高中数学232平面与平面垂直的判定课件.ppt

1、2.3.2平面与平面垂直的判定【知识提炼知识提炼】1.1.二面角二面角半平面半平面两个半平面两个半平面棱棱面面棱棱角角平面角平面角直角直角0,0,-l-P-P-l-Q-Q2.2.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)(1)定义定义:两个平面相交两个平面相交,如果它们所成的二面角是如果它们所成的二面角是_,_,就说这就说这两个平面互相垂直两个平面互相垂直.平面平面与平面与平面垂直垂直,记作记作_._.(2)(2)画法画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的的_垂直垂直.如图所示如图所示.直二面角直二面角横边横边(3)(3)平面与

2、平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理.垂线垂线l【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题:(1)(1)二面角的平面角的大小二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关是否与角的顶点在棱上的位置有关?提示提示:无关无关.如图如图,根据等角定理可知根据等角定理可知,AOB=AOB=A AO OB B,即二面角平即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关只与二面角的大小有关.(2)(2)应用面面垂直的判定定理的关键是什么应用面面垂直的判定定理的关键是什么?提示提示:应用此定理的关键在于应用此定理的关键在于,在其中一个平面内找

3、到或作出另一个平在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线面的垂线,即实现面面垂直向线面垂直的转化即实现面面垂直向线面垂直的转化.(3)(3)两个平面垂直两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗吗?提示提示:不一定不一定,只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面面.2.2.如图所示的二面角可记为如图所示的二面角可记为()A.-A.-lB.M-B.M-l-N-NC.C.l-M-N D.-M-N D.l-【解析解析】选选B.B.根据二面角的记法规则可知根据二面角的记法规则可知B

4、 B正确正确.3.3.已知直线已知直线l平面平面,则经过则经过l且和且和垂直的平面垂直的平面()A.A.有一个有一个B.B.有两个有两个C.C.有无数个有无数个D.D.不存在不存在【解析解析】选选C.C.经过经过l的任一平面都和的任一平面都和垂直垂直.4.4.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,二面角二面角A-BC-AA-BC-A1 1的平面角等于的平面角等于.【解析解析】根据正方体中的位置关系可知根据正方体中的位置关系可知,AB,ABBC,ABC,A1 1B BBC,BC,根据二面角根据二面角平面角定义可知平面角定义可知,ABAABA1 1

5、即为二面角即为二面角A A-BCBC-A A1 1的平面角的平面角.又又AB=AAAB=AA1 1,且且ABABAAAA1 1,所以所以ABAABA1 1=45=45.答案答案:4545【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 二面角二面角观察图形观察图形,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:二面角与平面几何中的角有什么区别二面角与平面几何中的角有什么区别?问题问题2:2:构成二面角的要素有哪些构成二面角的要素有哪些?【总结提升总结提升】1.1.二面角与平面几何中的角的对比二面角与平面几何中的角的对比2.2.构成二面角的平面角的三要素构成二面角的平面角的三要素(1)(1)角的顶点在二面角的

6、棱上角的顶点在二面角的棱上.(2)(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内角的两边分别在表示二面角的两个半平面内.(3)(3)角的两边分别和二面角的棱垂直角的两边分别和二面角的棱垂直.3.3.三类特殊的二面角三类特殊的二面角(1)(1)当二面角的两个半平面重合时当二面角的两个半平面重合时,规定二面角的大小为规定二面角的大小为0 0.(2)(2)二面角的大小为二面角的大小为9090时时,两个平面互相垂直两个平面互相垂直.(3)(3)当二面角的两个半平面合成一个平面时当二面角的两个半平面合成一个平面时,规定二面角的大小为规定二面角的大小为180180.知识点知识点2 2 平面与平面垂直平面与平

7、面垂直观察图形观察图形,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:怎样描述直线相对于平面的倾斜程度怎样描述直线相对于平面的倾斜程度?问题问题2:2:怎样理解直线与平面所成的角怎样理解直线与平面所成的角?【总结提升总结提升】1.1.平面与平面垂直的关键点平面与平面垂直的关键点(1)(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任意相邻例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的两个面都是互相垂直的.(2)(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点:都是通过所成的角是都是通过所成的角是直角来定义的直角来定义的.2.2

