1、,第八章,*二、全微分在数值计算中的应用,应用,第三节,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本节内容:,一、全微分的定义,全微分,一、全微分的定义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2) 偏导数连续
2、,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义 :,得,函数在该点连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,同样可证,证: 由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反例: 函数,易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、,定理2 (充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以函数,在点,可微.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意到, 故有,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,例2. 计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可知当,*二、全微分在数值计算中的应用,1. 近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,
4、机动 目录 上页 下页 返回 结束,(可用于近似计算; 误差分析),(可用于近似计算),半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求此圆柱体,例4.计算,的近似值.,解: 设,则,取,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计,利用,令,z 的绝对误差界约为,z 的相对误差界约为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形.,
5、乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.在直流电路中,测得电压 U = 24 伏 ,解: 由欧姆定律可知,( 欧),所以 R 的相对误差约为,0.3 + 0.5 ,R 的绝对误差约为,0.8 ,0.3;,定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .,相对误差为,测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 ),= 0.8 ,机动 目录 上页 下页 返回
6、结束,求用欧姆,内容小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 微分应用, 近似计算, 估计误差,绝对误差,相对误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. P72 题 1 (总习题八),函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,2. 选择题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,也可写作:,当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03,3. P73 题 7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 设,解:,利
7、用轮换对称性 , 可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( L. P245 例2 ),注意: x , y , z 具有 轮换对称性,答案:,作业 P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ; 8 ; 10,5. 已知,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,在点 (0,0) 可微 .,备用题,在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1),因,故函数在点 (0, 0) 连续 ;,但偏导数在点 (0,0) 不连,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明函数,所以,同理,极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;,同理 ,在点(0,0)也不连续.,2),3),题目 目录 上页 下页 返回 结束,4) 下面证明,可微 :,说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目 目录 上页 下页 返回 结束,
