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1、第第十十章章 弯曲变形弯曲变形 10-1 梁变形的基本概念梁变形的基本概念 挠度和转角挠度和转角10-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程10-3 积分法计算梁的变形积分法计算梁的变形10-4 叠加法计算梁的变形叠加法计算梁的变形1-05 简单超静定梁简单超静定梁-弯曲刚度的计算弯曲刚度的计算 梁弯曲变形的计算梁弯曲变形的计算目的目的：要控制梁的最大变形：要控制梁的最大变形在一定的限度内。在一定的限度内。工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。梁的挠度，横

2、截面的转角。梁的挠度，横截面的转角。度量梁变形的参数度量梁变形的参数-二、挠度：二、挠度：横截面形心沿垂直于横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。轴线方向的位移。一、挠曲线：梁变形后的轴线。一、挠曲线：梁变形后的轴线。性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。三、转角：三、转角：横截面绕中性轴转过横截面绕中性轴转过的角度。用的角度。用“”表示。表示。用用“y”表示表示。FCy 1010-1-1 梁变形的基本概念梁变形的基本概念 挠度和转角挠度和转角xxy=y（x）挠曲线方程。挠曲线方程。挠度向下为正；向上为负。挠度向下为正；向上为负。=(x)转角方程。转角方程。由变形前的横截面转到变形后，由变

3、形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。顺时针为正；逆时针为负。四、挠度和转角的关系四、挠度和转角的关系挠度：挠度：横截面形心沿垂直于横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。轴线方向的位移。转角：转角：横截面绕中性轴转过横截面绕中性轴转过的角度。的角度。用用“”表示。表示。用用“y”表示表示。yxydxdytg)(ytg FCyxx (挠曲线为一条平坦的曲线挠曲线为一条平坦的曲线)x一、曲率与弯矩的关系：一、曲率与弯矩的关系：EIMr1二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)232)(1)(1yyx ryx)(1r（2）三、挠曲线与弯矩的关系三、挠曲线与弯矩的

4、关系：联立（1）、（2）两式得yx EIM)()(xyMEI（1）zEIxMx)()(1r,1y1010-2-2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 Cyx yM 00)(xy挠曲线近似微分方程的近似性挠曲线近似微分方程的近似性忽略了忽略了“Fs”以及以及 对变形的影对变形的影响响 2)(y使用条件：使用条件：弹性范围内工作的细长梁。M xy)(xMy EI结论：挠曲线近似微分方程结论：挠曲线近似微分方程xyxy)(22xMdxydEI)(xyMEI)()(xMxyEI 1)()()(CdxxMxEIxyEI21)()(CxCdxdxxMxEIy 1010-3-3 积分法计算梁的变形

5、积分法计算梁的变形步骤步骤：（：（EI为常量）为常量）1 1、根据载荷分段列出弯矩方程、根据载荷分段列出弯矩方程 M（x）。）。2 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。0Ay0By0Dy0 D 右右左左CC 连续条件：连续条件：右右左左CCyy 边界条件：边界条件：DPPABCF（1 1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。（2 2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。）、固定铰支座处

6、；可动铰支座处：挠度等于零。（3 3）、在弯矩方程分段处：）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。4 4、确定挠曲线方程和转角方程、确定挠曲线方程和转角方程5 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。1 1、根据荷载分段列出弯矩方程、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。）。2 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。、根据弯曲梁变形的边

7、界条件和连续条件确定积分常数。积分法计算梁变形的步骤积分法计算梁变形的步骤21)()(CxCdxdxxMxEIy 边界条件：边界条件：连续性条件：连续性条件：)()(xMxyEI 1)()()(CdxxMxEIxyEI解：a)建立坐标系并写出弯矩方程EIFLLy3)(3例：例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(EI=常数）常数）。)()(xLFxMb)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数)()(xLFxMyEI 12)(21CxLFyEI213)(61CxCxLFEIyFx322161;21FLCFLCd)确定挠曲线、转角方程3236)(xLxEIFxy

