等差数列的前n项和(二)课件.ppt

1、一、复习回顾一、复习回顾1)2nnn aaS （11)2nn nSnad（形式形式1:形式形式2:1、前、前n项和公式项和公式2、在等差数列、在等差数列 an 中，如果已知五个元素中，如果已知五个元素 a1,an,n,d,Sn 中的任意三个中的任意三个,可以求出其余两个量可以求出其余两个量.11)2nn nSnad（1(1)naand 解题思路一般是解题思路一般是:建立方程建立方程(组组)求解求解一、复习回顾一、复习回顾分析：分析：Sn=a1+a2+an，Sn-1=a1+a2+an-1(n2)an=Sn-Sn-1(n2)特别地，当特别地，当n=1时，时，a1=S1例例3、已知数列、已知数列an

2、的前的前n项和为项和为 ，求该数列，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？的通项公式，这个数列是等差数列吗？212nSnnS1，n=1Sn-Sn-1，n2an=故故S1，n=1Sn-Sn-1，n2an=S1，n=1Sn-Sn-1，n2an=故故解：当解：当n2时，时，1 nnnaSS 2211(1)(1)22nnnn122n当当n=1时，时，211131122aS a1也满足也满足式式数列数列an的通项公式为的通项公式为122nan这是首项为这是首项为 ，公差为，公差为2的等差数列的等差数列32例例3、已知数列、已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求该数列，求该数列的通项公式，这个数列是

3、等差数列吗？如果是，它的首项的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？和公差分别是什么？212nSnn 若已知数列若已知数列an前前n项和为项和为Sn，则该数列的，则该数列的通项公式为通项公式为S1，n=1Sn-Sn-1，n2an=注意注意：（：（1）这种做法适用于所有数列；）这种做法适用于所有数列；（2）用这种方法求通项需检验用这种方法求通项需检验a1是否满足是否满足an.例例3变式、已知数列变式、已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？2112nSnn45页探究题页探究题5,121

4、2,22nnann 探究：探究：一般地，如果数列一般地，如果数列an的前的前n项和为项和为Sn=pn2+qn+r，其中其中p、q、r为常数，且为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？分析：当分析：当n=1时，时，a1=S1=p+q+r又又当当n=1时，时，an=2p-p+q=p+q当且仅当当且仅当r=0时，时，a1满足满足an=2pn-p+q故只有当故只有当r=0时该数列才是等差数列，时该数列才是等差数列，此时首项此时首项a1=p+q，公差，公差d=2p(p0)当当n1时，时，an=Sn-

5、Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q2nnSAnBn Aa（为为常常数数）等等差差数数列列例例4、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，求该数列前，求该数列前30项的和。项的和。2n,nSAnBn解解：设设该该等等差差数数列列的的前前 项项和和则则102010010310400201220SABSAB 3,1AB解解得得23nSnn303900302730S2111(21)(1)4nnnnnaSSaan 解解：当当时时，215(1)4nnnnanSaa例例、设设正正项项数数列列的的前

6、前 项项和和满满足足，求求数数列列的的通通项项公公式式11()(2)0nnnnaaaa整整理理得得10 +0nnnaaa 11202nnnnaaaa ，即即2na数数列列是是公公差差为为 的的等等差差数数列列2111111(1),14naSaa当当时时，解解得得1(1)21naandn21nnaan数数列列的的通通项项公公式式为为例例4、已知等差数列、已知等差数列 的前的前n项和为项和为Sn，求，求使得使得Sn最大的序号最大的序号n的值的值.245,4,3,77解：由题意知，解：由题意知，a1=5，公差，公差d=5722(1)55()27575 14145151125 ()14256nn nS

7、nnnn 15782nnS当当 取取与与最最接接近近的的整整数数即即 或或 时时，取取最最大大值值解解2：由题意知，由题意知，a1=5，公差，公差d=5755405(1)()777nann 由由100nnaa得得540077540(1)077nn解得解得7n8当当n取取7或或8时，时，Sn最大最大例例4、已知等差数列、已知等差数列 的前的前n项和为项和为Sn，求，求使得使得Sn最大的序号最大的序号n的值的值.245,4,3,77求等差数列求等差数列an的前的前n项和项和Sn的最值的方法：的最值的方法：（1）利用）利用Sn=pn2+qn进行配方，求二次函数的最值，进行配方，求二次函数的最值，此时

