2020-2021学年新教材高中数学443不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册.ppt

1、4.4.3不同函数增长的差异必备知识必备知识自主学习自主学习三种函数的性质及增长速度比较三种函数的性质及增长速度比较导思导思1.1.指数函数、对数函数、一元一次函数的增长速度哪一个最快？指数函数、对数函数、一元一次函数的增长速度哪一个最快？2.2.为什么指数增长叫做呈爆炸性增长？为什么指数增长叫做呈爆炸性增长？指数函数指数函数对数函数对数函数一元一次函数一元一次函数解析式解析式y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=kx(k0)y=kx(k0)单调性单调性在在(0(0，+)+)上单调递增上单调递增图象图象(随随x x的的增大增大)趋向于和趋向于和x

2、x轴轴_趋向于和趋向于和x x轴轴_呈直线上升呈直线上升垂直垂直平行平行指数函数指数函数对数函数对数函数一元一次函数一元一次函数增长速度增长速度(随随x x的增大的增大)y y的增长速度的增长速度越来越越来越_y y的增长速度越来的增长速度越来越越_y y的增长速度的增长速度_归归 纳纳总总 结结总会存在一个总会存在一个x x0 0，当，当xxxx0 0时，时，_快快慢慢不变不变a ax xkxlogkxloga ax x(1)(1)本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异的差异.(2)(2)应用：根

3、据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律应用：根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.【思考思考】在三种函数增长关系的结在三种函数增长关系的结论中，怎样理解论中，怎样理解“总会存总会存在一个在一个x x0 0”？提示：提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加.使使函数值相等的值可视为临界点就是函数值相等的值可视为临界点就是x x0 0，因此可，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现以理解为自变量足够大时一定会出现x x0 0.当然当然x x0 0不唯一，比不唯一，比

4、x x0 0大的任意一个实数也可以作为大的任意一个实数也可以作为x x0 0.【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)函数函数y=xy=x的衰减速度越来越慢的衰减速度越来越慢.()(2)(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型增长速度不变的函数模型是一次函数模型.()(3)(3)对应任意对应任意x(0 x(0，+)+)，总有，总有2 2x xxx2 2.()12log提示：提示：(1).(1).由函数由函数y=xy=x的图象可知其衰减速度越来越慢的图象可知其衰减速度越来越慢.(2).(2).增长速度不变时图象为直线，故是一次函数

5、增长速度不变时图象为直线，故是一次函数.(3)(3).当当x=2x=2时，时，2 22 2=2=22 2.12log2.2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是与以上事件吻合得最好的图象是()【解析解析】选选C.C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除故排除A.A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不

6、变，故排除D.D.后来为了后来为了赶时间加快速度行驶，故排除赶时间加快速度行驶，故排除B.B.3.(3.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)有一组实验数据如表所示：有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是下列所给函数模型较适合的是()A.y=logA.y=loga ax(a1)x(a1)B.y=ax+b(a1)B.y=ax+b(a1)C.y=axC.y=ax2 2+b(a0)+b(a0)D.y=a +b(a0)D.y=a +b(a0)x x1 12 23 34 45 5y y1.51.55.95.913.413.424.124.13737x【解析解析】选选C.C.通过所给

7、数据可知通过所给数据可知y y随随x x增大，其增长速度越来越快，而增大，其增长速度越来越快，而A A，D D中中的函数增长速度越来越慢，的函数增长速度越来越慢，B B中的函数增长速度保持不变中的函数增长速度保持不变.关键能力关键能力合作学习合作学习类型一函数增长速度的差异类型一函数增长速度的差异(数学抽象、直观想象数学抽象、直观想象)【题组训练题组训练】1.1.下列函数中，增长速度最快的是下列函数中，增长速度最快的是()A.y=2 020 xA.y=2 020 xB.y=2 020B.y=2 020 x xC.y=logC.y=log2 0202 020 x xD.y=2 020D.y=2

