人教八年级数学上册与三角形有关的线段.ppt

1、人教八年级数学上册与三角形有关的线段概念概念图例图例三角形三角形由不在同一条直线上的三由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形成的图形叫作三角形.用符用符号号“”来表示，如来表示，如ABC三角形的定义及相关概念三角形的定义及相关概念概念概念图例图例三三角角形形的的基基本本元元素素边边组成三角形的线段组成三角形的线段.图例中的线图例中的线段段BC，CA，AB，也可以用对，也可以用对应的应的a，b，c来表示来表示顶顶点点两边的公共点两边的公共点.图例中的点图例中的点A，B，C角角相邻两边组成的角相邻两边组成的角.图例中的图例中的A，B，C知识知识解读解读

2、三角形的定义有三个要点：三角形的定义有三个要点：(1)不在同一条直线不在同一条直线上上,(2)三条线段三条线段,(3)首尾顺次相接首尾顺次相接巧记乐背巧记乐背首尾相接三线段，首尾相接三线段，三边三角三顶点三边三角三顶点.数复杂图形中三角形个数的方法数复杂图形中三角形个数的方法 可以先固定三角形的一个顶点，再确定另两个顶点，可以先固定三角形的一个顶点，再确定另两个顶点，按一定的顺序数；可以固定三角形的一条边，再确定三按一定的顺序数；可以固定三角形的一条边，再确定三角形的另一个顶点，按一定的顺序数；可以按照图形的角形的另一个顶点，按一定的顺序数；可以按照图形的形成过程来数等，原则是分类标准统一，做

3、到不重不漏形成过程来数等，原则是分类标准统一，做到不重不漏.例例1 如图如图11-1-1，图中有几个三角形，分别表示出来，图中有几个三角形，分别表示出来，并指出其中一个三角形的边和角并指出其中一个三角形的边和角.图11-1-1解：图中共有五个三角形，分别是解：图中共有五个三角形，分别是AMN,ABC,MBE,BEC,ENC.其中其中,AMN的三条边分别是的三条边分别是AM,AN,MN，三个角分，三个角分别是别是A,AMN,ANM.找三角形时，可以按找三角形时，可以按“边边”的顺序逐一来找，如此题的顺序逐一来找，如此题中以中以AB为边的为边的ABC，以，以AM为边的为边的AMN，以，以BM为为边

4、的边的MBE，以，以NC为边的为边的ENC，以，以EC为边的为边的BEC.三角形的分类三角形的分类按边分类按边分类按角分类按角分类三角三角形的形的分类分类知识知识解读解读（1）按内角的大小判断一个三角形的形状时主要）按内角的大小判断一个三角形的形状时主要看三角形中最大内角的度数；（看三角形中最大内角的度数；（2）等边三角形是）等边三角形是特殊的等腰三角形；（特殊的等腰三角形；（3）三角形按边分类的包含）三角形按边分类的包含图，如下图图，如下图知识知识解读解读三角形三角形例例2 下列说法中，描述正确的是下列说法中，描述正确的是_（填序号）（填序号）.三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰

5、三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；三角形和等边三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形；等腰三角形是特殊的等边三角形；等腰三角形是特殊的等边三角形；两边相等的三角形一定是等腰三角形，但不一定是等两边相等的三角形一定是等腰三角形，但不一定是等边三角形边三角形.解析：等腰三角形包含等边三角形，故错误；等边三解析：等腰三角形包含等边三角形，故错误；等边三角形是特殊的等腰三角形，故正确，错误；由等腰角形是特殊的等腰三角形，故正确，错误；由等腰三角形的定义知，两边相等的三角形一定是等腰三角形，三角形的定义知，两边相等的三角形一定是等腰三角形，三边

6、都相等的三角形是等边三角形，故正确三边都相等的三角形是等边三角形，故正确.三角形的三边关系文字叙述文字叙述几何语言几何语言三角三角形的形的三边三边关系关系三角形两边的和大三角形两边的和大于第三边于第三边若若a,b,c分别是分别是ABC的三边，的三边，则有则有a+bc,b+ca,a+cb三角形两边的差小三角形两边的差小于第三边于第三边若若a,b,c分别是分别是ABC的三边，的三边，不妨设不妨设abc,则有则有a-bc,b-ca,a-cb知识知识解读解读(2)三角形两边的和大于第三边中三角形两边的和大于第三边中“两边的和两边的和”是是指任意两边的和，三角形两边的差小于第三边中指任意两边的和，三角形