8、此时n应取最接近应取最接近_的正整数值；的正整数值；（2）利用等差数列的增减性及）利用等差数列的增减性及an的符号变化，的符号变化，当当a10，d0时，时，Sn有最大值，有最大值，此时可由此时可由an0且且an+10求出求出n的值；的值；当当a10时，时，Sn有最小值，有最小值，此时可由此时可由an0 且且an+1 0求出求出n的值；的值；注意：当数列中有一项为注意：当数列中有一项为0时，时，n应有两解应有两解.2qp 证明：证明：依题意可得依题意可得61121181615,1266,18153,SadSadSad126118121651,687SSad SSad12616181212()12

9、102,()12102SSadSSSad即即126618122()()SSSSSS6，S12-S6，S18-S12也是等差数列也是等差数列思考：等差数列思考：等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，则数列，则数列 S6，S12-S6，S18-S12 是等差数列吗？是等差数列吗？一般地，若等差数列一般地，若等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，则数列，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，也为等差数列。也为等差数列。练习：练习：1、在等差数列、在等差数列an中，若中，若a1+a2+a3=-3，a4+a5+a6=1，则则a7+a8+a9=_；2、在等差数列、在等差数列an中，已知中，已知S

10、4=2，S8=7，则，则S12=_；155小结：小结：1、利用前、利用前n项和求通项的方法：项和求通项的方法：2、等差数列前、等差数列前n项和的一个重要性质：项和的一个重要性质：S1，n=1Sn-Sn-1，n2an=一般地，若等差数列一般地，若等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，则数列，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，也为等差数列。也为等差数列。3、数列、数列an是等差数列是等差数列2(0)nSAnBn A练习：在等差数列练习：在等差数列an中，若中，若a2=-18，a4=-10，则该数列，则该数列的前的前n项和项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？何时取得最小值，最小值是多少

11、？解：解：a2=-18，a4=-10a1+d=-18a1+3d=-10解得解得a1=-22，d=4当当n=6时，时，Sn取最小值取最小值-722(1)2242 224nn nSnnn 22(6)72n思考：思考：在等差数列在等差数列an中，中，Sn为其前为其前n项和，首项项和，首项a1=13，且且S3=S11，求此数列前，求此数列前n项和的最大值。项和的最大值。练习：在等差数列练习：在等差数列an中，若中，若a2=-61，a5=-16，则该数列，则该数列的前的前n项和项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？何时取得最小值，最小值是多少？解：解：a2=-61，a5=-16a1+d=-61a1+4d

12、=-16解得解得a1=-76，d=15an=a1+(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91令令 ，解得，解得11561515n当当n=6时，时，Sn取最小值，此时取最小值，此时1(1)6(76)15 152312nn nSnad an=15n-910an+1=15(n+1)-910作业：作业：1、课本、课本P46A组第组第6题题2、在一等差数列中，若前在一等差数列中，若前 15 项的和为项的和为 90，前，前 30 项项 的和为的和为-270。（1）求能使前）求能使前 n 项和项和 Sn为负数的最小的项数为负数的最小的项数 n；（2）求前）求前 n 项和项和 Sn中的最大值，并求出中

13、的最大值，并求出 Sn取最取最 大值时项数大值时项数 n 的值。的值。练习练习：已知数列已知数列 na的前的前n项和项和nnS23，求，求na 15 122nnnan ，等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad 若已知数列若已知数列an前前n项和为项和为Sn，则该数列的，则该数列的通项公式为通项公式为S1，n=1Sn-Sn-1，n2an=思考：思考：若若35310aa，则，则59SS 等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad1(1)naand练习：练习：在在等差数列等差数列an中，中，（1）若）若 S5=25，a2=3，则，则 S10=_；（2）若若 S12=21，则则 a2+a5+a8+a11=_.100716