数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件.ppt

1、5 三次样条插值三次样条插值/*Cubic Spline Interpolation*/许多实际工程技术中一般对许多实际工程技术中一般对精度精度要求非常高，要求非常高，（1）要求近似曲线在节点要求近似曲线在节点连续连续；（2）要求近似曲线在节点处要求近似曲线在节点处导数连续导数连续，即，即充分光滑充分光滑。分段插值分段插值不能保证节点的光滑性，而不能保证节点的光滑性，而Hermite插值需要知道节点处的导数值，实际中无法确定插值需要知道节点处的导数值，实际中无法确定。问题背景问题背景一、一、三次样条三次样条函数的力学背景函数的力学背景 在工程技术和数学应用中经常遇到这样一类在工程技术和数学应用

2、中经常遇到这样一类数据处数据处理理问题：在平面上给定了一组问题：在平面上给定了一组有序的离散点列有序的离散点列，要求用，要求用一条一条光滑曲线光滑曲线把这些点按次序连接起来。把这些点按次序连接起来。.压铁压铁弹性木条弹性木条.数据点数据点形象地称之为形象地称之为样条曲线样条曲线 在力学上，通常均匀在力学上，通常均匀细木条细木条可以看作可以看作弹性细梁弹性细梁，压压铁铁看作是作用在梁上的看作是作用在梁上的集中载荷集中载荷，“样条曲线样条曲线”就模拟就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线弯曲变形曲线。设设细梁刚度系数为细梁刚度系数为 ，弯矩为，弯矩为 ，

3、样条曲线的曲率为，样条曲线的曲率为 AM()k x由力学知识：由力学知识：()()Ak xM x 3221()()yk xy 1y 当当 时（即时（即“小挠度小挠度”的情况）的情况）上述微分方程简化为：上述微分方程简化为：()AyM x 是是线性函数线性函数()M x40()()yx因此，因此，“样条曲线样条曲线”可近似认为是可近似认为是三次三次多项式多项式二、二、三次样条三次样条函数定义及求法函数定义及求法3 1.Def 设在区间设在区间 上给定一个分割，上给定一个分割，定义在定义在 上的函数上的函数 如果满足下列条件：如果满足下列条件：(1)(1)在每个小区间在每个小区间 内是内是三次三次

4、多项式多项式(2)(2)在整个在整个 区间上，区间上，为为二阶二阶连续可导函数，即连续可导函数，即在在每个节点每个节点 处处,a b011nnaxxxxb ,a b()S x11 2,(,)iixxin ,a b()S x1 21(,)ix in 00012()()()(),kkiiSxSxk 则称则称 为为三次三次样条函数样条函数()S x如果如果三次三次样条函数样条函数 满足满足()S x01 2()()(,)iiS xf xin 则称则称 为插值于为插值于 的的三次三次样条函数，简称样条函数，简称三次三次样条样条插值函数插值函数。()f x()S x例1：33220113(),(),_,

5、_,_.S xxxS xxaxbxcxabc 已已知知区区间间a,ba,b上上的的三三次次样样条条插插值值函函数数若若16321262SSabcSSabSSa 解解：(1 1-)=(1 1+)(1 1-)=(1 1+)(1 1-)=(1 1+)假设现在假设现在已知已知函数函数 在节点处的函数值：在节点处的函数值：()f x01 2()(,)iiyf xin 如何求如何求 的的三次三次样条样条插值函数插值函数:()S x()f x1012121(),(),()(),nnns xxxxsxxx xS xsxxxx 23()iiiiis xabx c xd x 4n个未知数个未知数4n-2个条件个条

6、件三弯矩方程求解法：以样条插值函数在节点上二阶导数作为未知量，再利用其一阶导数在内节点上连续的条件导出三弯矩方程求解（M连续性方程）三转角方程求解法：以样条插值函数在节点上一阶导数作为未知量，再利用其二阶导数在内节点上连续的条件导出三弯矩方程求解（m连续性方程）线性线性插值函数插值函数1 1、M连续方程与连续方程与 的表达式的表达式()S x记记0 1 2()(,)iiMSxin 因为因为 在每一个子区间在每一个子区间 上都是上都是线性函数线性函数 ()S x 1,iixx 111(),iiiiiiiiixxx xs xMMxxxhh 两边积分两边积分2211122()()(),iiiiiii

7、iiixxx xs xMMAxxxhh 两边再积分一次两边再积分一次3311166()()(),iiiiiiiiiiixxxxs xMMAx Bxxxhh？代入插值条件：代入插值条件：11(),()iiiiiis xys xy11111666()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiyyh MMAhyh Myh MBxxhh 3311166()()(),iiiiiiiiiiixxxxs xMMAx Bxxxhh 在整个区间在整个区间 上，上，的表达式为：的表达式为：,a b()S x1 2,in 未知数未知数n+1个个iM的的计算计算方法：方法：001 21()()(,)iiS xS x