7、两边的差小于第三边中“两边的差两边的差”是指任意两边中较长边与较短边的是指任意两边中较长边与较短边的差；差；(1)知识知识解读解读（3）三角形三边关系的逆用：如果三条线段满）三角形三边关系的逆用：如果三条线段满足任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三足任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段一定能组成三角形；如果三条线段满足任条线段一定能组成三角形；如果三条线段满足任意两条线段的差小于第三条线段，那么这三条线意两条线段的差小于第三条线段，那么这三条线段一定能组成三角形段一定能组成三角形巧记乐背巧记乐背两边和大于第三边，两边和大于第三边，两边差小于第三边两边差小于第三边,三边的关系不一般

8、，三边的关系不一般，反过来使用最广泛反过来使用最广泛.例例3 下列长度的三条线段下列长度的三条线段(单位：单位：cm)，能组成三角形，能组成三角形的是（的是（）A.1,2,3.5 B.4,5,9 C.5,8,15 D.6,8,9D 解析：选择较短的两条线段，计算它们的和是否解析：选择较短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能组成三角形，否则不大于最长的线段，若大于，则能组成三角形，否则不能组成三角形，只有能组成三角形，只有68149，所以长度为，所以长度为6,8,9的的三条线段能组成三角形三条线段能组成三角形.故选故选D.例例4 已知三角形三边长分别为已知三角形三边长分别为2

9、，x，13，则，则x的取值的取值范围是范围是_.解析：由三角形的三边关系知解析：由三角形的三边关系知13-2x13+2,即即11x15.11x15三角形的高、中线与角平分线三角形的高、中线与角平分线概念概念图例图例几何语言几何语言推理语言推理语言三角三角形的形的三条三条重要重要线段线段高高过三角过三角形的顶形的顶点作其点作其对边或对边或其延长其延长线的垂线的垂线段线段过顶点过顶点A作作ADBC，垂足为垂足为D，则则AD是是ABC中中BC边上的边上的高高AD是是ABC中中BC边上的高，边上的高，ADBC（或（或ADC=90,或或ADB=90）概念概念图例图例几何语言几何语言推理语言推理语言三角三

10、角形的形的三条三条重要重要线段线段中中线线顶点与其对顶点与其对边中点连接边中点连接所得的线段所得的线段取取BC边的边的中点中点D，连，连接接AD，则，则AD是是ABC的的边边BC上的上的中线中线AD是是ABC的的边边BC上上的中线，的中线，BD=CD=BC21概念概念图例图例几何语言几何语言推理语言推理语言三角三角形的形的三条三条重要重要线段线段角角平平分分线线三角形的一三角形的一个角的平分个角的平分线和对边相线和对边相交，顶点和交，顶点和交点间的线交点间的线段叫作三角段叫作三角形的角平分形的角平分线线作作A的平的平分线，交分线，交BC边于点边于点D，则，则AD是是ABC的角平分的角平分线线A

11、D是是ABC中中A的平的平分线，分线，BAD=CAD=BAC21知识知识解读解读（1）三角形的高、中线与角平分线都是线段，特）三角形的高、中线与角平分线都是线段，特别是三角形角的平分线与角的平分线是不同的，别是三角形角的平分线与角的平分线是不同的，一条是线段，一条是射线；（一条是线段，一条是射线；（2）三角形的中线与）三角形的中线与角平分线一定在三角形的内部，而三角形的高则角平分线一定在三角形的内部，而三角形的高则不一定不一定巧记乐背巧记乐背中线高线角平分线，中线高线角平分线，各为三条是线段，各为三条是线段，有高可得线垂直，有高可得线垂直，中线可得等线段，中线可得等线段，平分内角角平分线，平分

12、内角角平分线，灵活运用真简单灵活运用真简单.（1）三角形的三条高所在的位置：如图，锐角三角）三角形的三条高所在的位置：如图，锐角三角形的三条高，都在三角形内部；直角三角形的三条高，形的三条高，都在三角形内部；直角三角形的三条高，其中两条是直角边，另一条在三角形的内部；钝角三角其中两条是直角边，另一条在三角形的内部；钝角三角形的三条高，其中两条在三角形外部，另一条在三角形形的三条高，其中两条在三角形外部，另一条在三角形内部内部.（2）三角形的三个重要的点：三角形的三条高，三）三角形的三个重要的点：三角形的三条高，三条中线，三条角平分线分别相交于一点，其中三角形三条中线，三条角平分线分别相交于一点

