材料力学基本第六章-弯曲强度课件.ppt

1、第六章 弯曲强度6-1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件6-2 与应力分析有关的截面与应力分析有关的截面6-3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力6-4 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例6-6 弯曲切应力弯曲切应力6-5 梁的强度计算梁的强度计算6-7 结论与讨论结论与讨论6.16.1、工程中的弯曲构件、工程中的弯曲构件1定义定义弯曲变形弯曲变形 直直线变成曲线线变成曲线的变形形式，简称的变形形式，简称弯曲弯曲。梁梁外力外力垂直于垂直于杆的轴线，使得杆的杆的轴线，使得杆的轴线由轴线由以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件2平面弯曲的概念平面弯曲的

2、概念平面弯曲平面弯曲外力外力作用在梁的作用在梁的纵向对称平面纵向对称平面内，内，使梁的使梁的 轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形即：即：平面弯曲平面弯曲轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合 的弯的弯曲形式曲形式纵向对称面F轴线FFFF F F 梁的横截面梁的横截面1.吊车梁吊车梁2.车削工件车削工件3.摇臂钻的臂摇臂钻的臂4.4.火车轮轴火车轮轴5.桥梁桥梁6.立交桥梁立交桥梁7.跳板跳板6.2 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 在在CD段内的弯矩段内的弯矩M=Fa为常数，为常数，而剪力而剪力

3、FS等于零。等于零。梁横截面上只有弯矩，没有剪力的情况称为梁横截面上只有弯矩，没有剪力的情况称为纯弯曲纯弯曲。一、静一、静矩矩6.2.1 形心和静矩形心和静矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴的静矩：轴的静矩：整个图形整个图形 A 对对 y 轴的静矩：轴的静矩：ydA微面积微面积 dA 对对 x 轴的静矩轴的静矩xdA微面积微面积 dA 对对 y 轴的静矩轴的静矩定义：定义：（静面矩）（静面矩）其值：其值：+、-、0 单位：单位：m3 AxAySd AyAxSdxyOAdAx二、形心二、形心 （各分力对任一轴的矩等于其合力对同一轴的矩）各分力对任一轴的矩等于其合力对同一轴的矩）有有 则则 xd

4、A 和和 ydA 相当于相当于力矩力矩由由合力矩定理合力矩定理 将微面积将微面积 dA 看看作作是是 力力CAxyAAyS d ACyxAAxSdASyxC ASxyC xCCyCxyOAdAx三、组合图形的三、组合图形的静矩和形心静矩和形心 组合图形组合图形由几个简单图形由几个简单图形（如矩形、圆形等）（如矩形、圆形等）组成组成的平面图形的平面图形如：如：1.静矩静矩 AxAySd nAAAy1d niAiAy1d nixiS12.形心形心CyA 1AxAxCiniiC niCiiyA1xyOCxCyC niyiySS1CxA niCiixA1 1AyAyCiniiC 四、四、静矩的性质静矩

5、的性质形心轴形心轴 图形对形心轴的静矩为零图形对形心轴的静矩为零xSyS0 CyA CxA 0 通过图形形心的坐标轴通过图形形心的坐标轴反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴xyOACxyCc 性质性质 1：0 Cx0 Cy2002003030ASyxC 例例 1 确定形心坐标确定形心坐标mm 2302001003020021530200 mm 5.157 2211yAyA 21AA x（参考轴）yyCC解：解：取参考坐标系取参考坐标系 xy6.2.26.2.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径一、一、惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积二

6、、惯性二、惯性矩与极惯性矩的关系矩与极惯性矩的关系三、惯性积的性质三、惯性积的性质四、惯性半径四、惯性半径一、惯性一、惯性矩与惯性积矩与惯性积整个图形整个图形 A 对对x 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩y2dA微面积微面积 dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩x2dA微面积微面积 dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩定义：定义：其值：其值：+单位：单位：m4 AxAyId 2 AyAxId2xyOAdAx1.惯性矩惯性矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴和轴和 y轴的惯性积轴的惯性积定义：定义：xydA微面积微面积 dA 对对 x 轴和轴和 y 轴的惯

