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1、第八章函数第八章函数本章说明本章说明q本章的主要内容本章的主要内容函数的定义函数的定义函数的性质函数的性质函数的逆函数的逆函数的合成函数的合成 q本章与后续各章的关系本章与后续各章的关系是代数系统的基础是代数系统的基础 8.1 函数的定义与性质函数的定义与性质8.2 函数的复合与反函数函数的复合与反函数 本章小结本章小结 习习 题题 作作 业业8.1 8.1 函数的定义与性质函数的定义与性质定义定义8.18.1 q 设设F为二元关系，为二元关系，若若 xdomF都存在唯一的都存在唯一的yranF使使xFy成成立，立，则称则称F为函数为函数(也可以称作映射也可以称作映射)。q 对于函数对于函数F

2、，如果有如果有xFy，则记作则记作y=F(x)，并称并称y为为F在在x的值。的值。一、函数与相关概念一、函数与相关概念q 函数是特殊的二元关系。函数是特殊的二元关系。说说明明例如：例如：F1=,F2=,是函数是函数不是函数不是函数1 1、函数的定义、函数的定义2、函数相等函数相等定义定义8.28.2设设F,G为函数为函数,则则F=G 由定义可知，两个函数由定义可知，两个函数F和和G相等相等,一定满足下面两个条件：一定满足下面两个条件：（1）domF=domG（2）xdomF=domG，都有都有F(x)=G(x)例如：例如：判断函数判断函数F(x)=(x2 1)/(x+1),G(x)=x 1是否

3、相等是否相等 domFx|x R x-1 domG=R显然，显然，domF domG，所以两个函数不相等。所以两个函数不相等。F GG F 3、从从A到到B的函数的函数 定义定义8.38.3 设设A,B为集合为集合,如果如果f为函数，为函数，domf=A，ranf B，则称则称f为从为从A到到B的函数，记作的函数，记作f：AB。例如：例如：f：NN，f(x)=2x是从是从N到到N的函数，的函数，g：NN，g(x)=2也是从也是从N到到N的函数。的函数。4、所有从所有从A到到B的函数的函数 定义定义8.48.4 所有从所有从A到到B的函数的集合记作的函数的集合记作BA，读作读作“B上上A”，符号

4、化表示为符号化表示为 BA=f|f：AB。例例8.28.2 设设A=1,2,3，B=a,b，求求BA。解：解：BAf 0,f 1,f 2,f 3,f 4,f 5,f 6,f 7。其中。其中q若若|A|=m，|B|=n，且且m,n0，则则|BA|=nm。q当当A或或B至少有一个集合是空集时：至少有一个集合是空集时：A=且且B=，则，则BA。A=且且B，则，则BAB。A且且B=，则则BA=A=。说说明明 f 0,f 1,f 2,f 3,f 4,f 5,f 6,f 7,5 5、函数的像和完全原像函数的像和完全原像定义定义8.58.5 设函数设函数f：AB，A1 A，B1 B。（1）令令f(A1)=f

5、(x)|xA1，称称 f(A1)为为A1在在f下下的像的像。特别地，特别地，当当A1A时，称时，称 f(A)为函数的像。为函数的像。（2）令令f 1(B1)=x|xAf(x)B1，称称f 1(B1)为为B1在在f下的完下的完 全原像。全原像。q注意区别函数的值和像两个不同的概念。注意区别函数的值和像两个不同的概念。函数值函数值f(x)B，而函数的像而函数的像f(A1)B。说说明明例例8.38.3 设设f:NN，且且 令令A=0,1，B=2，求求f(A)和和 f 1(B)。/2()1xxf xxx若 为偶数若 为奇数解：解：f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2 f 1(B)=f 1