13、，其中三角形三条高的交点叫作三角形的垂心；三条中线的交点叫作三条高的交点叫作三角形的垂心；三条中线的交点叫作三角形的重心；三条角平分线的交点叫作三角形的内心角形的重心；三条角平分线的交点叫作三角形的内心.（3）三角形三条高的交点的位置：锐角三角形三条）三角形三条高的交点的位置：锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；直角三角形三条高的交点在高的交点在三角形的内部；直角三角形三条高的交点在直角顶点上；钝角三角形三条高的交点在三角形的外部，直角顶点上；钝角三角形三条高的交点在三角形的外部，如图如图.锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形 例例6 如图如图11-1-2,在在ABC

14、中，中，12，点，点G为为AD的中点，连接的中点，连接BG并延长交并延长交AC于点于点E，点，点F为为AB上一点，上一点，CFAD于点于点H，下面说法正确的是，下面说法正确的是_（填序号）（填序号）.AD是是ABE的角平分线；的角平分线；BE是是ABD的边的边AD上上的中线；的中线；CH为为ACD的边的边AD上的高；上的高；AH是是ACF的角平分线和高线的角平分线和高线.图图11-1-2 解析：因为解析：因为12，所以，所以AD是是ABC的角平分线，的角平分线，AH是是ACF的角平分线的角平分线.又因为又因为CFAD于点于点H，所以，所以AH是是ACF的高线，的高线，CH为为ACD的边的边AD

15、上的高，所以上的高，所以错误，正确错误，正确.因为点因为点G为为AD的中点，所以的中点，所以BG是是ABD的边的边AD上的中线，所以错误上的中线，所以错误.三角形的稳定性三角形的稳定性概念概念三角形的三角形的稳定性稳定性如果三角形的三条边的长度确定，那么这个如果三角形的三条边的长度确定，那么这个三角形的形状与大小也确定三角形的形状与大小也确定知识解读知识解读(1）生活中的三角形稳定性的应用：三角形）生活中的三角形稳定性的应用：三角形吊臂、屋顶钢架、自行车钢梁等吊臂、屋顶钢架、自行车钢梁等.知识解读知识解读（2）四边形及边数为四以上的图形不具有）四边形及边数为四以上的图形不具有稳定性，构造出三角

16、形，可使不稳定图形稳定性，构造出三角形，可使不稳定图形变稳定变稳定让多边形变稳定则至少需再钉几根木条：让多边形变稳定则至少需再钉几根木条：四边形：再钉上四边形：再钉上1 根木条，使四边形变成根木条，使四边形变成2 个三角形；个三角形；五边形：再钉上五边形：再钉上2 根木条，使五边形变成根木条，使五边形变成3 个三角形；个三角形；n边形：再钉上（边形：再钉上（n-3）根木条，使）根木条，使n边形变成（边形变成（n-2）个）个三角形三角形.例例7 如图如图11-1-3，一扇窗户打开后用窗钩，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固可将其固定，这里所运用的几何原理是（定，这里所运用的几何原理是（）A.三角形

17、的稳定性三角形的稳定性 B.两点之间线段最短两点之间线段最短C.两点确定一条直线两点确定一条直线 D.垂线段最短垂线段最短图图11-1-3A 解析：加上窗钩解析：加上窗钩AB后，原图形中构造出后，原图形中构造出AOB，故，故这种做法根据的是三角形的稳定性这种做法根据的是三角形的稳定性.故选故选A.忽略三角形三边之间的关系忽略三角形三边之间的关系 例例8 已知等腰三角形的周长为已知等腰三角形的周长为16，且一边长为，且一边长为3，则，则腰长为腰长为_.6.5解析：当腰长为解析：当腰长为3时，底边长为时，底边长为16-3-3=10.因为因为3+3BC时，时，如图如图11-1-4(2),当当AB=A

18、C,ABBC时时,所以这个等腰三角形的各边长分别为所以这个等腰三角形的各边长分别为8 cm,8 cm,5 cm或或6 cm,6 cm,9 cm.xxx=y=xy112,8215.9.2 ，解解得得xxx=y=xy19,6219.12.2 ，解解得得题中没有给出图形，在解答时，常按自己熟悉的等腰三题中没有给出图形，在解答时，常按自己熟悉的等腰三角形求解，从而遗漏了图（角形求解，从而遗漏了图（2）的情况，即没有做到运用）的情况，即没有做到运用分类讨论的思想方法求解，导致出现错误分类讨论的思想方法求解，导致出现错误.角度角度a 根据三角形三边关系求第三边根据三角形三边关系求第三边题型一题型一 三角形