7、性积轴的惯性积 的坐标轴的坐标轴其值：其值：+、-、0 单位：单位：m4 AxyAxyId假设：假设：x 轴和轴和 y 轴为一对相互垂直轴为一对相互垂直一、惯性一、惯性矩与惯性积矩与惯性积2.惯性积惯性积xyOAdAx二、惯性二、惯性矩与极惯性矩的关系矩与极惯性矩的关系即：即：AAId2p xyIII p AAAyAxdd22 平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和 性质性质 2：xyOAdAx AAyxd22若若 x、y 轴为一对正交坐标轴轴为一对正交坐标轴1

8、.1.矩形截面矩形截面xI 12 3bh 12 3hbIy 1xIxCyydydAOx1y 222dhhybyh2_h2_b2_b2_ AAy d2 AAy d2 hyby02d33bh 常用图形的惯性矩：常用图形的惯性矩：2.圆形截面圆形截面D324D pIIIyx 由对称性由对称性 yxII 21pI 444416464 DdD 644D 3.环形截面环形截面dxyO p21 IIIyx三、惯性三、惯性积的性质积的性质当当 x、y 轴中有一轴为对称轴轴中有一轴为对称轴xyO AxyAxyId niiiiiiiAAyxAyxi10lim niiiiAAyxi210lim0 xyA xyA-在

9、一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴的惯性积为零。对这对轴的惯性积为零。性质性质 3：惯惯 性性 矩矩对对某一轴某一轴而言而言 极惯性矩极惯性矩对对某一点某一点而言而言特别指出：特别指出：惯惯 性性 积积对对某一对正交轴某一对正交轴而言而言图形对图形对 x 轴的轴的惯性惯性半径半径 单位：单位：mAIixx AIiyy 2 AIxxi2 AIyyi四、四、惯性半径惯性半径 在力学计算中，有时把在力学计算中，有时把惯性矩惯性矩写成写成即：即：图形对图形对 y 轴的轴的惯性惯性半径半径6.36.3、平面弯曲时梁横截面上的正应力、平面弯曲时梁横截

10、面上的正应力6.3.1 6.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念平面弯曲与纯弯曲的概念平面弯曲平面弯曲外力外力作用在梁的作用在梁的纵向对称平面纵向对称平面内，内，使梁的使梁的 轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形即：即：平面弯曲平面弯曲轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合 的弯的弯曲形式曲形式纵向对称面F轴线FFFF F F FFaa纯纯 弯弯 曲曲横力弯曲横力弯曲横截面上只有横截面上只有M、没有、没有FS的弯曲的弯曲横截面上既有横截面上既有M、又有、又有FS的弯曲的弯曲FFFSFaM剪切弯曲剪切弯曲纯弯曲纯弯曲或或纯弯曲梁横截面上

11、的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力zIyMmaxmaxmax maxmaxzWM maxyIWzz 与横截面的形状和尺寸有关，与横截面的形状和尺寸有关，单位：单位：m3 抗弯截面系数抗弯截面系数 zIMy 最大正应力最大正应力MzxyC2dzAIyA惯性矩yzyb6.3.2 纯弯曲梁横截面上的正应力分析纯弯曲梁横截面上的正应力分析zI DyzCbhyzC312bh464D常用截面的常用截面的 Iz 和和 Wz：DdyzCzI 44164DzI zW62bh323D 2hIz zW2DIz 43132 D zW2DIz/d D平面假设平面假设 在梁的侧面画一些横在梁的侧面画一些横向线和纵向线向线和

12、纵向线(1)变形前的横向线在变形后仍为直线，在转过一定变形前的横向线在变形后仍为直线，在转过一定角度后仍与变形后的梁轴线垂直。角度后仍与变形后的梁轴线垂直。(2)变形前的纵向线在变形后成为圆弧线，且上部的变形前的纵向线在变形后成为圆弧线，且上部的纵向线缩短，下部的纵向线伸长。纵向线缩短，下部的纵向线伸长。观察到如下现象：观察到如下现象：两个假设两个假设1、平面假设、平面假设2、单向受力假设、单向受力假设 梁的横截面在弯曲后仍保持为平面，且与变形后的梁的横截面在弯曲后仍保持为平面，且与变形后的梁轴线垂直。梁轴线垂直。梁的纵向纤维处于单向受力状态，各纤维之间没有梁的纵向纤维处于单向受力状态，各纤维