8、.平面与平面垂直的判定定理的应用思路平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)(1)本质本质:通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,即线面垂直即线面垂直面面垂直面面垂直.(2)(2)证题思路证题思路:处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转进一步转化为处理线线垂直问题来解决化为处理线线垂直问题来解决.【题型探究题型探究】类型一类型一 二面角的大小与计算二面角的大小与计算【典例典例】1.1.已知已知RtRtABC,ABC,斜边斜边BCBC,点点A A ,AO,O,AO,O为垂足为垂足,ABO=30ABO=30,A

9、CO=45,ACO=45,则二面角则二面角A-BC-OA-BC-O的大小的大小为为.2.2.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求二面角求二面角A-BA-B1 1C-BC-B的正弦值的正弦值.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中BCBC与哪条直线垂直与哪条直线垂直?根据条件如何作二面角根据条件如何作二面角A A-BC-O-BC-O的平面角的平面角?提示提示:BCBCAO,AO,过过O O作作ODODBCBC于于D,D,连接连接AD,AD,可得二面角可得二面角A-BC-OA-BC-O的平面角的平面角.2.2.若可以过二面角的一个面内一

10、点作另一面的垂线若可以过二面角的一个面内一点作另一面的垂线,则如何作二面角则如何作二面角的平面角的平面角?提示提示:若可以过二面角的一个面内一点作另一面的垂线若可以过二面角的一个面内一点作另一面的垂线,则可以用则可以用“垂垂线法线法”作二面角的平面角作二面角的平面角.【解析解析】1.1.如图如图,在平面在平面内内,过过O O作作ODBC,ODBC,垂足为垂足为D,D,连接连接AD.AD.因为因为AO,BCAO,BC,所以所以AOBC.AOBC.又因为又因为AOOD=O,AOOD=O,所以所以BCBC平面平面AOD,AOD,而而ADAD平面平面AOD,AOD,所以所以ADBC,ADBC,所以所以

11、ADOADO是二面角是二面角A-BC-OA-BC-O的平面角的平面角.由由AO,OBAO,OB,OC,OC,知知AOOB,AOOC.AOOB,AOOC.又又ABO=30ABO=30,ACO=45,ACO=45,所以设所以设AO=a,AO=a,则则AC=a,AB=2a.AC=a,AB=2a.在在RtRtABCABC中中,BAC=90,BAC=90,所以所以BC=BC=所以所以AD=AD=在在RtRtAODAOD中中,sinADO=,sinADO=所以所以ADO=60ADO=60,即二面角即二面角A-BC-OA-BC-O的大小是的大小是6060.答案答案:6060 22ACAB6a，2AB AC2

12、a2a2 3a.BC36aAOa3AD22 3a3，=2.2.过过B B作作BFBBFB1 1C,C,垂足为点垂足为点F,F,连接连接AF,AF,因为因为ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体是正方体,所以所以ABAB平面平面BBBB1 1C C1 1C,C,又又B B1 1C C平面平面BBBB1 1C C1 1C,C,所以所以B B1 1CAB,CAB,又又B B1 1CBF,ABBF=B,CBF,ABBF=B,所以所以B B1 1CC平面平面ABF,ABF,又又AFAF平面平面ABF,ABF,所以所以B B1 1CAF,CAF,所以所以AFBAFB是二

13、面角是二面角A-BA-B1 1C-BC-B的平面角的平面角.设正方体的棱长为设正方体的棱长为a,a,在在RtRtB B1 1BCBC中中,B,B1 1BC=90BC=90,BB,BB1 1=BC=a,BFB=BC=a,BFB1 1C,C,则则F F是是B B1 1C C的中点的中点,所以所以BF=a.BF=a.在在RtRtABFABF中中,ABF=90,ABF=90,AB=a,BF=a,AB=a,BF=a,所以所以所以所以sinAFB=sinAFB=所以二面角所以二面角A-BA-B1 1C-BC-B的正弦值为的正弦值为 .2222222226AFABBFa(a)a22，ABa6AF36a263

14、【延伸探究延伸探究】典例典例2 2中中,条件不变条件不变,试画出平面试画出平面ABAB1 1C C与平面与平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的交的交线线,并作出这两个平面相交所产生的锐二面角的平面角并作出这两个平面相交所产生的锐二面角的平面角.【解析解析】(1)(1)连接连接A A1 1C C1 1.(2)(2)过过B B1 1作作EFAEFA1 1C C1 1交交D D1 1A A1 1的延长线于点的延长线于点E,E,交交D D1 1C C1 1的的延长线于点延长线于点F.F.(3)(3)过过A A1 1作作A A1 1GEF,GEF,垂足为垂足为G,G,连接连接AG.AG