8、in11062()()iiiiiiiiiiyyh MMhs xMh 由由221122()()()iiiiiiiixxx xs xMMAhh 1,iixxx 0()lim()iiiixxs xs x 212()iiiiixxMAh 116()iiiiiiiyyh MMAh 2iiihMA 11111062()()iiiiiiiiiiyyhMMhs xMh 由由2211111122()()()iiiiiiiixxx xsxMMAhh 1,iixx x 10()lim()iiiixxs xsx 21112()iiiiixxMAh 111116()iiiiiiiyyhMMAh 112iiihMA 22

9、11122()()(),iiiiiiiiiixxx xs xMMAxxxhh 001 21()()(,)iiiis xs xin由由112121(,)iiiiiiMMMdin 11iiiihhh 11116()iiiiiiiiiyyyydhhhh 1iiiihhh 116,iiif xx x 其中其中写成写成方程组方程组的形式：的形式：01111222221211120000200002000002nnnnnnnnMdMdMdMd 上述方程组称为上述方程组称为 的的M连续方程连续方程()S x n-1个方程个方程n+1个未知数个未知数三弯矩三弯矩方程方程2 2、m连续方程与连续方程与 的表达式

10、的表达式()S x记记()iimS x 1,iixx 在区间在区间 上采用上采用Hermite插值插值211312()()()iiiiiixxxxhs xyh 2111312()()iiiiixxxxhyh 21121()()iiiixxxxmh 2121()()iiiixxxxmh 0 1 21,in11211121113123236()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiixxxxxs xmhxxxxxmhyyxx xxh im的的计算计算方法：方法：001 21()()(,)iiSxSxin对对 两边求导（微分两边求导（微分2次）次）()is x121112111313

11、2232262()()iiiiiiiiiiiiiixxxs xmhxxxmhyyxxxh 10()lim()iiixxSxsx 0()lim()iiixxSxs x 1,iixxx 1,iixx x 1121114206()iiiiiiiimmyySxhhh 1122406()iiiiiiiimmyySxhhh 两者两者相等相等得到方程组：得到方程组：112iiiiiimmmc1 21,in其中其中 同前同前,ii 1113()iiiiiiiiiyyyychh 写成写成方程组方程组的形式：的形式：01111222221211120000200002000002nnnnnnnnmcmcmcmc

12、n-1个方程个方程n+1个未知数个未知数三转角三转角方程方程上述方程组称为上述方程组称为 的的m连续方程连续方程()S xM、m连续方程的求解：需要补充连续方程的求解：需要补充附加条件附加条件3 3、边界条件边界条件/*boundary conditions*/已知端点的已知端点的斜率斜率：00(),()nnSxySxy已知端点的已知端点的二阶导数二阶导数：00(),()nnSxySxy设设 是以是以 为周期的为周期的周期函数周期函数，对，对 附加附加周期性周期性条件：条件：()yf x ba()S x000()()()()ppnSxSx 0 1 2,p 即要求即要求三次三次样条插值函数在端点

13、处样条插值函数在端点处函数函数值值、一阶一阶导数值和导数值和二阶二阶导数值相同。导数值相同。M连续方程在各类边界条件下的求解方法连续方程在各类边界条件下的求解方法 对于第对于第一一类类边界条件边界条件220110111122()()()x xxxs xMMAhh 01,xx x 221122()()()nnnnnnnnxxx xs xMMAhh 1,nnxxx 1000()()s xmf x ()()nnnns xmf x 由由得得10012hmMA 2nnnnhmMA100101162()yyMMmhh 1162()nnnnnnnyyMMmhh 0d nd 从而得到方程组（从而得到方程组（三

14、对角三对角）：）：0011112222222211112100002000020000020000020000012nnnnnnnnnnMdMdMdMdMdMd 可用可用追赶法追赶法求解求解 对于第对于第二二类类边界条件边界条件000()Mfxy()nnnMfxy110112222222211112002002002nnnnnnnnndMMMdMdMdM 类似地可以得到方程组（类似地可以得到方程组（三对角三对角）：对于第对于第三三类类边界条件边界条件0nyy 000()()nS xS x101101001062()()yyh MMhS xMh 11062()()nnnnnnnnnyyh MMh