13、之间没有相互作用。相互作用。中性层中性层 中性轴中性轴 由梁变形的连续性，其间必由梁变形的连续性，其间必存在一长度不变的过渡层，存在一长度不变的过渡层，称为称为中性层中性层。中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴。中性层把梁沿高度分成受压区和受拉区。中性层把梁沿高度分成受压区和受拉区。1、中性层、中性层2、中性轴、中性轴直角的改变量即为直角的改变量即为切应变切应变 低碳钢的低碳钢的 曲线曲线在弹性极限范围内在弹性极限范围内 2.胡克定理与应力分布胡克定理与应力分布 上式称为上式称为剪切胡克定理剪切胡克定理。-GG称为材料的称为材料的切变模量切变模量,单位为帕单位为帕(Pa

14、)切变模量切变模量G、弹性模量弹性模量E和泊松比和泊松比 三者之间的关系是三者之间的关系是)1(2EG纯弯曲纯弯曲代入代入 3应用静力方程确定待定常数应用静力方程确定待定常数 0dNAAF0dAyAzMMAyMAzdyE 0ddNAAAEyAF0dzASAy梁横截面对中性轴梁横截面对中性轴(z轴轴)的面积矩等于零。的面积矩等于零。中性轴通过横截面的形心。中性轴通过横截面的形心。(1)FN 代入代入 0dAyAzMyE y轴为横截面的对称轴轴为横截面的对称轴 自动满足。自动满足。(2)My 0ddAAAyzEAzEy0dAAyzMAyMAzd(3)Mz zAAEIAyEAEyMdd22AzAyI

15、d2是梁横截面对中性轴的惯性矩。是梁横截面对中性轴的惯性矩。zEIM1EIz反映了梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的反映了梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度抗弯刚度。代入代入 yE 说明：说明：(1)纯弯曲正应力公式。纯弯曲正应力公式。梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。zIMy zEIM1(2)当梁的跨度与横截面高度的比值较大时当梁的跨度与横截面高度的比值较大时(如如l/h 5)，纯弯曲正应力公式对横力弯曲仍然适用。纯弯曲正应力公式对横力弯曲仍然适用。6.3.3.6.3.3.梁的弯曲正应力公式的应用于推广梁的弯曲正应力公式的应用于推广在横力

16、弯曲情况下：在横力弯曲情况下：横截面上既有正应力，又有切应力横截面上既有正应力，又有切应力可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁的正应力可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁的正应力 横截面将发生翘曲，不再保持为平面横截面将发生翘曲，不再保持为平面精确的分析表明：精确的分析表明：当当 时时(细长梁细长梁)5 hl剪力和弯矩正负号的规定剪力和弯矩正负号的规定 正负作如下规定正负作如下规定(1)使梁微段发生使梁微段发生“左上右下左上右下”错动的剪力为正，反之为负；错动的剪力为正，反之为负；(2)使梁微段发生使梁微段发生“上凹下凸上凹下凸”变形的弯矩为正，反之为负。变形的弯矩为正，反之为负。这两个规

17、定可归纳为：这两个规定可归纳为：剪力剪力顺钟向为正顺钟向为正，弯矩，弯矩向上弯为正向上弯为正。例题例题 图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩 Iz=5493104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用拉应力t=30 MPa，许用压应力c=90 MPa。试求梁的许可荷载F。(a)(b)6.4 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例 解：分析最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力t,max达到t，则下边缘处最大压应力c,max为 根据 可知此c,max并未达到许用压应力c，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。tt56

18、.18613431ct 最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力t,max达到t，则上边缘处的最大压应力c,max为 ，它远小于c故就C截面而言，梁的强度也由最大拉应力控制。tt64.013486 由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C 截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下：显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。B截面：zzBIFIMm1086m22m108633maxt,C截面：zzCIFIMm10134m24m1013433maxt,Pa1030m105493m1086m226483F 当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况