19、三边关系的应用三角形三边关系的应用 例例10 已知三角形两边长分别为已知三角形两边长分别为3和和8，则该三角形第，则该三角形第三边的长可能是（三边的长可能是（）A.5 B.10 C.11 D.12B思路导图思路导图根据三角形的根据三角形的三边关系求解三边关系求解由由8-3第三第三边的长边的长c,b+ca,a+cb都成立时，都成立时，a,b,c可组成三角形；当可组成三角形；当|a-b|ca时，时，a,b,c可组成三角形可组成三角形.（2）已知三角形的两边，确定第三边的取值范围）已知三角形的两边，确定第三边的取值范围.已已知三角形的两边长分别为知三角形的两边长分别为a,b,设第三边长为设第三边长为

20、c,那么有那么有|a-b|cb时时,2aa+b+c2(a+b)，当，当ab时，时，2ba+b+c2(a+b).(3)可证明线段之间的不等关系可证明线段之间的不等关系.解读中考：解读中考：中考在这一节内容中，对三角形的三边关系及其运中考在这一节内容中，对三角形的三边关系及其运用，常常结合等腰三角形的周长考查，这也是本节内容用，常常结合等腰三角形的周长考查，这也是本节内容的重点的重点.在其他知识点中，如：三角形高的作法，三角在其他知识点中，如：三角形高的作法，三角形的中线与面积，三角形的稳定性等方面鲜有涉及形的中线与面积，三角形的稳定性等方面鲜有涉及.考考查的题型主要有选择题和填空题，难度较小查的

21、题型主要有选择题和填空题，难度较小.考点一考点一 判断三条线段能否组成三角形判断三条线段能否组成三角形 例例17 （湖南岳阳中考）下列长度的三根小木棒能（湖南岳阳中考）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（构成三角形的是（）A.2 cm，3 cm，5 cm B.7 cm，4 cm，2 cm C.3 cm，4 cm，8 cm D.3 cm，3 cm，4 cmD 解析：解析：A中因为中因为2+3=5，所以不能构成三角形，故，所以不能构成三角形，故A不满足题意；不满足题意；B中因为中因为2+47，所以不能构成三角形，所以不能构成三角形，故故B不满足题意；不满足题意；C中因为中因为3+48，所以不能构

22、成三角，所以不能构成三角形，故形，故C不满足题意；不满足题意；D中因为中因为3+34，所以能构成三，所以能构成三角形，故角形，故D满足题意满足题意.故选故选D.考点二考点二 三角形三边关系的运用三角形三边关系的运用 例例18 （湖南长沙中考）若一个三角形的两边长分（湖南长沙中考）若一个三角形的两边长分别为别为3和和7，则第三边长可能是（，则第三边长可能是（）A.6 B.3 C.2 D.11A 解析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，解析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得两边之差小于第三边，得|7-3|第三边长第三边长3+7，所以符，所以符合条件的整数为合条件

23、的整数为6.故选故选A.核心素养核心素养 例例20 如图如图11-1-8,有四个村庄有四个村庄A,B,C,D，现在要修建，现在要修建一个物流中心一个物流中心P，物流中心，物流中心P应建在什么位置，才能使应建在什么位置，才能使它到四个村庄的距离之和最小，说明最节省材料的办法它到四个村庄的距离之和最小，说明最节省材料的办法和理由和理由.图图11-1-8 分析：分析：显然，物流中心显然，物流中心P应该选在四边形应该选在四边形ABCD内内部部.要使物流中心要使物流中心P到村庄到村庄D与与B的距离之和最短，那么的距离之和最短，那么点点P应该在线段应该在线段DB上，同理，点上，同理，点P也应该在线段也应该

24、在线段AC上，上，则由此推断，点则由此推断，点P应该在应该在AC与与BD的交点上的交点上.解：如图解：如图11-1-9，物流中心应建在线段，物流中心应建在线段AC和线段和线段BD的交点的交点P处处,这样的设计最节省材料这样的设计最节省材料.理由：我们不妨任意理由：我们不妨任意取一点取一点P，连接，连接AP，BP，CP，DP，AB，BC,CD，DA.因为在因为在APC中，中，AP+CPAC=AP+CP.在在BPD中，中，BP+DPBD=BP+DP.+，得，得AP+BP+CP+DPAP+BP+CP+DP因为点因为点P是任意的，所以线段是任意的，所以线段AC和和BD的交点的交点P到到4 个村个村庄的距离之和最小庄的距离之和最小.NoImage图图11-1-9