常数项级数的概念和性质课件.ppt

1、一、问题的提出一、问题的提出 计算圆的面积计算圆的面积AR正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 边形的面积边形的面积n23 naaa 21 发现发现:naaaA21 思考思考:11111.1.常数项级数的定义：常数项级数的定义：nuuuu321 称称为为(常数项常数项)（无穷）级数（无穷）级数.一般项一般项级数的（前级数的（前n项）部分和数列：项）部分和数列：.121 niinnuuuus级数的（前级数的（前n项）部分和：项）部分和：,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 二、常数项级数的概念二、常数项级数的概念 1nnu.

2、ns数列数列,nu对于数列对于数列2.2.常数项级数的收敛与发散的定义常数项级数的收敛与发散的定义:,lim)1(ssnn 若若,1收敛收敛则称级数则称级数 nnu 1,nnus的和的和为为且称且称;1 nnsu记作记作,lim)2(不存在不存在若若nns.1发散发散则称级数则称级数 nnu.,)1(11求其和求其和若收敛若收敛的收敛性的收敛性判定级数判定级数 nnn)1(1 nnun解解:例例1nn )1(,111 nn ns),(1 n111 n,原级数收敛原级数收敛余项余项:nnssr 称称 21nnuu;0lim,nnr有有对于收敛的级数对于收敛的级数易知易知.1且和等于且和等于,1收

3、敛时收敛时当级数当级数 nnu,为该级数的余项为该级数的余项 1iinu,nss ,1sunn 设设.|称为误差称为误差nr解解:,1|)1(时时当当 q12 nnaqaqaqas,1)1(qqan ,1时时当当 q,0lim nnq nnslim,1时时当当 q,lim nnq,lim nns收敛收敛；发散发散；.,0,)(1211为常数为常数其中其中的收敛性的收敛性也称为几何级数也称为几何级数讨论等比级数讨论等比级数qaaqaqaqaaqnnn 例例2,1qa,1)2(时时当当 q,1时时当当 q,1时时当当 q,nasn发散发散；,aaaa级级数数变变为为,lim不不存存在在nns 发散

4、发散；综上综上可知可知，:11 nnaq等比级数等比级数.,1,1 发散发散时时当当收敛收敛时时当当qq解解:)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn )121121()5131()3111(21nn)1211(21 n),(21 n.21,和和为为原原级级数数收收敛敛.,)12()12(1751531311求其和求其和若收敛若收敛的收敛性的收敛性判定级数判定级数 nn例例3)12()12(21 nn推论推论三、收敛级数的基本性质三、收敛级数的基本性质级数的收敛性不变级数的收敛性不变.,11为为常常数数其其中中也也收收敛敛则则收收敛敛如如

5、果果级级数数kkuunnnn 性质性质1 1级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,11 和和为为收收敛敛和和为为收收敛敛如如果果级级数数 nnnnvsu性质性质2 2.,)(1 svunnn且且和和为为收收敛敛则则级级数数即即 收敛级数可以逐项相加和逐项相减收敛级数可以逐项相加和逐项相减.证明证明,21 nkkkuuu对于对于nkkknuuu 21,kknss )(limlimkknnnnss 则则.kss 推论推论.,;,11为为任任意意给给定定正正常常数数其其中中也也对对反反之之也也收收敛敛则则收收敛敛若若kuuknnnn 性质性质3 3在级数中任意去掉、加上、

6、改变有限项在级数中任意去掉、加上、改变有限项,级数的收敛性不变级数的收敛性不变.,且且和和不不变变所所成成的的级级数数仍仍收收敛敛收收敛敛级级数数任任意意加加括括号号后后性质性质4 4证明证明,)()(654321 uuuuuu,21s mmnns limlim,32s ,63s .s,mns ,推论推论1 1 如果加括号后所成的级数发散如果加括号后所成的级数发散,则原级数发散则原级数发散.推论推论2 2 如果两种加括号后所成的级数都收敛如果两种加括号后所成的级数都收敛,但和不同但和不同,则原级数发散则原级数发散.1111 的收敛性的收敛性研究级数研究级数 解：解：)11()11(,0 )11

7、()11(1,1.原级数发散原级数发散,1收敛收敛若若 nnu证明证明,1sunn 设设 nu四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件定理定理.0lim nnu则则,limssnn 则则,1 nnss)(limlim1 nnnnnssu1limlim nnnnssss .0 关于级数收敛的关于级数收敛的必要条件必要条件的说明：的说明：1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散:,1)1(4332211 nnn例如例如发散发散2.2.必要条件不是充分条件必要条件不是充分条件:,0lim nnu有有,1131211 ,1 nnn调和级数调和级数例如例如.但级

8、数是发散的但级数是发散的调和级数发散的调和级数发散的证明证明:nnss2 )2121111211(nnnn)1211(n nnn212111 nn2,21.,11snn其其和和为为收收敛敛假假设设调调和和级级数数 )lim(2nnnss则则ss ,0.11发散发散调和级数调和级数 nn,210 .这是不可能的这是不可能的练习题练习题.)(,.111的收敛性的收敛性讨论讨论发散发散收敛收敛已知已知一一 nnnnnnnbaba,1.11 nnnn:.判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性二二,3sin3.21 nnn.)1cos1(.312 nnn练习题解答练习题解答解解:.)(,.111的收敛

9、性的收敛性讨论讨论发散发散收敛收敛已知已知一一 nnnnnnnbaba.)(1均发散均发散 nnnba.)(1为例加以证明为例加以证明以以 nnnba,)(1收敛收敛假设假设 nnnba:,知知则则由由收收敛敛级级数数的的性性质质 1)(nnnnaba 1nnb,收敛收敛.1发散矛盾发散矛盾与与 nnb解解:,1.11 nnnn:.判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性二二,3sin3.21 nnn.)1cos1(.312 nnn,1.11 nnnn,3sin3.21 nnn,)1cos1(.312 nnn,发散发散,发散发散,发散发散 nnnnnnu1limlime1.0 nnulim.0 .021lim nnu常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念(部分和部分和,收敛收敛,发散发散);收敛级数的性质；收敛级数的性质；五、小结与教学基本要求五、小结与教学基本要求:掌握掌握:级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件;级数的基本审敛法：级数的基本审敛法：定义法定义法.习题习题 11-1/P193:3(1,2),4(1,2,3).