15、S xMh 得到方程得到方程0010102nMMMd 其中其中101nhhh 001116(,)nnndf xxf xxhh 01nnhhh 0nMM 第第三三类类边界条件对应的方程组：边界条件对应的方程组：0000111121221111202020202nnnnnnnnMdMdMdMd 对对三对角三对角算法经过算法经过修改修改后可以求解上述方程组后可以求解上述方程组不是不是三对角三对角方程组方程组注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自身光滑自身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的的导数值导数值（除了在（除了在2个个端点处的函数值

16、）；而端点处的函数值）；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在许多在许多插值节点的导数值插值节点的导数值。f(x)H(x)S(x)0 1 2 3 0 2 3 6 1 0例例1：已知函数已知函数 在的在的 数据表数据表：()yf x 0 1 2 3(,)ixi i ()ifx()if xix解：解：求求 在区间在区间 上上的的三次三次样条插值函数。样条插值函数。()f x0 3,1231hhh 11iiiihhh 1iiiihhh 116,iiiidf xx x 001016(,)df xxmh 16(,)nnnnndmf xxh 0120 5,.f xx x 1231,f x xx 001

17、0661(,)df xxm33236181(,)dmf xx 三弯矩三弯矩方程组方程组0123210060 520 50300 520 56001218.MMMM 用用追赶法追赶法求解方程组得求解方程组得3383M 2223M 1143M 0163M 三次三次样条插值函数样条插值函数1230 11 22 3(),()(),(),s xxS xsxxs xx 3311166()()(),iiiiiiiiiiixxxxs xMMAx Bxxxhh 11111666()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiyyh MMAhyhMyhMBxxhh 1 2 3,i 1113A 189B 21A 2

18、439B 3193A 317B 32323215830 13162536111 23110711561172 33(),()(),(),xxxxS xxxxxxxxx 4 4、三次三次样条函数的性质样条函数的性质性质性质1 1（极小模极小模性质）性质）设设 是任一被插函数，是任一被插函数，是是自然自然三次样条插值三次样条插值函数，则成立函数，则成立式中等号当且仅当式中等号当且仅当 时成立。时成立。2(),f xCa b()S x22()()bbaaSxdxfxdx ()()f xS x 证明：证明：2()()bafxSxdx 222()()()()bbbaaafxdxSxdxfx Sx dx

19、222()()()()()bbbaaafxdxS xdxfxS x S x dx 0()()()bafxSx Sx dx 因为因为故结论成立故结论成立0()()SaSb （积分（积分可加可加性质）性质）0()()()bafxSx Sx dx 下面证明下面证明()()()bafxS x S x dx 11()()()kknxxkfxSx Sx dx 1()()()kkxxfxSx Sx dx 分步积分分步积分1()()()kkxxSx d fxS x 1()()()kkxxfxS x Sx 1()()()kkxxfxS x Sx dx 1()()()kkxxfxS x Sx dx 分步积分分步积

20、分1()()()kkxxf xS x Sx 14()()()()kkxxf xS x Sx dx 1()()()kkxxSx d f xS x 0()()()bafxS x S x dx 11()()()kknxxkfxS x Sx ()()()nnnfxS xSx 000()()()fxS xSx 0 等号成立等号成立0()()fxSx()()f xS x 为为线性线性函数函数0()()f xS x（由（由插值插值条件）条件）性质性质2 2（最佳逼近最佳逼近性质）性质）设设 是任一被插函数，是任一被插函数，是带有是带有斜率斜率边界边界条件的三次插值样条函数，条件的三次插值样条函数，是与是与

21、有相同分割的有相同分割的任一任一三次样条函数，则有三次样条函数，则有 2(),f xCa b()fSx()S x22()()()()bbfaafxSxdxfxSxdx ()fSx证明：证明：证明方法与性质证明方法与性质1 1类似类似2()()()()bffafxSxSxSxdx 2()()bafxSxdx 2()()bfafxSxdx 2()()bfaSxSxdx 2()()()()bffafxSxSxS x dx （自己自己证明）证明）0 性质性质3 3（误差误差估计）估计）设函数设函数 ，是区间是区间 的一个分割，的一个分割，是是关于关于 的带有的带有型型(斜率边界斜率边界)或或型型(二阶导数边界二阶导数边界)边界条边界条件的插值函数，则有误差估计件的插值函数，则有误差估计其中其中 是是分割比分割比，并且系数，并且系数 与与 是是最优估计最优估计。4(),f xC a b ,a b()S x()f x440 1 2 3()()max()(),rrra x bf xS xC M hr maxminiiiihh 012513384248,CCC 132,C maxiihh 0C1C性质性质说明说明：三次样条插值函数本身连同它的：三次样条插值函数本身连同它的一一、二二、三三阶导数分别收敛到阶导数分别收敛到 及其及其相应导数相应导数，具有，具有强收敛强收敛性。性。()f x