华东师大版九年级下册数学27.1.2圆的对称性课件2(华师版九下).ppt

1、华东师大版九年级下册数学2727.1.2圆的对称性圆的对称性灿若寒星在在 O中，若中，若 则则AB与与CD的关系是（）的关系是（）A AB2CD B AB2CDC AB2CD D CDAB2CD灿若寒星复习提问：复习提问：1 1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形2

2、2、我们所学的圆是不是、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？轴对称图形呢？圆是轴对称图形，经过圆圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们心的每一条直线都是它们的对称轴的对称轴.灿若寒星 如如图图27.1.7，如果在图形纸片上任意画一条，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径垂直于直径CD的弦的弦AB，垂足为垂足为P，再将纸片沿着再将纸片沿着直径直径CD对折，比较对折，比较AP与与PB、弧弧AC与弧与弧CB，你能发现什么结论？你能发现什么结论？?图23.1.7?O?D?C?B?A探索探索2 2：再做一做：再做一做,想一想想一想:演示演示P灿若寒星结论结论：BPOACD在在OO中，如果中，如果CDC

3、D是直径是直径CDP,于于AD=BD，AC=BC那么：那么：AP=BP，垂直于弦的直径垂直于弦的直径 平分这条弦，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。灿若寒星看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBE灿若寒星 已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E。求证：。求证：AEBE，ACBC，ADBD。C.OAEBD叠叠 合合 法法证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB。因为垂直于弦因为垂直于弦AB的直径的直径CD所在的所在的直线既是等腰三角形直线既是等腰三角形OAB的对称轴的对称轴又是又是 O的对称轴。所

4、以，当把圆的对称轴。所以，当把圆沿着直径沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两两侧的两个半圆重合，个半圆重合，A点和点和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、BD重合。因此重合。因此AEBE，ACBC，ADBD灿若寒星垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心 （直径）（直径）（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧灿若寒星讨论讨论（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）

5、垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所对优弧分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1）平分弦（）平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧一个圆的任意两条一

6、个圆的任意两条直径总是直径总是互相平分互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦如果是直径，因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。结论就不一定成立。灿若寒星命题（命题（1）：平分弦（）：平分弦（不是直径不是直径）的直径垂）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧直于弦，并且平分弦所对的两条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC命题（命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD

7、AB，求证：求证：CD是直径，是直径，ADBD，ACBC命题（命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD（ACBC）求证：求证：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB.OAEBDC灿若寒星垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线

8、经过圆心，并且平分弦所对）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧且平分弦所对的另一条弧垂径定理垂径定理记忆记忆推论推论简称：知二推三1.过圆心2.垂直于弦3.平分弦4.平分优弧5.平分劣弧灿若寒星判断判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被

9、这条直径平分分.()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）灿若寒星例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的的半径。半径。解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。.AEBO讲解讲解灿若寒

10、星根据垂径定理与推论可知对于一个根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论可以推出其他三个结论注意注意灿若寒星例2：平分弧AB 画法：连结AB；画AB的中垂线，交弧AB于点E。?点E就是所求的分点。灿若寒星例例3 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D

11、两点。两点。求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO讲解讲解灿若寒星例例4 已知：已知：O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则。则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AMCMBMDMACBD.MCDABON讲解讲解灿若寒星推论（推论（1）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆

12、心，并且平分弦所）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧弦，并且平分弦所对的另一条弧推论（推论（2）圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等灿若寒星 例例3 已知已知 O的直径是的直径是50 cm，O的的两条平行弦两条平行弦AB=40 cm，CD=48cm，求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。.AEBOCD20152525247讲解讲解.AEBOCDFEF有两解：有两解：15+7=22cm 15-7=8cm灿若寒星如图，如图，O的半径为的半径为5，弦，弦

13、AB的长为的长为8，M是弦是弦AB上的动点，则线段上的动点，则线段OM的长的最小的长的最小值为值为_._.最大值为最大值为_._.35灿若寒星 如图，矩形如图，矩形ABCDABCD与圆与圆O O交于点交于点A A、B B、E E、F F，DE=1cmDE=1cm，EF=3cmEF=3cm，则，则AB=_cmAB=_cmFEDCBAO5灿若寒星如图，在圆如图，在圆O中，已知中，已知AC=BD，试说明：试说明：（1）OC=OD （2）AE=BFFECOABD灿若寒星回味引伸回味引伸 垂径定理及其推论垂径定理及其推论1的实质是把的实质是把(1)直线直线MN过圆心过圆心;(2)直线直线MN垂直垂直AB

14、;(3)直线直线MN平分平分AB;(4)直线直线MN平分弧平分弧AMB;(5)直线直线MN平分弧平分弧ANB 中的两个条件进行了中的两个条件进行了四种四种组合组合,分别推出了其余的三个分别推出了其余的三个 结论结论.这样的组合还有这样的组合还有六种六种，由于时间有限，由于时间有限,课堂上未作课堂上未作 进一步的推导进一步的推导,同学们课下不妨试一试同学们课下不妨试一试.灿若寒星E小结小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。