15、.如图所示如图所示,平面平面ABAB1 1C C与平面与平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的交线是直线的交线是直线EF.EF.这两个平面相交所产生的锐二面角的平面角是这两个平面相交所产生的锐二面角的平面角是AGAAGA1 1.【方法技巧方法技巧】1.1.求二面角大小的步骤求二面角大小的步骤(1)(1)找出这个平面角找出这个平面角.(2)(2)证明这个角是二面角的平面角证明这个角是二面角的平面角.(3)(3)作出这个角所在的三角形作出这个角所在的三角形,解这个三角形解这个三角形,求出角的大小求出角的大小.2.2.确定二面角的平面角的方法确定二面角的平面角的方法(1)(1)定义法

16、定义法:在二面角的棱上找一个特殊点在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线点作垂直于棱的射线.(2)(2)垂面法垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平该平面与二面角的两个半平面产生交线面产生交线,这两条交线所成的角这两条交线所成的角,即为二面角的平面角即为二面角的平面角.【变式训练变式训练】如图如图,AC,AC平面平面BCD,BDCD,AC=AD,BCD,BDCD,AC=AD,求平面求平面ABDABD与平面与平面BCDBCD所成的二面角的大小所成的二面角的大小.12【解析解析】因为因为ACAC平面平面

17、BCD,BDBCD,BD平面平面BCD,BCD,所以所以BDAC.BDAC.又因为又因为BDCD,ACCD=C,BDCD,ACCD=C,所以所以BDBD平面平面ACD.ACD.因为因为ADAD平面平面ACD,ACD,所以所以ADBD,ADBD,所以所以ADCADC就是平面就是平面ABDABD与平面与平面BCDBCD所成二面角的平面角所成二面角的平面角.在在RtRtACDACD中中,AC=AD,AC=AD,所以所以ADC=30ADC=30.12【补偿训练补偿训练】正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1,B1,B1 1CBCCBC1 1=O

18、,=O,求二面角求二面角B-B-AO-CAO-C的大小的大小.【解析解析】因为因为ABAB平面平面BCCBCC1 1B B1 1,OC,OC平面平面BCCBCC1 1B B1 1,所以所以OCAB.OCAB.因为四边形因为四边形BCCBCC1 1B B1 1为正方形为正方形,所以所以OCOB,OCOB,又又ABOB=B,ABOB=B,所以所以OCOC平面平面AOB,AOB,又又OCOC平面平面AOC,AOC,所以平面所以平面AOCAOC平面平面AOB,AOB,所以二面角所以二面角B-AO-CB-AO-C为直二面角为直二面角,大小为大小为9090.类型二类型二 面面垂直的判定与证明面面垂直的判定

19、与证明【典例典例】如图所示如图所示,在四面体在四面体ABCSABCS中中,已知已知BSC=90BSC=90,BSA=CSA=,BSA=CSA=6060,又又SA=SB=SC.SA=SB=SC.求证求证:平面平面ABCABC平面平面SBC.SBC.【解题探究解题探究】用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直的基本步骤用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直的基本步骤是什么是什么?提示提示:首先根据题意分析哪个平面的垂线容易证明首先根据题意分析哪个平面的垂线容易证明,然后证明线面垂直然后证明线面垂直,最后说明该直线在某平面内得到两个平面垂直最后说明该直线在某平面内得到两个平面垂直.【证明证明】(1)(

20、1)方法一方法一:(:(利用定义证明利用定义证明)因为因为BSA=CSA=60BSA=CSA=60,SA=SB=SC,SA=SB=SC,所以所以ASBASB和和ASCASC都是等边三角形都是等边三角形,则有则有SA=SB=SC=AB=AC,SA=SB=SC=AB=AC,令其值为令其值为a,a,则则ABCABC和和SBCSBC为共底边为共底边BCBC的等腰三角形的等腰三角形.取取BCBC的中点的中点D,D,如图所示如图所示,连接连接AD,SD,AD,SD,则则ADBC,SDBC,ADBC,SDBC,所以所以ADSADS为二面角为二面角A-BC-SA-BC-S的平面角的平面角.在在RtRtBSCB