19、下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力t的条件来求该梁的许可荷载F：由此得F19200 N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2 kN。6.5 梁的强度计算梁的强度计算(1)宽为宽为b、高为、高为h的矩形截面的矩形截面 式中式中 称作抗弯截面系数称作抗弯截面系数 等截面梁来讲，最大正应力等截面梁来讲，最大正应力 6.5.1 梁的强度条件梁的强度条件 zIyMmaxmaxmaxzWMmaxmaxmaxyIWzz621223bhhbhWz(2)直径为直径为d的圆形截面的圆形截面 3226434dddWz(1)抗拉和抗压强度相等的材料抗拉和抗压

20、强度相等的材料(如碳钢如碳钢)，只要绝对值，只要绝对值最大的正应力不超过许用应力即可。最大的正应力不超过许用应力即可。梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件(2)抗拉和抗压强度不等的材料抗拉和抗压强度不等的材料(如铸铁如铸铁)，则要求最大，则要求最大拉应力和最大压应力分别不超过许用拉应力拉应力和最大压应力分别不超过许用拉应力t和和许用压应力许用压应力c WMzmaxmaxtmaxt,cmaxc,二、切应力强度条件二、切应力强度条件 一、最大切应力一、最大切应力(1)梁的强度由正应力强度条件控制。梁的强度由正应力强度条件控制。6.5.2 弯曲强度条件弯曲强度条件(2)梁截面设计时，根据正应力强度条

21、件设计截面，再梁截面设计时，根据正应力强度条件设计截面，再对切应力强度条件进行校核。对切应力强度条件进行校核。bISFzz*max,maxS,max bISFzz*max,maxS,max等截面梁来说，最大切应力发生在剪力最大的等截面梁来说，最大切应力发生在剪力最大的横截面的中性轴上横截面的中性轴上 梁的切应力强度条件起控制作用的情况梁的切应力强度条件起控制作用的情况梁中弯矩较小而剪力很大梁中弯矩较小而剪力很大。1)梁的跨度较短梁的跨度较短 2)支座附近有较大的集中载荷支座附近有较大的集中载荷 6.5.3 梁的弯曲强度计算机举例梁的弯曲强度计算机举例例、图例、图5-15a所示为起重设备简图。已

22、知起重量所示为起重设备简图。已知起重量(包含电包含电葫芦自重葫芦自重)F=30 kN，跨长，跨长l=5m。梁。梁AB由由No.20a工字钢工字钢制成，许用应力制成，许用应力=170MPa，=100MPa。试校核梁。试校核梁的强度。的强度。解解1.计算最大正应力计算最大正应力载荷置于梁的跨中处载荷置于梁的跨中处 弯矩图弯矩图 2.计算最大切应力计算最大切应力载荷靠近支座处载荷靠近支座处 剪力图剪力图 (1)正应力强度校核正应力强度校核 型钢表查得型钢表查得No.20a工字钢工字钢(2)切应力强度校核切应力强度校核 查得查得 梁的正应力和切应力强度条件均能满足，梁是安全的。梁的正应力和切应力强度条

23、件均能满足，梁是安全的。m37.5kNmaxM363m10237237cmzW 158.2MPaPa101.582102371037.5863maxmaxzWM30kNmaxS,FFFA17.2cm*max,zzSImm7.01 db*3S,max,maxmax23130 1024.9MPa17.2 107.0 10zzFSI b*Smaxmaxmax zzFSI b6.6.1 6.6.1 开口薄壁截面梁的弯曲开口薄壁截面梁的弯曲切应力计算切应力计算式中式中 中性轴一侧中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩的横截面面积对中性轴的静矩 b b*maxzS 横截面在横截面在中性轴处的宽度中性轴处的宽

24、度6.6 弯曲切应力弯曲切应力注意：注意：1)对于细长梁，其强度主要由弯曲正应力控制；对于细长梁，其强度主要由弯曲正应力控制；2)对于短粗梁、薄壁截面梁、集中力作用在支座对于短粗梁、薄壁截面梁、集中力作用在支座附近的梁，应同时考虑正应力和切应力强度条件。附近的梁，应同时考虑正应力和切应力强度条件。两端面上内力两端面上内力6.6.2 实心截面梁的弯曲切应力计算实心截面梁的弯曲切应力计算 矩形截面梁中截取微段矩形截面梁中截取微段dx端面上的应力分布端面上的应力分布平衡条件平衡条件 切应力互等定理切应力互等定理 其中其中求横截面上距中性轴为求横截面上距中性轴为y处各点的切应力处各点的切应力 将微段截

