1、2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象1.理解一次函数的概念,掌握一次函数的性质与图象.2.学会运用一次函数的图象理解和研究函数的性质及解决一些简单的应用题.121.一次函数的定义函数y=kx+b(k0)叫做一次函数,又叫做线性函数;它的定义域为R,值域为R.一次函数y=kx+b(k0)的图象是直线,以后简写为直线y=kx+b,其中k叫做该直线的斜率,b叫做该直线在y轴上的截距.【做一做1-1】下列函数中,是一次函数的是()A.y=x2+1B.y=|x|C.y=kx+3D.y=2x+6答案:D【做一做1-2】直线y=-3x+5的斜率等于()A.3B.-3C.5D.-5答案:B1
2、22.一次函数的性质(1)函数值的改变量y=y2-y1与自变量的改变量x=x2-x1的比值等于常数k.k的大小表示直线与x轴的倾斜程度.(2)当k0时,一次函数是增函数;当k0,所以-k0时为增函数,当k0时为减函数;对于y=b,因为函数值是固定的常数b,没有增减变化,函数图象是一条水平的直线,所以常数函数在定义域上不是单调函数.(5)奇偶性:对于y=kx+b(k0),当b=0时为奇函数,当b0时为非奇非偶函数;而对于y=b,当b0时为偶函数,当b=0时既是奇函数又是偶函数.名师点拨通过上面的分析,可知y=b是函数,而式子x=a(a是一个固定的常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x
3、对应无穷多个y,不符合函数的定义,应将其与y=b区别开来.二、教材中的“探索与研究”设一次函数y=5x-3,取一系列的x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应的y值,这一系列的函数值之间有什么关系?对任意一个一次函数都有类似的性质吗?剖析:根据函数y=5x-3的解析式列表如下:由上表可以看出,函数值后一个比前一个大10.事实上,取x1=a,则y1=5a-3,取x2=a+2,则y2=5(a+2)-3,所以y=y2-y1=10.一般地,设一次函数y=kx+b(k0),若取x1=a,则y1=ka+b;若取x2=a+2,则y2=k(a+2)+b=ka+b+2k,故y=y2-y1=2k(常数)
4、.题型一题型二题型三题型四【例1】已知函数y=(2m-1)x+1-3m,当m为何值时,(1)这个函数为正比例函数;(2)这个函数为一次函数;(3)函数值y随x的增大而减小;(4)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上.分析:根据正比例函数和一次函数的定义可知第(1)(2)小题容易求解;第(3)小题函数值y随着x的增大而减小,即直线的斜率小于0;第(4)小题根据两条直线与x轴交于同一点,可求出m的值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四(4)直线y=x+1与x轴的交点为(-1,0).函数y=(2m-1)x+1-3m与直线y=x+1交x轴于同一点,点(-1,0)在函数y=(2m-1
5、)x+1-3m的图象上,即(2m-1)(-1)+1-3m=0.反思解此类型的题目,要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质.从概念和性质入手,问题便可迎刃而解.题型一题型二题型三题型四A.是增函数B.是减函数C.没有单调性D.无法判断单调性解析:因为f(x)是一次函数,解得t=-1或t=2(舍去).故f(x)=-3x+10.因为-30,bc0,ab0.所以a0,b0.所以直线经过第一、二、四象限.答案:C1 2 3 4 5 64甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如图所示,小王根据图象得到如下四条信息,其中错误的是()A.这是一次1 500 m长的赛跑B.甲、乙两人中先到达终点的是乙C.甲、乙同时起跑D.甲在这次赛跑中的平均速度为5 m/s答案:C1 2 3 4 5 65一次函数的图象过点(2,0)和点(-2,1),则此函数的解析式为.1 2 3 4 5 66已知直线y=kx+12(k0)和两坐标轴所围成的三角形的面积为24,求k的值.
