材料力学基本第五章-圆轴扭转课件.ppt

1、第五章 圆轴扭转5-1 外加力偶矩与所传递功率的关系外加力偶矩与所传递功率的关系5-2 纯剪切状态与切应力互等定理纯剪切状态与切应力互等定理5-3 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析5-4 圆轴扭转时的迁都与刚度计算圆轴扭转时的迁都与刚度计算5-5 结论与讨论结论与讨论5.1 外加力偶矩与所传递功率的关系外加力偶矩与所传递功率的关系 求横截面求横截面n-n上的内力偶矩上的内力偶矩 截面法截面法 作用于横截面上的内力偶矩称为作用于横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩 由作用与反作用原理可知，在由作用与反作用原理可知，在部分部分横截面横截面n-n上也必然有上也必然有大小相等、转向相反的扭矩大小

2、相等、转向相反的扭矩T 0 xM0e MTeMT 发生扭转变形的外力偶矩，称为发生扭转变形的外力偶矩，称为扭转力偶矩扭转力偶矩 1.已知外力已知外力2.已知传递的功率已知传递的功率P(kW)和转速和转速n(r/min)得得RFFM)(2T1Te602eenMMP)mN(9549enPM5.2 纯剪切状态与纯剪切状态与切应力互等定理切应力互等定理 一、实验观测一、实验观测现象现象(1)纵向线都倾斜了相同的角度，变为平行的螺旋线。纵向线都倾斜了相同的角度，变为平行的螺旋线。5.2.1薄壁圆筒的扭转时的切应力与纯剪切状态薄壁圆筒的扭转时的切应力与纯剪切状态 在圆筒表面画一系列纵在圆筒表面画一系列纵向

3、线和圆周线。向线和圆周线。(2)圆周线绕杆轴线旋转了不同的角度，但仍保持为圆周线绕杆轴线旋转了不同的角度，但仍保持为圆形，且在原来的平面内。圆形，且在原来的平面内。推断：推断：(a)变形后，横截面仍保持为平面；变形后，横截面仍保持为平面；(b)横截面上没有正应力，只有切应力，横截面上没有正应力，只有切应力，切应力的方向与半径垂直。切应力的方向与半径垂直。研究薄壁筒的任一横截面研究薄壁筒的任一横截面 横截面上的扭矩横截面上的扭矩 微内力微内力dA对截面形心的力矩为对截面形心的力矩为dAR 微面积微面积 dA=Rd 二、二、切应力的计算切应力的计算AdTRA即即 TR202d积分得积分得22RT

4、取一单元体取一单元体 力力dydz 左、右侧面左、右侧面 上、下侧面上、下侧面 5.2.2 切应力互等定理切应力互等定理 平衡条件平衡条件Mz=0得得dydzdx-dxdzdy=0力偶矩力偶矩(dydz)dx 切应力切应力 切应力切应力 力力 dydz 力偶矩力偶矩(dxdz)dy =切应力互等定理切应力互等定理 在单元体相互垂直的截面上，在单元体相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，且大小切应力必然成对出现，且大小相等，方向都指向相等，方向都指向(或背离或背离)两两平面的交线平面的交线 纯剪切应力状态纯剪切应力状态 单元体侧面上只有切应力，没有正单元体侧面上只有切应力，没有正应力的状态称为应

5、力的状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。直角的改变量即为直角的改变量即为切应变切应变 低碳钢的低碳钢的 曲线曲线在弹性极限范围内在弹性极限范围内 5.2.3 剪切胡克定理剪切胡克定理 上式称为上式称为剪切胡克定理剪切胡克定理。-GG称为材料的称为材料的切变模量切变模量,单位为帕单位为帕(Pa)切变模量切变模量G、弹性模量弹性模量E和泊松比和泊松比 三者之间的关系是三者之间的关系是)1(2EG5.3 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析 圆轴扭转圆轴扭转的的平面假设平面假设 变形前为平面的横截面，在变形后仍保持为变形前为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，半径仍保持为直线，各横截面的

6、形状、平面，半径仍保持为直线，各横截面的形状、大小及间距均不改变。大小及间距均不改变。5.3.1 平面假定平面假定 圆轴扭转时横截面上的应力可以从三个方面导出圆轴扭转时横截面上的应力可以从三个方面导出 1 1几何方面几何方面 2物理方面物理方面3静力学方面静力学方面5.3.2变形协调方程变形协调方程取长为取长为dx的微段的微段从该微段中切取一楔形体从该微段中切取一楔形体 由几何关系及小变形假设由几何关系及小变形假设两截面的相对扭转角为两截面的相对扭转角为 xEFFFddtan1d 表示扭转角表示扭转角沿轴线的变化沿轴线的变化率，称为率，称为单位长度扭转角单位长度扭转角 在同一半径为在同一半径为