6、(2)=1,4q一般说来一般说来f 1(f(A1)A1,但是但是A1 f 1(f(A1)。说说明明二、二、函数的性质函数的性质定义定义8.68.6 设设f:AB，q若若ran f=B，则称则称f:AB是满射的。是满射的。q若若 yran f 都存在唯一的都存在唯一的xA使得使得f(x)=y，则称则称 f:AB是是 单射的。单射的。q若若f 既是满射又是单射的既是满射又是单射的，则称，则称f:AB是双射的是双射的(一一映像一一映像)。q如果如果f:AB是满射的，则是满射的，则对于任意的对于任意的y B，都存在都存在x A ，使得使得f(x)=y。q如果如果f:AB是单射的，则是单射的，则对于对于

7、x1、x2 A且且x1x2，一定一定 有有f(x1)f(x2)。换句话说，换句话说，如果对于如果对于x1、x2 A有有 f(x1)=f(x2)，则一定有则一定有x1=x2。说说明明例例8.48.4 判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么?(1)f：RR，f(x)=-x2+2x-1(2)f：RZ，f(x)=x (3)f：RR，f(x)=2x+1解解:（1）f 在在x=1取得极大值取得极大值0。既不是单射也不是满射的。既不是单射也不是满射的。（2）f 是满射的，是满射的，但不是单射的，例如但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1。（3）f

8、是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且ranf=R。例例8.68.6 对于给定的集合对于给定的集合A和和B构造双射函数构造双射函数f:AB。（1）A=P(1,2,3),B=0,11,2,3（2）A=0,1,B=1/4,1/2（3）A=Z,B=N（4）A=/2,3/2,B=1,1解：解：（1）A=P(1,2,3),B=0,11,2,3 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3。B=f0,f1,f7,其中其中f0=,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,。令令f:AB,f()=f0,f(1)=f1,f(2)=f2,f(3)

9、=f3,f(1,2)=f4,f(1,3)=f5,f(2,3)=f6,f(1,2,3)=f7（2）A=0,1,B=1/4,1/2 令令f:AB,f(x)=(x+1)/4。（3）A=Z,B=N 将将Z中元素以下列顺序排列并与中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：中元素对应：Z：0 11 22 33 N：0 12 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是：则这种对应所表示的函数是：20,()210ZxxfN f xxx：（4）A=/2,3/2,B=1,1 令令f:AB，f(x)=sinx。三、三、常用函数常用函数定义定义8.78.7 常函数、恒等函数、递增函数、特征函数、自然映射常函数、恒等函数、递

10、增函数、特征函数、自然映射q 设设f：AB，如果存在如果存在cB使得对所有的使得对所有的xA都有都有f(x)=c，则则称称f：AB是常函数。是常函数。q 设设f：AB，对所有的对所有的xA都有都有IA(x)=x，称称IA为为A上的恒等函上的恒等函数。数。q 设设,为偏序集为偏序集，f：AB，如果如果对任意的对任意的x1,x2A，x1 x2，就有就有f(x1)f(x2)，则称则称f为单调递增的为单调递增的；如果如果对任意的对任意的x1,x2A,x1 x2,就有就有f(x1)f(x2),则则称称f为严格单调递增的。为严格单调递增的。类似的也可以定义单调递减和严类似的也可以定义单调递减和严格单调递减

11、的函数。格单调递减的函数。例如：例如：偏序集偏序集，R 为包含关系，为包含关系，为一般的小于等于关系。为一般的小于等于关系。令令f：P(a,b)0,1,f()=f(a)=f(b)=0,f(a,b)=1,f是单调递增的是单调递增的,但不是严格单调递增的。但不是严格单调递增的。q 设设A为集合，对于任意的为集合，对于任意的AA，A 的特征函数的特征函数 A :A0,1定义为定义为1，aA 0，aA A A (a)A的每一个子集的每一个子集A 都对应于一个特征函数，不同都对应于一个特征函数，不同的子集对应于不同的特征函数。的子集对应于不同的特征函数。例如：例如：A=a,b,c,则有则有 =,，a,b

