两个矢量的标积是一个标量，其大小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在第一个矢量上的投影。 是指这两个矢量的夹角。,B cos,标积 随角度的不同可为正值、负值或零,3) 两个矢量的夹角,1),2）两个矢量平行，标积最大 反平行时，标积最小。
5、,4) 性质： 交换律(commutative law): 分配律(distributive law): 结合律(associative law):,3.3矢量的矢积或叉乘（Vectorproduct）,大小 方向按右手螺旋法则确定。 C矢量与A、B矢量构成的平面永远垂直！,两个矢量的矢积是一个矢量，,1) 当或时,2),3),4),5),4 矢量的分量(Components),一个矢量可以分解为两个或多个矢量之和。,例如： 等等分法，但有意义的是在特定的坐标系里分解。最常见的是直角坐标系。,因此，平面上的一个矢量，可以用其两个坐标分量确定；也可以由其大小和方向确定。,单位矢量：(Unite
6、vectors),大小,方向，方向余弦(directional cosine)：,矢量在直角坐标系中的表示,矢 量 运 算,因为有如下关系：,同样因为有如下关系：,利用行列式，可表达为：,解,矢量的导数,一个矢量既有大小又有方向,因此：,显然可以区分为三种情况： 矢量的大小变化，矢量的方向不变 矢量的方向变化，大小不变 矢量的大小和方向都发生变化,能否找到一个坐标系，不论上面的那种情况发生，都可以归咎为矢量的分量的大小发生变化吗？,唯一的坐标系就是直角坐标系！因为直角坐标系的基矢量一旦确定，就永远不变！改变的始终是矢量投影值的大小！,5 矢量的微积分,5. 1 矢量的微分(differential),只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：,作为(1)(2)式的特例，对直角坐标下的矢量：,有,作为(2)式的例子，在球坐标下的矢量：,有,5.2 矢量的积分(integral),（1）对时间 t 的积分：,（2）沿曲线 s 的线积分：,小 结,1 矢量是有大小、有方向的量。,2 矢量的几种运算：加法、点乘、叉乘，以及运算规则。,3 矢量在直角坐标系中的分解，以及对几种运算的应用。,阅读：附录 “矢量”,