8、0202.2.在某实验中，测得变量在某实验中，测得变量x x和变量和变量y y之间对应数据，如表之间对应数据，如表.则则x x，y y最合适的函数是最合适的函数是()A.y=2A.y=2x xB.y=xB.y=x2 2-1-1C.y=2x-2C.y=2x-2D.y=logD.y=log2 2x xx x0.500.500.990.992.012.013.983.98y y-1.01-1.010.010.010.980.982.002.003.3.下列各项是四种生意预期的收益下列各项是四种生意预期的收益y y关于时间关于时间x x的函数，从足够长远的角度看，的函数，从足够长远的角度看，更为有前途

9、的生意的序号是更为有前途的生意的序号是_._.y=3y=31.041.04x x；y=20+xy=20+x1010；y=40+lg(x+1)y=40+lg(x+1)；y=80.y=80.【解析解析】1.1.选选B.B.指数函数的增长速度最快指数函数的增长速度最快.2.2.选选D.D.根据根据x=0.50 x=0.50，y=-1.01y=-1.01，代入计算，可以排除，代入计算，可以排除A A；根据；根据x=2.01x=2.01，y=0.98y=0.98，代入计算，可以排除代入计算，可以排除B B、C C；由于随着；由于随着x x的增大，的增大，y y的增长比较缓慢，符合的增长比较缓慢，符合y=

10、logy=log2 2x x模型模型.3.3.结合三类函数的增长差异可知的预期收益最大，故填结合三类函数的增长差异可知的预期收益最大，故填.答案：答案：【解题策略解题策略】常见的函数模型及增长特点常见的函数模型及增长特点(1)(1)线性函数模型：线性函数模型线性函数模型：线性函数模型y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升，其增的增长特点是直线上升，其增长速度不变长速度不变.(2)(2)指数函数模型：指数函数模型指数函数模型：指数函数模型y=ay=ax x(a1)(a1)的增长特点是随着自变量的增大，的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形

11、象地称为函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸指数爆炸”.(3)(3)对数函数模型：对数函数模型对数函数模型：对数函数模型y=logy=loga ax(a1)x(a1)的增长特点是随着自变量的增的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.(4)(4)幂函数模型：幂函数幂函数模型：幂函数y=xy=xn n(n0)(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间的增长速度介于指数增长和对数增长之间.特别提醒：函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，特别提醒：函数值的大小不等同于增长速度快慢

12、，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上增长速度体现在函数值的变化趋势上.类型二函数增长速度的比较类型二函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理)【典例典例】1.(1.(多选题多选题)如图，能使得不等式如图，能使得不等式loglog2 2xxxx2 222A.x2B.x4B.x4C.0 x2C.0 x2D.2x4D.2x42.2.已知函数已知函数f(x)=ln xf(x)=ln x，g(x)=0.5x-1g(x)=0.5x-1的图象如图所示的图象如图所示.(1)(1)指出图中曲线指出图中曲线C C1 1，C C2 2分别对应哪一个函数分别对应哪一个函数.(2)

13、(2)借助图象，比较借助图象，比较f(x)f(x)和和g(x)g(x)的大小的大小.【思路导引思路导引】根据函数的图象，利用图象的高低判断函数值的大小根据函数的图象，利用图象的高低判断函数值的大小.【解析解析】1.1.选选BC.BC.由图象可知，当由图象可知，当0 x20 x4x4时，符合不等式时，符合不等式loglog2 2xxxx2 22f(x)g(x)f(x)；当当x(xx(x1 1，x x2 2)时，时，g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)；当当x=xx=x1 1或或x x2 2时，时，g(x)=f(x).g(x)=f(x).综上，当综上，当x=xx=x1 1或或x x2