12、=,例如：例如：A=1,2,3，R=,IA g(1)=g(2)=1,2,g(3)=3q 设设R是是A上的等价关系上的等价关系，令令 g：AA/R g(a)=a，aA 称称g是从是从A到商集到商集A/R的自然映射。的自然映射。不同的等价关系确定不同的自然映射，其中不同的等价关系确定不同的自然映射，其中恒等关系恒等关系所确定的自然映射是双射所确定的自然映射是双射，而而其他的自然映射一般来说只其他的自然映射一般来说只是满射是满射。8.2 8.2 函数的复合与反函数函数的复合与反函数一、一、函数的复合函数的复合 函数的复合就是关系的右复合，函数的复合就是关系的右复合，一切和关系右一切和关系右复合有关的

13、定理都适用于函数的复合。本节重点考复合有关的定理都适用于函数的复合。本节重点考虑在复合中特有的性质。虑在复合中特有的性质。1、复合函数基本定理、复合函数基本定理定理定理8.18.1 设设F,G是函数，则是函数，则F G 也是函数也是函数，且满足，且满足（1）dom(F G)=x|xdomFF(x)domG（2）xdom(F G)，有有F G(x)=G(F(x)证明：证明：先证明先证明F G是函数。是函数。因为因为F、G是关系，所以是关系，所以F G也是关系。也是关系。若对某个若对某个xdom(F G)，F GF Gy1=y2 所以所以F G为函数。为函数。t1(FG)t2(FG)t1 t2(t

14、1=t2GG)（F为函数）为函数）任取任取x，xdom(F G)xx|xdomFF(x)domG所以（所以（1）得证。）得证。任取任取x，xdom(F G)xdomFF(x)domG FG F G F G(x)G(F(x)所以（所以（2）得证。）得证。t y(FG)t(xdomFt=F(x)tdomG)推论推论1 1 设设F,G,H为函数，则为函数，则(F G)H和和F(G H)都是函数，都是函数，且且(F G)H=F(G H)证明：由定理证明：由定理8.1（复合函数基本定理）和定理（复合函数基本定理）和定理7.2（关系合成具（关系合成具有结合性）得证。有结合性）得证。推论推论2 2 设设f：

15、AB，g：BC，则则f g：AC，且且 xA都有都有f g(x)=g(f(x)。证明：由定理证明：由定理8.1（复合函数基本定理）可知（复合函数基本定理）可知f g是函数，且是函数，且 dom(f g)=x|xdomff(x)domg=x|xAf(x)B=A ran(f g)rang C 因此因此f g：AC，且且 xA有有f g(x)=g(f(x)。2、函数的复合运算的性质函数的复合运算的性质定理定理8.28.2 设设f：AB，g：BC。（1）如果）如果f：AB，g：BC都是满射的，都是满射的，则则f g：AC 也是满射的。也是满射的。（2）如果）如果f：AB，g：BC都是单射的，则都是单射

16、的，则f g：AC也也 是单射的。是单射的。（3）如果）如果f：AB，g：BC都是双射的，则都是双射的，则f g：AC也也 是双射的。是双射的。q该定理说明函数的复合能够保持函数单射、满射、双射该定理说明函数的复合能够保持函数单射、满射、双射的性质。的性质。说说明明(1)如果如果f：AB，g：BC都是满射的，则都是满射的，则f g：AC也也 是满射的。是满射的。证明：证明：任取任取cC，所以所以 aA使得使得f(a)=b。由由g：BC的满射性，所以的满射性，所以 bB使得使得g(b)=c。对于这个对于这个b，由由f：AB的满射性，的满射性，由合成定理有由合成定理有 f g(a)=g(f(a)=

17、g(b)=c所以，所以，f g：AC是满射的。是满射的。(2)如果如果f：AB，g：BC都是单射的，则都是单射的，则f g：AC也是也是 单射的。单射的。证明：证明：假设存在假设存在x1,x2A使得使得f g(x1)=f g(x2)，(3)如果如果f：AB，g：BC都是双射的，则都是双射的，则f g：AC也也 是双射的。是双射的。证明：由（证明：由（1）和（）和（2）得证。）得证。由合成定理有由合成定理有g(f(x1)=g(f(x2)因为因为g：BC是单射的，故是单射的，故f(x1)=f(x2)。又由于又由于f：AB也是单射的，也是单射的，所以所以x1=x2。所以，所以，fog：AC是单射的。

