高等数学(绪论)课件.ppt

1、 强大的内心将是强大的内心将是你人生最宝贵的财富你人生最宝贵的财富!1 1、遵守纪律、认真听课！、遵守纪律、认真听课！2 2、认真、独立完成作业！、认真、独立完成作业！3 3、了解数学软件（如了解数学软件（如Mathematica,Mathematica,MatlabMatlab，Lingo Lingo 等。等。一、十七世纪急需解决的四类科学问题一、十七世纪急需解决的四类科学问题二、牛顿和莱布尼茨对微积分学的贡献二、牛顿和莱布尼茨对微积分学的贡献一一.十七世纪急需解决的四类主要科学问题：十七世纪急需解决的四类主要科学问题：第一类第一类是瞬时速度问题；是瞬时速度问题；第二类第二类是求曲线的切线问

2、题；是求曲线的切线问题；第三类第三类是求最优值问题；是求最优值问题；第四类第四类是求曲线长、曲线围成是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。大的物体作用于另一物体上的引力。二二.十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨分别独自研十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨分别独自研究和完成了微积分的创立工作，其中牛顿着重于从究和完成了微积分的创立工作，其中牛顿着重于从运动学来考虑，莱布尼茨侧重于从几何学来考虑。运动学来考虑，莱布尼茨侧重于从几何学来考虑。牛顿牛顿(Isaac,Newton,16421727),英

3、国物理学家、天文学家和英国物理学家、天文学家和数学家数学家莱布尼茨（莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646 1716)德国数学家、物理学德国数学家、物理学家和哲学家家和哲学家 高等数学的核心内容是微积分，这是人类在科学中最高等数学的核心内容是微积分，这是人类在科学中最伟大的创造之一伟大的创造之一 高等数学研究的主要对象是高等数学研究的主要对象是函数函数，函数描述了客观世，函数描述了客观世界中量与量之间的依赖关系界中量与量之间的依赖关系而高等数学研究的基本而高等数学研究的基本方法则是方法则是极限方法极限方法，极限方法是利用有限描述无限、，极限方法是利用有限描述无限

4、、由近似过渡到精确的一种工具和过程由近似过渡到精确的一种工具和过程 首先我们将介绍函数、极限等基本概念以及它们的一首先我们将介绍函数、极限等基本概念以及它们的一些性质些性质推荐参考文献推荐参考文献 高等数学陈庆华主编，高教出版社，高等数学陈庆华主编，高教出版社，1999年年6月第一版月第一版；高等数学实用教程，谷志元主编，华高等数学实用教程，谷志元主编，华南理工大学出版社，南理工大学出版社，2007年年9月第一版；月第一版；1 函数函数1.1 函数的概念函数的概念1.2函数的特性函数的特性(1)函数的单调性函数的单调性;(2)函数的奇偶性函数的奇偶性;(3)函数的周期性函数的周期性;(4)函数

5、的有界性函数的有界性（详细讲解）（详细讲解）.，Dxfx自变量自变量y 因变量因变量f 对应法则对应法则D 定义域定义域记为记为 ，)(xfy Dx练习：练习：P5，习作题，习作题 (4)函数的有界性函数的有界性 设函数在区间设函数在区间I上有定义，如果存在正常数上有定义，如果存在正常数M，使得对于区间，使得对于区间I内内所有所有x，都有，都有 则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上上有界有界。如果这样的如果这样的M不存在不存在,则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上上无界无界。在所讨论的区间上有界函数在所讨论的区间上有界函数的图像夹在平行于轴的两条直的图像夹在平行于轴的两条直线之间。线之

6、间。例如：由于例如：由于|sinx|1,因此，函数因此，函数 y=sinx 是有界函数。是有界函数。Mxf）（练习：判断下列函数是否有界练习：判断下列函数是否有界（1）35;yx（2）21;yx（3）3sin 2;3yx（）（4）cos3;yx（5）ln;yx（6）tan;yx无界无界无界无界有界有界有界有界无界无界无界无界 2.初等函数初等函数1.基本初等函数基本初等函数;)1,0(logaaxya等等xyxyxytan,cos,sin 等等xyxyxyarctan,arccos,arcsin ccy （1 1）常值函数：）常值函数：（为常数）为常数）；axy(为任意常数为任意常数)a（2

7、2）幂函数：）幂函数：)1,0(aaayx（3 3）指数函数：）指数函数：（4 4）对数函数：）对数函数：（5 5）三角函数）三角函数：（6 6）反三角函数：）反三角函数：表表1-1 基本初等函数的图形及其性质基本初等函数的图形及其性质要用到的三角函数公式要用到的三角函数公式xxsin1csc2）（xxcos1sec1）（xxtan1cot3）（xxxsincoscot2 ）（xxxcossintan1 ）（1cossin122 xx）（xx22sectan12 ）（xx22csccot13 ）（xxxcossin22sin1*）（xxxxx2222*sin211cos2sincos2cos2

8、 ）（余割余割正割正割平方关系平方关系 倒倒数数关关系系商数关系商数关系 二倍角公式二倍角公式 余切余切反函数反函数原函数原函数定义域定义域 D值域值域 M定义域定义域 M值域值域 D反函数反函数 y=f(x)x=f-1(y)y=f-1(x)1 反正弦函数反正弦函数正弦函数正弦函数 定义域定义域 -/2,/2值域值域 -1,1定义域定义域 -1,1值域值域-/2,/2 反正弦函数反正弦函数 y=sinx x=arcsin y y=arcsinx 求下列反三角函数值求下列反三角函数值:(1)arcsin0 (2)arcsin(1/2)(3)arcsin(-1/2)(4)arcsin1 (5)ar