14、2时，时，g(x)=f(x)g(x)=f(x)；当当x(xx(x1 1，x x2 2)时，时，g(x)f(x)g(x)f(x).g(x)f(x).【解题策略解题策略】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡陡”的函数是指数函数，的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数图象趋于平缓的函数是对数函数.【跟踪训练跟踪训练】在同一坐标系中，

15、画出函数在同一坐标系中，画出函数y=x+5y=x+5和和y=2y=2x x在在(0(0，+)+)上的图象，并比较上的图象，并比较x+5x+5与与2 2x x的大小的大小.【解析解析】函数函数y=x+5y=x+5与与y=2y=2x x的图象如图所示：的图象如图所示：当当0 x30 x2x+52x x，当，当x=3x=3时，时，x+5=2x+5=2x x，当当x3x3时，时，x+52x+52x x.【补偿训练补偿训练】函数函数f(x)=1.1f(x)=1.1x x，g(x)=ln x+1g(x)=ln x+1，h(x)=h(x)=的图象如图所示，试分别指出各的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函

16、数，并比较三者的增长差异曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以以1 1，a a，b b，c c，d d，e e为分界点为分界点).).12x【解析解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲线由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲线C C1 1对应对应的函数是的函数是f(x)=1.1f(x)=1.1x x，曲线，曲线C C2 2对应的函数是对应的函数是h(x)=h(x)=，曲线，曲线C C3 3对应的函数是对应的函数是g(x)=ln x+1.g(x)=ln x+1.由图象可得：当由图象可得：当x1xh(x)g(x)f(x)h(x)g(x)；当当1xe1xg(x)h

17、(x)f(x)g(x)h(x)；当；当exaexf(x)h(x)g(x)f(x)h(x)；当当axbaxh(x)f(x)g(x)h(x)f(x)；当；当bxcbxg(x)f(x)h(x)g(x)f(x)；当当cxdcxf(x)g(x)h(x)f(x)g(x)；当；当xdxd时，时，f(x)h(x)g(x).f(x)h(x)g(x).12x类型三函数增长速度的应用类型三函数增长速度的应用(数学建模、直观想象数学建模、直观想象)角度角度1 1利用曲线描述函数变化规律利用曲线描述函数变化规律【典例典例】当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入

18、容器中，当溶液注入容器容器(设单位时间内流入的溶液量相同设单位时间内流入的溶液量相同)时，溶液的高度随着时间的变化而变时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A A对应对应_；B B对应对应_；C C对对应应_；D D对应对应_._.【思路导引思路导引】由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对应的曲由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对应的曲线线.【解析解析】A A容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与(4)(4)对应；对应；B B容器为容器为球形，溶液高度变化为快球

19、形，溶液高度变化为快慢慢快，应与快，应与(1)(1)对应；对应；C C，D D容器都是柱形的，溶容器都是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但液高度的变化速度都应是直线型，但C C容器细，容器细，D D容器粗，故溶液高度的变化容器粗，故溶液高度的变化为为C C容器快，与容器快，与(3)(3)对应，对应，D D容器慢，与容器慢，与(2)(2)对应对应.答案：答案：(4)(4)(1)(1)(3)(3)(2)(2)【变式探究变式探究】若将溶液注入如图所示的容器，试作出容器内溶液高度的变化曲线若将溶液注入如图所示的容器，试作出容器内溶液高度的变化曲线.【解析解析】容器内溶液的变化曲线为：容器内溶液

20、的变化曲线为：角度角度2 2实际问题中的增长模型实际问题中的增长模型【典例典例】为净化湖水的水质，市环保局于为净化湖水的水质，市环保局于20192019年年底在管辖区湖水中投入一年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，20202020年经两次实地测量年经两次实地测量得到表中的数据得到表中的数据月份月份x/x/月月1 12 23 34 45 5植物面积植物面积y/my/m2 224243636现有两个函数模型现有两个函数模型y=kay=kax x(k0(k0，a1)a1)与与y=mxy=mx2 2+n(m0)+n(m0