18、是单射的。考虑集合考虑集合A=a1,a2,a3，B=b1,b2,b3,b4，C=c1,c2,c3。令令f=,g=,则：则：f g=,那么那么 f：AB和和f g：AC都是单射的，但都是单射的，但g：BC不是单射的。不是单射的。考虑集合考虑集合A=a1,a2,a3，B=b1,b2,b3，C=c1,c2。令令f=,g=,则：则：f g=,那么那么g：BC和和f g：AC是满射的，但是满射的，但f：AB不是满射的不是满射的。q如果如果fog：AC是单射（或满射、双射）的，不一定有是单射（或满射、双射）的，不一定有f：AB和和g：BC都是单射（或满射、双射）的。都是单射（或满射、双射）的。说说明明定理

19、定理8.38.3 设设f：AB，则则 f=f o IB=IAof 证明：由定理证明：由定理8.1的推论的推论2可知可知 f o IB：AB 和和 IAof：AB任取任取，f f o IB所以，所以，f f o IB同理可证同理可证f IAof f y B f IB f o IB所以，所以，f f o IB t(f IB)f t=y f 所以，所以，f o IB f二、反函数二、反函数1、反函数存在的条件、反函数存在的条件 什么样的函数什么样的函数 f：AB，它的逆它的逆f 1是从是从B到到A的函数呢？的函数呢？定理定理8.48.4 设设f：AB是双射的，则是双射的，则f 1：BA也是双射的也是

20、双射的。证明：证明：先证明先证明f-1：BA是函数，且是函数，且domf 1=B，ranf 1=A。因为因为f是函数，所以是函数，所以f 1是关系是关系，且，且 dom f 1=ranf=B,ran f-1=domf=A，对于任意的对于任意的xB=dom f-1，假设有假设有y1,y2A，使得使得f-1f-1成立，成立，则由逆的定义有，则由逆的定义有，ff。根据根据 f 的单射性，可得的单射性，可得y1=y2。所以，所以，f-1是函数。是函数。再证明再证明f-1：BA的双射性质。的双射性质。q 若存在若存在x1,x2B，使得使得f-1(x1)=f-1(x2)=y，q对于双射函数对于双射函数f：

21、AB，称称f-1：BA是它的反函数。是它的反函数。说说明明从而有从而有f-1f-1 ff x1=x2 所以，所以，f-1 是单射的。是单射的。q 对于任意的对于任意的y A，因为因为f-是双射的，是双射的，所以必存在所以必存在x B，使得使得f，所以所以f-1，所以，所以，f-1 是满射的。是满射的。综上所述，综上所述，f-1 是双射函数。是双射函数。2、反函数的性质反函数的性质定理定理8.58.5 设设f：AB是双射的，是双射的，则则f-1 f=IB，f f-1=IA证明：根据定理可知证明：根据定理可知f-1：BA也是双射的，也是双射的，且且 f-1 f：BB，f f-1：AA。任取任取 f

22、-1 f IB综上所述，综上所述，f-1 f IB。同理可证同理可证f f-1=IA IB 所以所以，f-1 f IB f-1 f 所以，所以，IB f-1 f t(f 1 f )t(f f )x=y x,y B x=y x,y B t(f f )t(f 1 f )例例8.88.8 设设 f：RR,g：RR 求求f g，g f。如果如果 f 和和 g 存在反函数，求出它们的反函数。存在反函数，求出它们的反函数。解：解：23()23()2xxf xxg xx22:23()03:(2)1()21fg RRxxfg xxgfRRxxgf xxg：RR是双射的，它的是双射的，它的反函数是反函数是g 1