9、csin(-1)(6)arcsin2（注）（注）arcsin(-x)=-arcsinx 2 反余弦函数反余弦函数余弦函数余弦函数 定义域定义域 0,值域值域 -1,1定义域定义域 -1,1值域值域 0,反余弦函数反余弦函数 y=cosx x=arccos y y=arccosx 求下列反三角函数值求下列反三角函数值:(1)arccos0 (2)arccos(1/2)(3)arccos(-1/2)(4)arccos1 (5)arccos(-1)(6)arccos2(注注)arccos(-x)=-arccosx 3 反正切函数反正切函数正切函数正切函数 定义域定义域（-/2,/2）值域值域 （-,

10、+）定义域定义域（-,+）值域值域（-/2,/2）反正切函数反正切函数 y=tanx x=arctan y y=arctanx （注）（注）arctan(-x)=-arctanx 求下列反三角函数值求下列反三角函数值:(1)arctan0 (2)arctan 1 (3)arctan(-1)(4)arctan (5)arctan(-)332.复合函数复合函数;,函数函数，若，若称为称为中间变量中间变量。)(ufy fD)(xu M MDf)(xfy 其中其中 为自变量，为自变量，xyu定义定义 3 3 设函数设函数的定义域为的定义域为的值域为的值域为非空，则称非空，则称为复合函数。为复合函数。为

11、因变量，为因变量，例：例：判断下列各组函数是否可以复合判断下列各组函数是否可以复合；，）（xuuysin12 ；，）（212xuuy ；，）（22arcsin3xuuy 解：解：可以复合，得可以复合，得Rxxy ，2sin解：解：可以复合，得可以复合，得 1112，xxy解：解：不可以复合。不可以复合。3(1)tan;yx 例：例：写出下列函数的复合过程写出下列函数的复合过程 解解3=tan,.uxyu令令则则33,tan,=tan.yxyuux所所以以是是由由复复合合而而成成的的(2)arcsin(e);xy 解解=e,arcsin.xuyu令令则则,arcsin(e)arcsin,=e.x

12、xyyu u所所以以是是由由复复合合而而成成的的sin(3)2.xy 解解s in,2 2,=s in.xuyy u x所所 以以 是是 由由复复 合合 而而 成成 的的练习：练习：分解以下复合函数分解以下复合函数（1）)ln(cos2xy 32sin xy （3）xy2sin(2)练习：练习：P11，9143.初等函数初等函数:由基本初等函数经过有限由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成，并次四则运算或有限次复合所构成，并可用一个解析式表示的函数称为初等可用一个解析式表示的函数称为初等函数函数提示提示 3.建立函数关系式建立函数关系式建立函数关系式建立函数关系式(数学模型数学模型

13、)时，首先需明确时，首先需明确问题中的问题中的自变量自变量与与函数函数，然后根据题意建立等式，然后根据题意建立等式例例1 铁路货运规定货物的吨公里运价为：在铁路货运规定货物的吨公里运价为：在1000公里以内，公里以内，每吨公里为每吨公里为0.1元，超过元，超过1000公里时，超过部分每吨公里运公里时，超过部分每吨公里运价八折优惠。价八折优惠。(1)求运价求运价 y（元）（元）和里程和里程 x（公里）之间的函数关系；（公里）之间的函数关系；(2)(2)现有现有2万吨广式月饼，从广州运往长沙，问共需多少运万吨广式月饼，从广州运往长沙，问共需多少运费？费？(3)(3)现有现有2万吨广式月饼，从广州运

14、往北京，问共需多少运万吨广式月饼，从广州运往北京，问共需多少运费？费？广州至北京为广州至北京为2308公里公里解解：（：（1）设货物质量为）设货物质量为m(吨吨)，则函数关系式为，则函数关系式为 1000),1000(8.01.010001.010000,1.0 xxmmxmxy（2）m=2 104(吨吨)，x=707(公里公里)(10414.17071021.0)707(64元元 f（3）m=2 104(吨吨)，x=2308(公里公里)(100928.410208.01308102)2308(646元元 f例例2 广州市现行出租车收费标准为：广州市现行出租车收费标准为：乘车不超过乘车不超过3

15、km，收费，收费10元；元；超过超过3km而不超过而不超过 15km，超过的里程每超过的里程每km加收加收2.6元；元；超过超过15km，超，超过的里程每过的里程每km加收加收5.2元。元。若小明打的士去火车站，行驶里若小明打的士去火车站，行驶里程为程为20km，问小明应付给司机多少钱？，问小明应付给司机多少钱？yx乘客乘车的费用乘客乘车的费用(元元)与乘车里程与乘车里程(km)(km)之间的数量关系为之间的数量关系为1003102 63315102 6 1535 21515,xy.(x),x.().(x),x 练习练习(作业作业)：1某工厂有电子产品某工厂有电子产品1000只，每只定价为只，

16、每只定价为130元，销售量在元，销售量在700以内时按原价出售，超过以内时按原价出售，超过700只时，超过部分打只时，超过部分打9折出售，试将销售总收益与折出售，试将销售总收益与总销售量表示成函数关系。总销售量表示成函数关系。2正方形边长是，若边长增加正方形边长是，若边长增加 x,则面积增则面积增加加 y，求，求 x 与与y 的函数关系式及函数的定义的函数关系式及函数的定义域和值域。域和值域。（小结）本节主要内容（小结）本节主要内容:二二.三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数 三三.初等函数初等函数 1.基本初等函数基本初等函数;2.复合函数；复合函数；3.初等函数初等函数 See YOu四四.建立函数关系式建立函数关系式一一.函数的概念及性质函数的概念及性质