15、.CDABOMNE.ACDBO.ABO灿若寒星学生练习学生练习已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDF灿若寒星作业：作业：课后练习课后练习1，2及想一想及想一想谢谢观看谢谢观看灿若寒星CDABEFG变式一变式一：求弧求弧ABAB的四等分点。的四等分点。mn灿若寒星CDABE例：例：已知：弧已知：弧AB作法：作法：连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交弧，交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点。的中点。求作：弧求作：弧AB的中点的中点灿若寒星CDABMTEFGHNP求弧求弧ABAB的四等

16、分点的四等分点错在哪里错在哪里？等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线。作AB的垂直平分线CD。作ATBT的垂直 平分线EFGH灿若寒星CABE变式二变式二：你能确定你能确定 弧弧ABAB的圆心吗？的圆心吗？mnDCABEmnO灿若寒星 灿若寒星你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平及它们的垂直平分线分线mmn n，交于，交于OO点；以点；以OO为圆为圆心，心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。灿若寒星破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对

17、的两条弧。作图依据：灿若寒星 已知：已知：AB、CD是是 O的两条平行弦，的两条平行弦，MN是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。求证：求证：MN垂直平分垂直平分CD。MOANCDB 圆内圆内平行弦平行弦的垂直平分线是的垂直平分线是互相互相重合重合的。的。灿若寒星 已知：已知：AB、CD是是 O的两条平行弦，的两条平行弦，MN是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。求证：求证：MN垂直平分垂直平分CD。MOABNCD分析分析：MN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 则有：则有：由由ABCD，MNAB 则有：则有：MNCD由垂径定理，得由垂径定理，得MN平分平分CD所以：所以：MN垂直平分垂直平分CD灿

18、若寒星MOBNCD证明证明：MN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 MNCD MN平分平分CDAABCD，MNABMN垂直平分垂直平分CD灿若寒星 例例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为度为60cm，水面至管道顶部距离为，水面至管道顶部距离为10cm,问问修理人员应准备内径多大的管道？修理人员应准备内径多大的管道？解：过点解：过点O作作OCAB,垂足为点垂足为点C,交交 O与点与点D，连接，连接OA。CD222222130,210.,30(10)502100,100ACABOC

19、ODCDAOAOCACOCORRRRRcmcm在Rt中，AO设 的半径为则即内径为的管道。试一试试一试灿若寒星OPABCD例例3：如图，：如图，P是是 O外一点，射外一点，射线线PAB，PCD分分别交别交 O于于A、B和和C、D，已知，已知AB=CD，求证：求证：PO平分平分BPDFE灿若寒星OPABCD若把上题改为：若把上题改为：P是是 O内一点，内一点，直线直线APB，CPD分别交分别交 O于于A、B和和C、D，已知，已知AB=CD，结论还成立吗？结论还成立吗？FE灿若寒星1、在、在 O中，中，OC垂直于弦垂直于弦AB，AB=8，OA=5，则，则AC=，OC=。ABCOABCO58432、

20、在、在 O中，中，OC平分弦平分弦AB，AB=16，OA=10，则，则OCA=，OC=。1610906灿若寒星3.在在 O中，若中，若CD AB于于M，AB为为直径，则下列结论不正确的是（直径，则下列结论不正确的是（）4.已知已知 O的直径的直径AB=10，弦，弦CD AB，垂足为垂足为M，OM=3，则，则CD=.5.在在 O中，中，CD AB于于M，AB为直径，若为直径，若CD=10，AM=1，则，则 O的半径是的半径是 .OCDABMC A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM813灿若寒星6.6.如图，如图，O的半径为的半径为5，弦，弦AB的长为的长为8，M是弦是弦

21、AB上的动点，则线段上的动点，则线段OM的长的最小的长的最小值为值为_._.最大值为最大值为_._.35灿若寒星 7.7.如图，矩形如图，矩形ABCDABCD与圆与圆O O交于点交于点A A、B B、E E、F F，DE=1cmDE=1cm，EF=3cmEF=3cm，则，则AB=_cmAB=_cmFEDCBAO5灿若寒星o 8.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGH灿若寒星9.如图，在圆如图，在圆O中，已知中，已知AC=BD，试说明：试说明：（1）OC=OD （2）AE=BFFECOABD灿若寒星10：如

22、图，已知圆：如图，已知圆O的直径的直径AB与与 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E，BFCD于于F，且圆，且圆O的半径为的半径为 10，CD=16，求，求AE-BF的长。的长。11:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。GEFAOBCDEDOCAB灿若寒星12.如图：点如图：点A是半圆上的三等分点，是半圆上的三等分点，B是弧是弧AN的的中点，中点，P是直径是直径MN上一动点，圆上一动点，圆O的半径是的半径是1，问问P在直线在直线MN 上什么位置时，上什么位置时，AP+BP的值最小？的值最小？并求出最小值

23、并求出最小值灿若寒星o 13.已知已知A,B是是 O上的两点上的两点,AOB=1200,C是是 的的中点中点,试确定四边形试确定四边形OACB的形状的形状,并说明理由并说明理由.AB灿若寒星船能过拱桥吗船能过拱桥吗o 14.如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高米、船舱顶部为长方形并高出水面出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱此货船能顺利通过这座拱桥吗？桥吗？o 相信自己能独立相信自己能独立完成解答完成解答.灿若寒星船能过拱桥吗船能过拱

24、桥吗o 解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.灿若寒星灿若寒星