1、,三、环流量与旋度,斯托克斯公式,环流量与旋度,第七节,一、斯托克斯公式,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,*四、向量微分算子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,一、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,证:,情形1 与平行 z 轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).,则有,简介 目录 上页 下页 返回 结束,则,(利用格林公式),定理1 目录 上页 下页 返回 结束,因此,同理可证,三式相加, 即得斯托
2、克斯公式 ;,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,证毕,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+ y+
3、 z = 1 被三坐标面所截三角形的整个,解: 记三角形域为, 取上侧,则,边界, 方向如图所示.,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式 目录 上页 下页 返回 结束,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2.,设 G 是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有,(2) 对G内任一分段光滑曲线 ,与路径无关,(3) 在G内存在某一函数 u,
4、使,(4) 在G内处处有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,由斯托克斯公式可知结论成立;,(自证),设函数,则,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,同理可证,故有,若(3)成立, 则必有,因P, Q, R 一阶偏导数连续,故有,同理,证毕,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,与路径无关, 并求函数,解: 令, 积分与路径无关,因此,例3. 验证曲线积分,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,三、 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令, 引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线 的环流量.,或,于
5、是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,rotation,设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点 M 的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意 与 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意义:,例4.,求电场强度,的旋度 .,解:,(除原点外),这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的外法向量,计算,解:,例5. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*四、向量微分算子,定义向量微分算子:,它又称为( Nabla )算子
6、, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,高斯公式与斯托克斯公式可写成:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 斯托克斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在内与路径无关,在内处处有,在内处处有,2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件,设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 场论中的三个重要概念,设,梯度:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,散度:,旋度:,则,思考与练习,则,提示:,三式相加即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P183 1 (1),(3),(4) ; 2(1),(3) ; 3(1); 4 (2) ; 6 补充题: 证明,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,斯托克斯(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,在1845年他导,出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之,为纳维 斯托克斯方程 ),1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分 五卷,出版 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