21、SC中中,因为因为SB=SC=a,SB=SC=a,所以所以SD=a,BD=SD=a,BD=在在RtRtABDABD中中,AD=a,AD=a,在在ADSADS中中,因为因为SDSD2 2+AD+AD2 2=SA=SA2 2,所以所以ADS=90ADS=90,即二面角即二面角A-BC-SA-BC-S为直二面角为直二面角,故平面故平面ABCABC平面平面SBC.SBC.22BC2a.2222方法二方法二:(:(利用判定定理利用判定定理)因为因为SA=SB=SC,SA=SB=SC,且且BSA=CSA=60BSA=CSA=60,所以所以SA=AB=AC,SA=AB=AC,所以点所以点A A在平面在平面S

22、BCSBC上的射影为上的射影为SBCSBC的外心的外心.因为因为SBCSBC为直角三角形为直角三角形,所以点所以点A A在在SBCSBC上的射影上的射影D D为斜边为斜边BCBC的中点的中点,所以所以ADAD平面平面SBC.SBC.又因为又因为ADAD平面平面ABC,ABC,所以平面所以平面ABCABC平面平面SBC.SBC.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件,改变问法改变问法)典例中典例中,若若SA=SB=SC=2,SA=SB=SC=2,其他条件不变其他条件不变,如何求如何求三棱锥三棱锥S-ABCS-ABC的体积呢的体积呢?【解题指南解题指南】欲求三棱锥欲求三棱锥S-ABCS-

23、ABC的体积的体积,关键是求得顶点关键是求得顶点S S到底面的距离到底面的距离,即三棱锥的高即三棱锥的高.【解析解析】取取BCBC的中点的中点D,D,连接连接AD,SD,AD,SD,由典例解析可得由典例解析可得SDAD.SDAD.又因为又因为SDBC,ADBC=D,SDBC,ADBC=D,所以所以SDSD平面平面ABC,ABC,即即SDSD的长就是顶点的长就是顶点S S到底面到底面ABCABC的距离的距离.因为因为S SABCABC=BCBCAD=AD=2 2 =2,SD=,=2,SD=,所以所以V VS-ABCS-ABC=S SABCABCSD=.SD=.1321212222 232.(2.

24、(变换条件变换条件,改变问法改变问法)将典例改为如图在四面体将典例改为如图在四面体ABCDABCD中中,BD=a,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.AB=AD=CB=CD=AC=a.求证求证:平面平面ABDABD平面平面BCD.BCD.2【证明证明】取取BDBD的中点的中点E,E,连接连接AE,CE,AE,CE,因为因为ABDABD与与BCDBCD是全等的等腰三角形是全等的等腰三角形,所以所以AEBD,CEBD,AEBD,CEBD,又又AECE=E,AECE=E,所以所以BDBD平面平面AEC.AEC.在在ABDABD中中,AB=a,BE=BD=a,AB=a,BE=BD=a,所以所以

25、 同理同理,CE=,CE=a.a.1222222AEABBEa,222在在AECAEC中中,AE=CE=,AE=CE=a,AC=a,a,AC=a,故故ACAC2 2=AE=AE2 2+CE+CE2 2,所以所以AECE,AECE,所以平面所以平面ABDABD平面平面BCD.BCD.223.(3.(改变条件改变条件,变换问法变换问法)将典例改为将典例改为:在四面体在四面体ABCDABCD中中,CB=CD,ADBD,CB=CD,ADBD,且且E,FE,F分别是分别是AB,BDAB,BD的中点的中点.求证求证:(1):(1)直线直线EFEF平面平面ACD.ACD.(2)(2)平面平面EFCEFC平面

26、平面BCD.BCD.【证明证明】(1)(1)因为因为E,FE,F分别是分别是AB,BDAB,BD的中点的中点,所以所以EFEF是是ABDABD的中位线的中位线,所以所以EFAD,EFAD,因为因为EFEF 平面平面ACD,ADACD,AD平面平面ACD,ACD,所以直线所以直线EFEF平面平面ACD.ACD.(2)(2)因为因为ADBD,EFAD,ADBD,EFAD,所以所以EFBD.EFBD.因为因为CB=CD,FCB=CD,F是是BDBD的中点的中点,所以所以CFBD.CFBD.又又EFCF=F,EFCF=F,所以所以BDBD平面平面EFC.EFC.因为因为BDBD平面平面BCD,BCD,

27、所以平面所以平面EFCEFC平面平面BCD.BCD.【方法技巧方法技巧】证明面面垂直常用的方法证明面面垂直常用的方法(1)(1)定义法定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)(2)判定定理法判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直即把问题转化为线面垂直.(3)(3)性质法性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂则另一个也垂直于此平面直于此平面.【补偿训练补偿训练】如图如图,棱柱棱柱ABC-AABC-A1 1

