高中数学函数知识精要[整理]人教版课件.ppt

1、2022年11月28日星期一12022年11月28日星期一2一。映射与函数一。映射与函数1、映射映射：对于集合：对于集合A、B，存在某种对应法则，存在某种对应法则f，使得集合使得集合A中的任何一个元素在集合中的任何一个元素在集合B中都有唯一中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到到集合集合B的映射，记为的映射，记为f：AB2、函数函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对

2、应，那都有唯一确定的值和它对应，那么么y就是就是x的函数。的函数。(2)设设A、B都是非空数集，那么都是非空数集，那么A到到B的映射的映射f：AB就叫做就叫做A到到B的函数，记作的函数，记作y=f(x)3、函数的函数的“三要素三要素”：对应法则、定义域、值域。：对应法则、定义域、值域。只有只有“三要素三要素”完全相同的两个函数才是同一函完全相同的两个函数才是同一函数。数。2022年11月28日星期一3方法小结方法小结1、理解映射的概念、理解映射的概念A、B为非空数集；为非空数集；A中中的元素必有象，但的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；中的元素不一定有原象；A中的任一元素的象是唯一的，因此

3、对应是中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一对一或多对一一或多对一”。2、理解函数与映射的关系。函数的、理解函数与映射的关系。函数的“三要素三要素”是对应法则、定义域、值域。只有是对应法则、定义域、值域。只有“三要素三要素”完完全相同的两个函数才是同一函数。全相同的两个函数才是同一函数。3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。做分段函数。2022年11月28日星期一4二。函数的定义域二。函数的定义域3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到、如果函

4、数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。2、求函数的定义域的主要依据是：、求函数的定义域的主要依据是：分式的分母分式的分母不不为为0；偶次方根偶次方根的被开方数非负；的被开方数非负；对数的真数对数的真数大大于于0；指数、对数函数的；指数、对数函数的底数底数大于大于0且不等于且不等于1；指数为指数为0或负数时，底数不为或负数时，底数不为0；实际问题实际问题的函数的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。义。1、函数的定义域是指自变量的取值范围。、函数的定义域

5、是指自变量的取值范围。2022年11月28日星期一5三。函数的值域三。函数的值域函数的值域就是在对应法则函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量的作用下，自变量x的值对应的的值对应的y值的集合。值的集合。方法小结方法小结1、求函数值域的常用方法有：、求函数值域的常用方法有：配方法配方法：求形如：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域的函数值域问题问题,要注意要注意f(x)的取值范围对值域的影响的取值范围对值域的影响.分离常数法分离常数法:2022年11月28日星期一6反函数法反函数法:判别式法判别式法：把函数转化成关于：把函数转化成关于x的二次方程的二次方程F(x,y)=0,

6、通过方程有实根通过方程有实根,判别式判别式0,从而求得原函数的值域从而求得原函数的值域.形如形如y=(a1,a2不同时为不同时为0)的函数的值域的函数的值域常用此法但要注意函数的定义域不是常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二时还需要用二次方程根的分布来求解次方程根的分布来求解.单调性法单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域上的单调性求出函数的值域.换元法换元法:运用代数或三角代换运用代数或三角代换,将所给函数化成值将所给函数化成值域容易求出的另一类函数域容易求出的另一类函数2022年11月28日星期一73、求函数的值域没有通

7、用的方法和固定的模、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律。式，要告自己积累经验，掌握规律。2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。而且要特别注意定义域对值域的制约作用。数形结合法数形结合法:利用函数所表示的几何意义利用函数所表示的几何意义,借助于借助于几何方法求出函数值域几何方法求出函数值域.2022年11月28日星期一8四。函数的单调性四。函数的单调性1、定义：设函数、定义：设函数f(x)的定义域为的定义域为I：如果对于属于：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量定义域内

8、某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当当 x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），），那么就说那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数。在这个区间上是增（减）函数。2、注意定义的变形：设、注意定义的变形：设x1、x2a，bf(x1)f(x2)x1x20或或(x1x2)(f(x1)f(x2)0 f(x)在这个区间上为增函数在这个区间上为增函数f(x1)f(x2)x1x20或或(x1x2)(f(x1)f(x2)0 f(x)在这个区间上为减函数在这个区间上为减函数2022年11月28日星期一93、熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函、熟练掌握一次函数、二次函