8、LxxEIFy222EIFLL2)(2e)自由端的挠度及转角 x=0处处:y(0)=0;(0)=0yLqlABxC解：解：a)建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程b)写出挠曲线近似写出挠曲线近似微分方程并积分微分方程并积分c)应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数d)确定挠曲线和转角方程确定挠曲线和转角方程e)最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角ql/2ql/2)(222)(22xlxqqxxqlxM)(22xlxqyEI x=0：y=0;x=l：y=0.)46(24)2(24323323xlxlEIqyxlxlEIqxy0,24231CqlCEIqlEIqlyBAL

9、x2438453max42max例：例：求图示简支梁的最大挠度 和最大转角(EI=常数）132)32(2CxlxqyEI2143)126(2CxCxlxqEIy222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbyEIaxFxLFbyEI 11)(xLFbxMFC解：解：a)建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程b)b)写出写出微分方程并积分微分方程并积分例：例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数）左侧段（左侧段（0 x1 a）：）：右侧段（右侧段（a x2 L）：）：11131112111162DxCxLFbEIyCxLFbyEIx

10、LFbyEI 1xABab2xLba)()(222axFxLFbxMlFblFaAC段段CB段段222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbyEIaxFxLFbyEI FC左侧段（左侧段（0 x1a）：）：右侧段（右侧段（ax2L）：）：11131112111162DxCxLFbEIyCxLFbyEIxLFbyEI 1xABab2xlFblFac)应用位移边界条件和连续条件应用位移边界条件和连续条件求积分常数求积分常数连续条件：连续条件：y1(a)=y2(a),y1(a)=y2(a);边界条件：边界条件：y1(0)=0,y2(L)=00);(

11、6212221DDbLLFbCCb)写出写出微分方程并积分微分方程并积分222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbyEIaxFxLFbyEI FC左侧段（左侧段（0 x1a）：）：右侧段（右侧段（ax2L）：）：11131112111162DxCxLFbEIyCxLFbyEIxLFbyEI 1xABab2xlFblFa0);(6212221DDbLLFbCCd)d)确定挠曲线和转角方程确定挠曲线和转角方程2122112122113)(66xbLLEIFbyxbLLEIFbxy)(31)(2)()(62222222222232322bLxax

12、bLLEIFbyxbLxaxbLLEIFbye)e)跨中点跨中点挠度及两端端截面的转角挠度及两端端截面的转角d)d)确定挠曲线和转角方程确定挠曲线和转角方程2122112122113)(66xbLLEIFbyxbLLEIFbxy)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbyxbLxaxbLLEIFby);43(482212bLEIFbyyLxC;6)()0(1LEIbLFabA两端支座处的转角两端支座处的转角FC1xABab2xlFalFbLEIaLFabLB6)()(2跨中点跨中点挠度挠度讨论：讨论：1 1、此梁的最大转角。、此梁的最大转角。LEIaLFa

13、bB6)(maxFC1xABab2xlFblFa当当 a b 时时LEIaLFabLEIbLFabBA6)(;6)(讨论：讨论：2 2、此梁的最大挠度、此梁的最大挠度FC1xABab2xlFblFa当当 a b 时时最大挠度发生在最大挠度发生在AC段段2122112122113)(66xbLLEIFbyxbLLEIFbxy)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbyxbLxaxbLLEIFby221max3)2(30baabLxy1y3221max)(391bLLEIFbyyxxFC1xABab2xlFblFa当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：E

14、IFbLEIFbLy22max0642.039而此时梁跨中截面处的挠度为：EIFbLEIFbLy220625.016跨中两者相差也不超过中点挠度的3%。因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可用中点挠度来代替最大挠度。221max3)2(30baabLxy1y3221max)(391bLLEIFbyyxx 3、a=b 时时此梁的最大挠度和最大转角。此梁的最大挠度和最大转角。EIFLyyEIFLLxCBA48;163max2max2FCABab写出下列各梁变形的写出下列各梁变形的边界条件和连续条件边界条件和连续条件.,;02121CCCCBEBAyyLyy1C截面左侧截面左侧2C截面右侧截面右侧

15、ABFCL/2L/2EABC.;0;0,021CCBAAyyyy1 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。)()()(),(221121nBnBBnBFFFFFF )()()(),(221121nBnBBnBFyFyFyFFFy 一、一、前提条件：前提条件：弹性、小变形。弹性、小变形。二、二、叠加原理：叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面