28、B B1 1C C1 1的侧面的侧面BCCBCC1 1B B1 1是菱形是菱形,B,B1 1CACA1 1B.B.证证明明:平面平面ABAB1 1CC平面平面A A1 1BCBC1 1.【证明证明】因为因为BCCBCC1 1B B1 1是菱形是菱形,所以所以B B1 1CBCCBC1 1,又又B B1 1CACA1 1B,B,且且BCBC1 1AA1 1B=B,B=B,所以所以B B1 1CC平面平面A A1 1BCBC1 1,又又B B1 1C C平面平面ABAB1 1C,C,所以平面所以平面ABAB1 1CC平面平面A A1 1BCBC1 1.规范解答规范解答 面面垂直判定定理及应用面面垂

29、直判定定理及应用【典例典例】(12(12分分)如图如图,三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,侧棱垂直底侧棱垂直底面面,ACB=90,ACB=90,AC=BC=AA,AC=BC=AA1 1,D,D是棱是棱AAAA1 1的中点的中点.(1)(1)证明证明:平面平面BDCBDC1 1平面平面BDC.BDC.(2)(2)平面平面BDCBDC1 1分此棱柱为两部分分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比求这两部分体积的比.12【审题指导审题指导】(1)(1)由由“侧棱垂直底面侧棱垂直底面,ACB=90,ACB=90”可证可证BCBC面面ACCACC1 1A A1 1.(2)(

30、2)由由“AC=BC=AAAC=BC=AA1 1,D,D是棱是棱AAAA1 1的中点的中点”可证可证DCDC1 1DC.DC.以上两个方面以上两个方面结合可以证明结合可以证明DCDC1 1平面平面BDC.BDC.12【规范解答规范解答】(1)(1)由题设知由题设知BCCCBCCC1 1,BCAC,CC,BCAC,CC1 1AC=C,AC=C,所以所以BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1,2 2分分又因为又因为DCDC1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1,所以所以DCDC1 1BC,BC,3 3分分由题设知由题设知A A1 1DCDC1 1=ADC=45=ADC=45,所以所以

31、CDCCDC1 1=90=90,即即DCDC1 1DC,DC,4 4分分又因为又因为DCBC=C,DCBC=C,所以所以DCDC1 1平面平面BDC,BDC,因为因为DCDC1 1平面平面BDCBDC1 1,6 6分分所以平面所以平面BDCBDC1 1平面平面BDC.BDC.8 8分分(2)(2)设棱锥设棱锥B-DACCB-DACC1 1的体积为的体积为V V1 1,AC=1,AC=1,由题意得由题意得,1010分分又三棱柱又三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的体积的体积V=1,V=1,所以所以(V-V(V-V1 1)V)V1 1=11,=11,1111分分所以平面所以平

32、面BDCBDC1 1分此棱柱为两部分分此棱柱为两部分,体积之比为体积之比为11.11.1212分分11121V1 1,322 【题后悟道题后悟道】1.1.选准线面垂直关系选准线面垂直关系证明面面垂直首先考虑用判定定理证明面面垂直首先考虑用判定定理,此时要根据题目条件判断哪个平此时要根据题目条件判断哪个平面的垂线更容易证明面的垂线更容易证明,再恰当选择再恰当选择.例如本题中平面例如本题中平面BDCBDC的垂线的垂线DCDC1 1可以可以由题目条件证明由题目条件证明.2.2.重视线段之间的长度关系重视线段之间的长度关系线段的长度关系往往可以反映出三角形或四边形的形状线段的长度关系往往可以反映出三角形或四边形的形状,进而可以推进而可以推出某些角的大小出某些角的大小.例如本题中例如本题中ACDACD和和A A1 1C C1 1D D都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形,由由此可推出此可推出CDCCDC1 1=90=90.3.3.巧用割补法求不规则几何体的体积巧用割补法求不规则几何体的体积求不规则几何体的体积通常要用割补法转化为规则几何体的体积问题求不规则几何体的体积通常要用割补法转化为规则几何体的体积问题.例如本题中不规则几何体的体积例如本题中不规则几何体的体积=棱柱的体积棱柱的体积-棱锥棱锥B-DACCB-DACC1 1的体积的体积.