7、的圆周上，的圆周上，各点处的切应变各点处的切应变均相同，均相同，且与且与成正比。成正比。5.3.3物理方面物理方面 根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应力根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比。与切应变成正比。横截面上半径为横截面上半径为 处的切应力为处的切应力为 (1)横截面的切应力与该点到圆心的距离横截面的切应力与该点到圆心的距离成正比。成正比。(2)纵向截面上的切应力也沿半径线性变化。纵向截面上的切应力也沿半径线性变化。G5.3.4静力学方面静力学方面 微力矩微力矩 截面上的扭矩截面上的扭矩 为常量，得为常量，得 引进记号引进记号 AdAATdAAGTd2Ip称为横截面

8、对圆心的称为横截面对圆心的极惯性矩极惯性矩 圆轴单位长度扭转角的计算公式圆轴单位长度扭转角的计算公式 AAId2ppGIT5.3.5 圆轴扭转圆轴扭转时横截面上的切应力表达式时横截面上的切应力表达式圆轴横截面上任一点处的切应力圆轴横截面上任一点处的切应力 切应力达到最大值切应力达到最大值 引进记号引进记号 Wp称为称为抗扭截面系数抗扭截面系数。(1)只适用于弹性范围内的等直圆轴只适用于弹性范围内的等直圆轴(2)对于小锥度圆轴，也可以用以上各式近似地计算。对于小锥度圆轴，也可以用以上各式近似地计算。pITpmaxITRRIWpppmaxWT说明：说明：例例 图图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为

9、所示阶梯形圆轴直径分别为d1=40 mm，d2=60 mm。由轮。由轮3输入的功率输入的功率P3=60 kW，轮，轮1输出的功率输出的功率P1=24 kW。轴作匀速转动，转速。轴作匀速转动，转速n=300 r/min。材料。材料的许用切应力的许用切应力 =70 MPa。试校核轴的强度。试校核轴的强度。解解(1)计算外力偶矩，计算外力偶矩，画扭矩图画扭矩图 mN9.7633002495491eMmN9.11453003695492eMmN8.19093006095493eM(2)校核扭转强度校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面的直段内，但这一段截面的直径也大，

10、对径也大，对AC和和DB两段轴都需要作强度校核。两段轴都需要作强度校核。AC段段MPa8.60)1040(9.76316163331maxdTACACDB段段MPa0.45)1060(8.190916163332maxdTDBDB轴满足强度要求。轴满足强度要求。5.4.1 圆轴扭转实验与破坏现象圆轴扭转实验与破坏现象 1 观察变形现象：2 变形现象：（1）纵线在变形后近似为直线，但相对于原位置转了一个 角。（2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。3 推论：（1）圆杆在扭转后横截面保持为垂直杆轴线的平面，且大小、形状不变，半径为直线。(1)为材料的许用切应力为材料的许用切应力(3)对变截面轴对

11、变截面轴,需要综合考虑需要综合考虑T和和Wp来确定来确定max。(2)对于等直轴，最大切应力发生于扭矩最大截面对于等直轴，最大切应力发生于扭矩最大截面上的外边缘。上的外边缘。5.4.2 圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件 pmaxmaxWT(1)实心圆截面实心圆截面 空心圆截面杆横截面上的切应力仍然呈线性分布，空心圆截面杆横截面上的切应力仍然呈线性分布，最大切应力发生在截面外边缘。最大切应力发生在截面外边缘。(2)空心圆截面空心圆截面极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 32d2d42/032pDAIDA163pDW 4444p13232DdDI43p116DWDd/例例3-2 图图3-

12、13a所示阶梯形圆轴直径分别为所示阶梯形圆轴直径分别为d1=40 mm，d2=60 mm。由轮。由轮3输入的功率输入的功率P3=60 kW，轮，轮1输出的输出的功率功率P1=24 kW。轴作匀速转动，转速。轴作匀速转动，转速n=300 r/min。材料的许用切应力材料的许用切应力 =70 MPa。试校核轴的强度。试校核轴的强度。解解(1)计算外力偶矩，计算外力偶矩，画扭矩图画扭矩图 mN9.7633002495491eMmN9.11453003695492eMmN8.19093006095493eM5.4.3 圆轴扭转刚度计算圆轴扭转刚度计算 相距为相距为dx的两截面间的相对扭转角为的两截面间