25、开，并研究将微段截开，并研究下部隔离体下部隔离体 =0 xF0dS1N2NFFFzzAzAzAISMMAyIMMAIyMMAF*112N)d(ddd)d(d1111d1A*zAyS是面积是面积A1对中性轴的面积矩。对中性轴的面积矩。整理得整理得 代入代入 其中其中类似地类似地 认为切应力均匀分布认为切应力均匀分布 0dS1N2NFFFzzIMSF*1NxbFddS0d)d(xb IMSISMMz*zz*zbISxMzz*ddSd/dFxMbISFzz*S矩形截面梁横截面上任一点的切应力计算公式。矩形截面梁横截面上任一点的切应力计算公式。矩形截面梁横截面上的切应力沿梁高度按二次抛物矩形截面梁横截

26、面上的切应力沿梁高度按二次抛物线规律分布。线规律分布。(1)截面上、下边缘，切应力等于零截面上、下边缘，切应力等于零;矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力(2)在中性轴上在中性轴上(y=0)，切应力有最大值。最大切应力，切应力有最大值。最大切应力是平均切应力的是平均切应力的1.5倍。倍。22*422212yhbyhyyhbSz22S42yhIFzAFbhFIhFz23238SS2Smax6.7.1 关于弯曲正应力公式的应用条件关于弯曲正应力公式的应用条件梁的切应力强度条件起控制作用的情况梁的切应力强度条件起控制作用的情况梁中弯矩较小而剪力很大梁中弯矩较小而剪力很大。1)梁的跨度

27、较短梁的跨度较短 2)支座附近有较大的集中载荷支座附近有较大的集中载荷 6.7.结论与讨论结论与讨论1.选择合理截面形状选择合理截面形状(1)尽可能使大部分面积布置在距中性轴较远的地方。尽可能使大部分面积布置在距中性轴较远的地方。(2)最大拉应力和最大压应力同时达到各自的许用应力。最大拉应力和最大压应力同时达到各自的许用应力。a)塑性材料，采用对称于中性轴的截面。塑性材料，采用对称于中性轴的截面。b)脆性材料，使中性轴偏于截面受拉的一边。脆性材料，使中性轴偏于截面受拉的一边。ct21yy6.7.2 提高梁强度的措施2.变截面梁，要求其所有截面上的最大正应力同时达变截面梁，要求其所有截面上的最大

28、正应力同时达到材料的许用应力到材料的许用应力得得 截面按上式变化的梁称为截面按上式变化的梁称为等强度梁等强度梁。2.采用变截面梁或等强度梁采用变截面梁或等强度梁 xWxMz)()(max xMxWz)()(1.等截面梁，只有危险截面上的最大应力才有可能达等截面梁，只有危险截面上的最大应力才有可能达到许用应力到许用应力。3 3改善受力状况改善受力状况 设计目标：设计目标：合理布置载荷和支座，使梁内最大弯矩尽量小合理布置载荷和支座，使梁内最大弯矩尽量小FL/2L/2Mx+FL/4FL/43L/4Mx3FL/16 maxmax zWMFL/54L/5对称MxFL/10Mx82qLqLL/5qL/5402qL502qL Mx6.7.3 弯曲中心概念弯曲中心概念 对于薄壁截面梁，若横向力作用在纵向对称面内，梁将发生平面弯曲。若横向力没作 用在对称平面内，则力必须通过截面上某一特定的点，该点称为弯曲中心，且平行于形心 主轴时，梁才能发生平面弯曲。否则，梁在发生弯曲的同时，还将发生扭转。确定弯曲中心的方法是，先假定在横向力作用下梁发生平面弯曲，研究此时横截面 上的剪应力分布，求出剪应力的合力作用点，此即弯曲中心。再根据内外力的关系，确 定产生平面弯曲的加载条件。