9、数、指数函数、对数函数的单调性。数的单调性。两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；函数；y=f(x)与与y=f(x)有相反的单调性；有相反的单调性；当当 y=f(x)恒为正或恒为负时，恒为正或恒为负时，y=f(x)与与y=1/f(x)有相有相反的单调性。反的单调性。4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：2022年11月28日星期一10方法小结方法小结1、函数的单调性必须在定义域内进行函数的单调性必须在

10、定义域内进行，在定义域内的，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减。个区间上递增或递减。2、根据定义、根据定义证明函数单调性证明函数单调性的方法：的方法：设设x1、x2A，且设，且设x1x2；作差：；作差：f(x1)f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；判断差的符号，并变形（分解、配方、通分等）；判断差的符号，并作结论。并作结论。3、复合函数单调性的判断方法：设、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)，x(a,b),u(m,n)，都是单调函数，则，都是单调函数，则y=f(g(x)在在a,b上

11、上也是单调函数。若也是单调函数。若y=f(u)是是(m,n)上的增（减）函数，上的增（减）函数，则则y=f(g(x)的增减性与的增减性与u=g(x)的增减性相同（相反）。的增减性相同（相反）。也可概括为也可概括为“同增、同减为增，一增一减为减同增、同减为增，一增一减为减”。2022年11月28日星期一11五。反函数五。反函数3、反函数的求法：由、反函数的求法：由y=f（x）解出解出x=f1（y）；将将x=f1（y）中的中的x、y互换互换，得，得y=f1（x）；由；由 y=f（x）的值域，的值域，写出写出 y=f1（x）的定义域）的定义域。1、定义：函数、定义：函数y=f(x)(xA)中，设它的

12、值域为中，设它的值域为C，由，由y=f(x)解出解出x=f1(y)，如果对于，如果对于y在在C中的任何一个值，中的任何一个值，由由x=f1(y)，x在在A中都有唯一的值和它对应，那么中都有唯一的值和它对应，那么x=f1(y)就表示就表示x是是y的函数，则函数的函数，则函数x=f1(y)就叫做就叫做y=f(x)的反函数。习惯上把的反函数。习惯上把y看成函数，将看成函数，将x、y调换，调换，y=f(x)的反函数表示为的反函数表示为y=f1(x)。2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。互为反函数的两个图象关于直线和定义域。互为反函数的两个图象关于

13、直线y=x对称。对称。2022年11月28日星期一12方法小结方法小结1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反函数；函数；2、若原函数过点、若原函数过点(a,b)，则反函数过点，则反函数过点(b,a)，即，即若若f（a）=b，则，则f1（b）=a。3、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。2022年11月28日星期一13六。一些常用函数及其性质六。一些常用函数及其性质1、正比例函数：、正比例函数：y=kx（k0）xyok0

14、 xyok0图象图象2022年11月28日星期一14图象图象2、反比例函数：、反比例函数：y=（k0）kxxyok0 xyok0单调性单调性2022年11月28日星期一153、一次函数：、一次函数：y=kxb（k0）xyok0 xyok0图象图象2022年11月28日星期一164、二次函数：、二次函数：y=ax2+bx+c（a0）oxy2022年11月28日星期一17oxy2022年11月28日星期一1800=0图象图象xx1=x2yoxx1x2yoyxoax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)x=x1 或或x=x2x=x1=x2=b2ax|xx2x|x1 x

15、x2b2ax|x OOR无实根无实根2022年11月28日星期一192022年11月28日星期一20a10a1图象性质xR；y(0,+);过定点过定点(0,1)当当x0时时,y1,x0时时,0y1当当x0时时,0y1,x0时时,y1 在在R上是增函数上是增函数.在在R上是减函数上是减函数.2022年11月28日星期一21a10a1图象性质x(0,+)；y R;过定点过定点(1,0)当当x 1时时,y 0,0 x 1时时,y 0当当x 1时时,y 0,0 x 1时时,y 0在在R上是增函数上是增函数.在在R上是减函数上是减函数.2022年11月28日星期一22当当0a1时时，mn0 logamlogan当当a1时时，mn0 logamlogan2022年11月28日星期一232022年11月28日星期一242022年11月28日星期一252022年11月28日星期一262022年11月28日星期一27