21、)可供选择可供选择.(1)(1)分别求出两个函数模型的解析式分别求出两个函数模型的解析式.(2)(2)若市环保局在若市环保局在20192019年年底投放了年年底投放了11 m11 m2 2的水生植物，试判断哪个函数模型更的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由合适？并说明理由.(3)(3)经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合(2)(2)中所选函数模型的增长特点中所选函数模型的增长特点.但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左

22、右长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右.试用所学的知识解释这些现象的试用所学的知识解释这些现象的成因成因.你从中得到了什么启示？你从中得到了什么启示？【思路导引思路导引】(1)(1)利用表中的数据，待定系数法求系数利用表中的数据，待定系数法求系数.(2)(2)利用投放的植物面积检验模型利用投放的植物面积检验模型.(3)(3)利用函数模型增长的特征、生物知识解释成因利用函数模型增长的特征、生物知识解释成因.【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得 所以所以 y=y=由已知得由已知得 所以所以 y=y=(2)(2)若用模型若用模型y=y=则当则当x=0 x=0时，时，y y1 1=，若用模型若用

23、模型y=y=，则当，则当x=0 x=0时，时，y y2 2=，易知，使用模型易知，使用模型y=y=更为合适更为合适.23k a24k a3632k33a2，x323().324mn249mn36，12m572n5，21272x.55x323()32，32321272x55725x323()32(3)(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快.当植物覆盖到一当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧

24、气含量等因素限制了植物的生长，因此定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内.从中可以得到以下启示：从中可以得到以下启示：数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问题题.(.(答案不唯一答案不唯一)【解题策略解题策略】1.1.关于曲线的选择关于曲线的选择首先关注图形形状对变

25、量增长速度的影响，其次明确当速度变大时，曲线变首先关注图形形状对变量增长速度的影响，其次明确当速度变大时，曲线变陡，速度变小时，曲线变缓陡，速度变小时，曲线变缓.2.2.关于函数模型的选择关于函数模型的选择选取函数模型主要依据函数的增长速度，因此要熟悉各个函数模型的增长特选取函数模型主要依据函数的增长速度，因此要熟悉各个函数模型的增长特点，再利用相关的数据辅助验证点，再利用相关的数据辅助验证.【题组训练题组训练】1.1.明清时期，古镇河口因水运而繁华明清时期，古镇河口因水运而繁华.若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水

26、航行返回石塘，假设货往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(x(小时小时)、货船距石塘的距离为、货船距石塘的距离为y(y(千米千米)，则下列各图中，能反映，则下列各图中，能反映y y与与x x之间函之间函数关系的大致图象是数关系的大致图象是()2.2.某公司为了研究年宣传费某公司为了研究年宣传费x(x(单位：千元单位：千元)对销售量对销售量y(y(单位：吨单位：吨)和年利润和年利润z(z(单位：千元单位：千元)的影响，搜集了近的影响，

27、搜集了近 8 8 年的年宣传费年的年宣传费x xi i和年销售量和年销售量y yi i(i=1(i=1，2 2，8)8)的数据：的数据：i i1 12 23 34 45 56 67 78 8x x38384040444446464848505052525656y y45455555616163636565666667676868(1)(1)请补齐表格中请补齐表格中 8 8 组数据的散点图，并判断组数据的散点图，并判断y=a+bxy=a+bx与与y=c+d y=c+d 中哪一个更中哪一个更适合作为年销售量适合作为年销售量y y关于年宣传费关于年宣传费x x的函数解析式？的函数解析式？(给出判断即

28、可，不必说明给出判断即可，不必说明理由理由)(2)(2)若若(1)(1)中的中的a=7a=7，b=1.2b=1.2，c=4.2c=4.2，d=0.07d=0.07，且产品的年利润，且产品的年利润z z与与x x，y y的关系的关系为为z=200y-x(32x64)z=200y-x(32x64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费，为使年利润值最大，投入的年宣传费 x x 应为何应为何值？值？x【解析解析】1.1.选选A.A.由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y y随随x x增大而增增大而增大；停留一段时间内，大；停留一段时间内，y y随随x x增大而

