1、第二章第二章 等式与不等式等式与不等式2 2.2 2.2 2 不等式的解集不等式的解集 从初中数学中我们已经知道，能够使不等式成的未知数的值称为 ，不等式的解 解不等式的过程中要不断地使用 不等式的性质一般地，不等式的所有解组成的集合称为 不等式的解集对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为 不等式组的解集典型例题例1 求不等式组 2x+1-9，的解集.3x22-3x 我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离称为 ，数a的绝对值记作|a|.一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。例如，|x|
2、3，|x-1|2 （1）你能给出|x|3的解集吗？（2）试总结出m0时，关于x的不等式|x|m和|x|m的解集。根据绝对值的定义可知，|x|3等价于 即x3或x3的解集为（-oo，-3）（3，+oo）.不等式|x|3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|3的解集，从而由下图可知所求解集为（-oo，-3）（3，+oo）.用类似方法可知，当m0时，关于x的不等式|x|m的解为xm或x-m，因此解集为 （-oo，-m）（m，+oo）；关于x的不等式|x|m的解为-mxm，因此解集为 -m，m 你能
3、给出|a-1|2的解集吗？如果将a-1当成一个整体，比如令x=a-1，则|a-1|x|2，因此|a-1|2的解集可以通过求解|x|2得到，请读者自行尝试。下面我们来探讨|a-1|的几何意义，并由此得出不等式|a-1|的解集。任意给出几个a的值，求出对应的|a-1|的值，并借助数轴考虑|a-1|的几何意义.当a=-2时，|a-1|=|-2-1|=3，而且在数轴上，表示-2的点与表示1的点的距离是3；当a=3时，|a-1|=|3-1|=2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2.因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距离为|a-1|，如下图所示。这样一来，数轴上与表
4、示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a-1|2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为-1和3，因此由上图可知|a-1|2的解集为 -1，3.数轴上两点之间的距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为 AB=|a-b|.数轴上的中点坐标公式：更进一步，如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM=MB可知|a-x|=|x-b|，因此：当ab时，有axb，从而 x-a=b-x，2bax所以典型例题例2 设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围.求下列不等式的解集：（1）|x-1|+|x-2|（4）|x-1|+|x-2|2131
