1、3.2.3指数函数与对数函数的关系1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们图象间的对称关系.2.利用计算工具,比较指数函数、对数函数增长的差异.3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决一些问题.反函数当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f-1(x),反函数也是函数,它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.指数函数y=ax(a0,且a1)和对数函数y=logax
2、(a0,且a1)互为反函数,它们的定义域与值域相互对换,单调性相同,图象关于直线y=x对称.名师点拨反函数的定义不只局限于函数y=logax(a0,a1)与函数y=ax(a0,a1)之间,对于其他的函数之间也可能存在互为反函数的关系,特别注意的是一个函数要存在反函数,它必须是一个一一对应的函数.【做一做1-2】函数f(x)=log3x与g(x)=3x的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线y=x对称D.关于原点对称解析:根据互为反函数的图象特征可知,两函数的图象关于直线y=x对称.答案:C(2)反函数也是函数,它具有函数的一切特性;反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为
3、反函数.(3)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换,对应法则互逆.(4)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,利用图象间的这一关系,可以简化作图过程,也可借助图象来分析函数的一些性质.(5)若函数f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象必过点(b,a).二、指数函数、对数函数的图象与性质的区别与联系剖析:用表格表示如下:题型一题型二分析:深刻理解对数函数与指数函数的关系,是求指数函数(或对数函数)的反函数的前提.题型一题型二反思求函数的反函数的主要步骤:(1)从y=f(x)中解出x=(y);(2)将x,y互换;(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三
4、写”.本题主要依据指数函数与对数函数互为反函数来解.题型一题型二题型一题型二【例2】已知x1是方程x+lg x=3的一个根,x2是方程x+10 x=3的一个根,那么x1+x2的值是()A.6B.3C.2D.1题型一题型二解析:将两个方程的根看作是两个互为反函数的函数图象与同一条直线的交点的横坐标,借助图象及对称性求解.将已知的两个方程变形后得lg x=3-x,10 x=3-x,令f(x)=lg x,g(x)=10 x,h(x)=3-x,在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象,如图所示.因为f(x)=lg x与g(x)=10 x互为反函数,图象关于直线y=x对称,因此,A,B两点也关于y=x
5、对称,函数h(x)=3-x与y=x图象交点的横坐标即为A,B两点横坐标的中点.答案:B题型一题型二反思本题是关于方程根的问题,如果采用纯代数的方法,从解方程或解方程组的方法入手,将很困难,于是我们可以想到构造函数,利用函数图象,借助数形结合的思想来解决,充分利用互为反函数的图象关于直线y=x对称这一特征.题型一题型二【变式训练2】设函数f(x)=loga(x+b)(a0,a1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b=()A.6B.5C.4D.3解析:由题意,知f(x)图象过点(2,1),(8,2),f(8)=loga(8+b)=2,f(2)=loga(2+b)=1.a+b=4.答案:C题型一题型二A.abcB.cbaC.cabD.ba0,且a1)的反函数的图象过点(2,-1),则a=.1 2 3 4 5 6答案:-1 1 2 3 4 5 66已知函数f(x)=ax-k(a0,且a1)的图象过点(1,3),其反函数的图象过点(2,0),则f(x)的表达式为.答案:f(x)=2x+1