29、不变；解除故障到河口这段时间，增大而不变；解除故障到河口这段时间，y y随随x x增增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y y随随x x增大而减小增大而减小.2.(1)2.(1)补齐的图如图：补齐的图如图：由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，因此选由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，因此选取取y=c+d y=c+d 更适合作为年销售量更适合作为年销售量y y关于年宣传费关于年宣传费x x的函数解析式的函数解析式.(2)(2)依题意得，依题意得，z=200z=200(4.2+0.07 )-x(32x64)(4.

30、2+0.07 )-x(32x64)，化简得化简得z=840+14 -x(32x64)z=840+14 -x(32x64)，设设t=(4 t8)t=(4 t8)，则有则有z=-tz=-t2 2+14t+840+14t+840，z=-(t-7)z=-(t-7)2 2+889.+889.故当故当t=7t=7即投入的年宣传费即投入的年宣传费x=49x=49千元时，年利润取到最大值千元时，年利润取到最大值.xxx2x课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.下列函数中，随下列函数中，随x x的增大，增长速度最快的是的增大，增长速度最快的是()A.y=100A.y=100B.y=100 xB.y=100 x

31、C.y=1.01C.y=1.01x xD.y=logD.y=log2 2x x【解析解析】选选C.C.结合函数结合函数y=100y=100，y=100 xy=100 x，y=1.01y=1.01x x及及y=logy=log2 2x x的图象可知，随着的图象可知，随着x x的增大，增长速度最快的是的增大，增长速度最快的是y=1.01y=1.01x x.2.2.如图，点如图，点M M为为 ABCDABCD的边的边ABAB上一动点，过点上一动点，过点M M作直线作直线l垂直于垂直于ABAB，且直线，且直线l与与 ABCDABCD的另一边交于点的另一边交于点N.N.当点当点M M从从ABAB匀速运动

32、时，设点匀速运动时，设点M M的运动时间为的运动时间为t t，AMNAMN的面积为的面积为S S，能大致反映，能大致反映S S与与t t的函数关系的图象是的函数关系的图象是()【解析解析】选选C.C.假设假设A=45A=45，AD=2 AD=2 ，AB=4AB=4，点，点M M的速度为的速度为1 1，则当，则当0t0t2 2时，时，AM=MN=tAM=MN=t，则，则S=tS=t2 2，为二次函数；当，为二次函数；当2t42t4时，时，S=tS=t，为一次函数，为一次函数.2123.(3.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)三个变量三个变量y y1 1，y y2 2，y y3 3随

33、着变量随着变量x x的变化情况如表：的变化情况如表：x x1 13 35 57 79 91111y y1 15 51351356256251 7151 7153 6453 6456 6556 655y y2 25 529292452452 1892 18919 68519 685177 149177 149y y3 35 56.106.106.616.616.9856.9857.27.27.47.4则关于则关于x x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()A.yA.y1 1，y y2 2，y y3 3B.yB.y2 2，y y1 1，

34、y y3 3C.yC.y3 3，y y2 2，y y1 1D.yD.y1 1，y y3 3，y y2 2【解析解析】选选C.C.通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，y y3 3随随x x的变化符合此规律；指数函的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，数的增长速度越来越快，y y2 2随随x x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，数函数与对数函数之间，y y1 1随随x x的变化符合此规律的变化符合此规律.4.4.函数函数y=xy=x2 2与函数与函数y=xlg xy=xlg x在区间在区间(0(0，+)+)上增长较快的一个是上增长较快的一个是_._.【解析解析】当当x x变大时，变大时，x x比比lg xlg x增长要快，增长要快，所以所以x x2 2要比要比xlg xxlg x增长的要快增长的要快.答案：答案：y=xy=x2 2