13、的相对扭转角为 相距为相距为l的两横截面间的相对扭转角为的两横截面间的相对扭转角为 当当T和和GIp为常量时为常量时 GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度抗扭刚度。扭转角扭转角的单位是的单位是rad。xGIxTd)(dpxGIxTld)(0ppGITl一、扭转角一、扭转角 二、刚度条件二、刚度条件 取长为取长为dx的微段的微段是最大单位长度扭转角，单位为是最大单位长度扭转角，单位为rad/m 在设计规范中，单位长度许用扭转角的单位通常是在设计规范中，单位长度许用扭转角的单位通常是度度/米米(/m)。pmaxmaxGITmax180pmaxmaxGI

14、T例例33 图图3-14a所示为一装有四个皮带轮的实心圆轴。所示为一装有四个皮带轮的实心圆轴。已知已知Me1=Me2=3.5 kNm，Me3=11.5kNm，Me4=4.5 kNm；材料的切变模量；材料的切变模量G=80GPa，许用切应力，许用切应力=80MPa，单位长度许用扭转角，单位长度许用扭转角 =0.8/m。试设计。试设计轴的直径，并计算全轴的相对扭转角。轴的直径，并计算全轴的相对扭转角。解解(1)计算外力偶矩，计算外力偶矩，画扭矩图画扭矩图(2)设计轴的直径设计轴的直径 圆轴中最大扭矩发生在圆轴中最大扭矩发生在BC段，其绝对值为段，其绝对值为7.0 kNm。根据强度条件根据强度条件

15、163maxmax/D Tmm4.76m104.761080100.7161633633maxTD根据刚度条件根据刚度条件 DGT180)32/(4maxmaxmm4.89m104.898.01080180100.732180323492342maxGTD轴的直径可选用轴的直径可选用D=90 mm(3)计算全轴的相对扭转角计算全轴的相对扭转角 极惯性矩极惯性矩 各段的相对扭转角为各段的相对扭转角为 全轴的相对扭转角为全轴的相对扭转角为 644p1044.63209.032DIrad1099.61044.610808.0105.43693pGIlTABABABrad1059.131044.610

16、800.1100.73693pGIlTBCBCBCrad1015.81044.610802.1105.33693pGIlTCDCDCD3(6.99-13.59-8.15)14.75 10 radADABBCCD 例例3-4 图图3-15a示两种材料制成的组合轴示两种材料制成的组合轴,外层空心圆轴外层空心圆轴的抗扭刚度为的抗扭刚度为 ,内层实心圆轴的抗扭刚度为内层实心圆轴的抗扭刚度为 ，两轴紧密地配合在一起，求此组合轴在扭转力偶矩两轴紧密地配合在一起，求此组合轴在扭转力偶矩Me作用下的切应力。作用下的切应力。解解(1)平衡方程平衡方程 1p1IG2p2IG 空心圆轴承担的扭矩为空心圆轴承担的扭矩

17、为T1，实心圆轴承担的扭矩为实心圆轴承担的扭矩为T2(2)变形协调条件变形协调条件 e21MTT21p22p11IGlTIGlT联立求解联立求解 pIT代入式代入式 两轴内半径为两轴内半径为处的切应力分别为处的切应力分别为 1121 p1e1 p2pG ITMG IG I2122 p2e1 p2 pG ITMG IG I20222121p2p1e22p2p1e11dIGIGMGDdIGIGMG(2)校核扭转强度校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面的直段内，但这一段截面的直径也大，对径也大，对AC和和DB两段轴都需要作强度校核。两段轴都需要作强度校核。AC段段

18、MPa8.60)1040(9.76316163331maxdTACACDB段段MPa0.45)1060(8.190916163332maxdTDBDB轴满足强度要求。轴满足强度要求。（一）扭转是杆件四种基本变形之一，本章主要计论圆截面等 直 杆的扭转。（二）扭转时杆所受的外力是作用在垂直于杆轴线平面内的外 力 偶。变形的特征是杆件的横截面绕杆轴线作相对运 动。（三）扭转时杆件横截面上的内力，可用截面法求得。它是 作用 在横截面所在平面的内力偶，称为扭矩。（四）圆轴扭转时，变形符合平面假设。由此可得变形的几 何关系，再用剪切胡克定律和静力关系，便可以导出 圆轴扭转时横载面上的剪应力公式 和变形公式 应用这两个公式进一步可得出圆轴扭转时的强度，刚 度条件为pnpIpMpnGIM pnWMmax180maxpnGIM（五）用强度，刚度条件解决实际部题的步骤 1）求出轴上外力偶矩；2）计算扭矩和作出扭矩图；3）分析危险截面；4）列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。