16、挠度或转角的代数和。于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。三、三、叠加法的特征：叠加法的特征：1010-4 -4 叠加法叠加法计算梁的变形计算梁的变形aaF=+例例：叠加法求叠加法求A截面的转角和截面的转角和C截面截面 的挠度的挠度.解解:a):a)载荷分解如图载荷分解如图b)b)由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。EIFaEIFLyCF64833EIFaEIFLAF41622EIqaEIqLyCq245384544EIqaEIqLAq32433aaqFA AC CAaaqaaF=+例例：叠加法求叠加法求A截面的转角和截面的

17、转角和C截面截面 的挠度的挠度.EIFaEIFLyCF64833EIFaEIFLAF41622EIqaEIqLyCq245384544EIqaEIqLAq32433aaqFA AC CAaaqEIFaEIqayyyCqCFC624534AqAFAc)c)叠加叠加)43(122qaFEIa=+L/2qFL/2ABC例例：确定图示梁确定图示梁C截面的挠度和转角截面的挠度和转角。解解：1 1、载荷分解如图、载荷分解如图2 2、查梁的简单载荷变形表、查梁的简单载荷变形表EIqLEIqLyCqCq6;834L/2qL/2;243)2(33EIFLEILFyBFEIFLLEIFLEIFLLyyBFBFCF

18、48528242323EIFLBFCF82EIFLEILFBF82)2(22)(a)(a)(bL/2FL/2)(bB由由F引起的引起的C点位移：点位移：3 3、叠加、叠加,485834EIFLEIqLyyyCFCqCEIFLEIqLCFCqC8623L/2L/2qA AC CA=+例例：求图示梁：求图示梁C截面的挠度。截面的挠度。解：解：1 1、载荷分解如图、载荷分解如图2 2、查梁的简单载荷变形表、查梁的简单载荷变形表EIqLEILqyyyyCaCbCaC7685384)2(50443 3、叠加、叠加0;384)2(54CbCayEILqyL/2A AC CAq/2L/2(a)L/2L/2A

19、 AC CAq/2q/2(b)=+ABLa aCqqaABL CM=qa2/2（b）例例：求图示梁：求图示梁B截面的挠度截面的挠度（EI 已知）。已知）。解：解：1)1)结构分解如图结构分解如图2)2)查梁的简单载荷变形表查梁的简单载荷变形表3)3)叠加叠加B Cq（a）EILqaaEILqaayEIqayCbBbBa63)21(;8324EILaqaEILqaEIqayyyBbBaB24)43(68334例例：求图示梁：求图示梁C截面的挠度。截面的挠度。解：解：1 1、结构分解如图、结构分解如图2 2、查梁的简单载荷变形表、查梁的简单载荷变形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2AB

20、C（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/2EIFLEILFyCa243)2(333 3、叠加、叠加EIFLEIFLEIFLyyyCbCaC163487243332LyyBbBbCbEIFLLEILFLEILFEILFLEILF48722)2(2)2(2)2()2(22)2(2)2(33)2(32例：例：拐杆如图，拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：上下移动，已知：E=210 Gpa，G=0.4 E，求求 B 截面截面的垂直位移的垂直位移。分析分析：B点的垂直位移由：AB段弯曲和CA杆扭转而引起。F FByB1F

21、BAC CMA=FLAB yB2ABACABBBBLEIFLyyy3321ABPACABABABLGILFLLEIFL33333101052103123.0603410202104.0325.03.0603.0mm22.8500300P=60NBAC C20510FqaAB例例、用叠加法求图示等截面直梁、用叠加法求图示等截面直梁A、D、E（BC之中点）点的挠度。之中点）点的挠度。EIqayA841 解：解：结构和载荷分解如图。结构和载荷分解如图。EIqaaEIaqayA3322422EIqaEIaqayE816)2(2422EIqaaEIaqayD6622422E（1）（2）Pq=P/aaABDC2aaFq=F/aPaABDC2aaqa2/2FEIqaEIFayD33433EIqaaEIaFayA36244EIqaaFayE416)2(424EIqaaEIaFayD323244EIqayyiAiA2419441EIqayyiEiE83441EIqayyiDiD67441（4）FDCa（3）PaABDC2aaPaFFaPq=P/aaABDC2aaFq=F/a