概率75正态总体均值与方差的区间估计课件.ppt

1、单个总体单个总体 的情况的情况两个总体两个总体 的情况的情况小结小结2(,)N 211(,),N 222(,)N 一、单个总体一、单个总体 的情况的情况2(,)N 2(,),XN 并设并设 为来自总体的为来自总体的 1,nXX样本样本,2,X S分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差.均值均值 的置信区间的置信区间1.12为已知为已知(0,1)XNn 可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为 1 22(,)XuXunn 2()Xun 或或22为未知为未知(1)Xt nSn 可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为 1 此分布不依赖于此分

2、布不依赖于任何未知参数任何未知参数2|(1)1XPtnSn 由由22(1),(1)SSXtnXtnnn2(1)SXtnn或或 例例1 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋,称称得重量得重量(以克计以克计)如下如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体均值体均值 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解 这里这里10.95,20.025,115,n 0.025(15)2.131

3、5.t 1611503.75,16iixx 16211()6.2022.15iisxx 2(1)sxtnn 于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为 0.95即即(500.4,507.1)方差方差 的置信区间的置信区间22.222(1)(1)nSn 2221222(1)(1)(1)1nSP nn 由由可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 2222212(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn 222122(1)(1)(1)1nSPnn 由由可得到标准差可得到标准差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 2221211(

4、,)(1)(1)nSnSnn 例例2 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋,称称得重量得重量(以克计以克计)如下如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体标准差体标准差 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解 这里这里20.025,120.975,115,n20.025(15)27.488,20.975(15)6.262.16211()6.2022.15iisxx 于是得到

5、于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为0.952221211(,)(1)(1)nSnSnn 即即(4.58,9.60).二、两个总体二、两个总体 的情况的情况211(,),N 222(,)N 设已给定置信水平为设已给定置信水平为 ,并设并设 1 112,nXXX是来自第一个总体的样本是来自第一个总体的样本,212,nY YY是来自第二是来自第二个总体的样本个总体的样本,这两个样本相互独立这两个样本相互独立.且设且设 分别分别,X Y为第一、二个总体的样本均值为第一、二个总体的样本均值,2212,SS为第一、二为第一、二个总体的样本方差个总体的样本方差.2111(,),XN

6、 n2222(,)YN n因为因为 相互独立相互独立,X Y所以所以 相互独立相互独立.,X Y故故22121212(,)XYN nn12221212()()(0,1)XYNnn 或或两个总体均值差两个总体均值差 的置信区间的置信区间12 1.12212,为已知为已知2212212()XYunn于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 12 222212,为未知为未知2121212()()(2)11XYt nnSnn 其中其中2,SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 2121211(2)XYtnnSnn于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为

7、的置信区间的置信区间为为1 12 其中其中2,SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 例例3 为比较为比较 I,两种型号步枪子弹的枪口两种型号步枪子弹的枪口速度速度,随机地取随机地取 I 型子弹型子弹 10 发发,得到枪口速度的平得到枪口速度的平 均值均值 为为 标准差标准差 随随机地取机地取 型子弹型子弹 20 发发,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为 标准差标准差 假设两总假设两总体都可认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认且生产过程可认为方差相等为方差相等.求两总体均值差求两总体均值差 的置信水平为的置信水平为 0.95 的置信区间的

8、置信区间.1500(),xm s 211.10(),sm s 2496(),xm s 221.20().sm s 12 解解122121211(2)xxtnnsnn 依题意依题意,可认为分别来自两总体的样本是可认为分别来自两总体的样本是相互独立的相互独立的.又因为由假设两总体的又因为由假设两总体的方差相等方差相等,但但数数值未知值未知,故两总体均值差故两总体均值差 的置信水平为的置信水平为的置信区间的置信区间为为12 1 其中其中2,ss 222112212(1)(1).2nsnssnn 这里这里121220.025,10,20,228,nnnn 0.025(28)2.048.t 1.1688

9、.s 故两总体均值差故两总体均值差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区的置信区间间为为12 1500,x 2496,x 122121211(2)xxtnnsnn (40.93)即即 (3.07,4.93).两个总体方差比两个总体方差比 的置信区间的置信区间22122.(为未知为未知)12,22122122212(1,1)SSFnn221212122122212(1,1)(1,1)1SSP FnnFnn 由由即即2221112222212221212111(1,1)(1,1)SSPS FnnS Fnn 可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为1 221222211

10、1222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn 例例5 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内生产的钢管的内径径,随机地抽取机器随机地抽取机器 A生产的钢管生产的钢管18只只,测得样本测得样本方差方差 随机地取机器随机地取机器 B 生产的钢管生产的钢管13只只,测得样本方差测得样本方差 设两样本相互设两样本相互独立独立,且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内径生产的钢管的内径分别服从正态分布分别服从正态分布 这里这里 (i=1,2)均未知均未知.试求方差比试求方差比 的置信水平为的置信水平为 0.90 的置信区间的置信区

11、间.2210.34();smm 2,ii 2220.29().smm 221122,N N 2212这里这里0.10,20.05,120.95,0.05(17,12)2.59,F 即即 (0.45,2.79).22112218,0.34,13,0.29.nsns 解解0.950.0511(17,12).(12,17)2.38FF故两总体方差比故两总体方差比 的置信水平为的置信水平为0.90 的置信区的置信区间间为为2212222111222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn 某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了

12、了30天天,其总金额的平均值是其总金额的平均值是170元元,标准差为标准差为30元，元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为信水平为0.95）.解解设每天职工的总医疗费为设每天职工的总医疗费为X，近似服从正态分布近似服从正态分布X),(2nN 由中心极限定理，由中心极限定理，2 E(X)=,D(X)=则有则有三、课堂练习三、课堂练习nSXU 近似近似 N(0,1)分布分布 使使 1|2unSXP,22 unSXunSX得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计为为 1 未知，用样本标准差未知，用样本标准差S近似代替近似代替.将将 =170,S=30,=1.96,n=30代入得代入得,X的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间是的置信区间是 159.27,180.74 2 u,22 unSXunSX得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计为的区间估计为 1四、小结四、小结 在本节中在本节中,我们学习了单个正态总体均值、方我们学习了单个正态总体均值、方差的置信区间差的置信区间,两个正态总体均值差、方差比的置两个正态总体均值差、方差比的置信区间信区间.