23、：RR，g 1(x)=x 2 本章主本章主要内容要内容q 函数的基本概念与性质（单射，满射，双射）。函数的基本概念与性质（单射，满射，双射）。q 函数的合成与反函数。函数的合成与反函数。本章学习要求本章学习要求q 掌握函数、掌握函数、A A到到B B的函数、集合在函数下的像、集合在函的函数、集合在函数下的像、集合在函数下的完全原像的概念及表示法；当数下的完全原像的概念及表示法；当A A与与B B都是有穷集时都是有穷集时，会求，会求A A到到B B的函数的个数。的函数的个数。q 掌握掌握A A到到B B的函数是单射、满射、和双射的定义及证明方的函数是单射、满射、和双射的定义及证明方法。法。q 掌

24、握常函数、恒等函数、单调函数、特征函数、自然映掌握常函数、恒等函数、单调函数、特征函数、自然映射等概念。射等概念。q 掌握合成函数的主要性质和求合成函数的方法。掌握合成函数的主要性质和求合成函数的方法。q 掌握反函数的概念及主要性质。掌握反函数的概念及主要性质。1对给定的对给定的A,B和和f，判断是否构成函数判断是否构成函数f：AB。如果是，说如果是，说明是否为单射、满射、双射的。明是否为单射、满射、双射的。（1）A=1,2,3,4,5，B=6,7,8,9,10，f=,。（2）A，B同同(1)，f=,。（3）A，B同同(1)，f=,。2对于以下集合对于以下集合A和和B，构造从构造从A到到B的双

25、射函数的双射函数f：AB。（1）A=1,2,3，B=a,b,c（2）A=(0,1)，B=(0,2)（3）A=x|x Zx0，B=N （4）A=R，B=R+解：解：（1）f=,（2）f：AB,f(x)=2x （3）f：AB,f(x)=x 1 （4）f：AB,f(x)=ex 3.设设 证明证明f 既是满射的，也是单射的。既是满射的，也是单射的。q 对于任意的对于任意的,R R,有有:,(,),fRRRRfx yxy xy 证明：证明：q 任取任取 R R，存在存在 R R，使得使得,22uv uv(,),22uv uvfu v(,)(,),fx yfu vxy xyuv uvxyuv xyuvxu

26、 yvx yu v 因此因此f是满射的。是满射的。因此因此f是单射的。是单射的。4.令令X=x1,x2,xm，Y=y1,y2,yn，问问（1）有多少不同的由有多少不同的由X到到Y的关系？的关系？（2）有多少不同的有多少不同的X到到Y的映射？的映射？（3）有多少不同的由有多少不同的由X到到Y的单射、双射？的单射、双射？解：（解：（1）有有2mn不同的由不同的由X到到Y的关系。的关系。（2）有有nm不同的不同的X到到Y的映射。的映射。（3）X到到Y的单射个数为：的单射个数为：若若m n，有有 个单射。个单射。!mnmC 若若m n，有有0个单射。个单射。若若mn，有有m!个单射。个单射。只有只有m

27、n时，才存在时，才存在X到到Y的双射，个数为的双射，个数为m!。5.设设A、B、C、D是任意集合，是任意集合，f是是A到到B的双射，的双射，g是是C到到D的双射的双射。令。令h:ACBD，且且 AC，h()=，那么那么h是双射吗？请证明你的判断。是双射吗？请证明你的判断。证明：证明：先证明先证明h是满射。是满射。BD，b B，d D，也就是也就是 AC，使得使得h()=,所以，所以，h是满射。是满射。因为因为f是是A到到B的双射，的双射，g是是C到到D的双射的双射,所以，所以，a A，c C，使得使得f(a)=b，g(c)=d，再证再证h是单射。是单射。,AC，若若h()=h()，则则所以，所以，=，所以，所以，h是单射。是单射。综上所述，综上所述，h是双射。是双射。=所以，所以，f(a1)=f(a2)，g(c1)=g(c2)。因为因为是是A到到B的双射，的双射，g是是C到到D的双射的双射,所以，所以，a1=a2，c1=c2。作业作业习题八习题八：1 1、2 2、3 3、4 4、1515、1616、1717、2424